數列問題常見錯因及應對策略

■甘肅省嘉峪關市第一中學 盧會玉

數列是高中數學的重要內容，也是學習高等數學的基礎。高考中主要考查等差數列、等比數列的基本概念、性質及基本量的運算，突出考查等差、等比數列的通項公式、前n項和公式以及數列求和的常用方法，重點考查數列an與Sn關系的應用等知識。高考對數列的考查突出基礎性，重點考查同學們對數列通性通法的理解與應用，有時也考查綜合性較強的數列問題，解題方法靈活多樣，技巧性較強。

同學們在平時的學習中，既要關注數列的小題訓練，也要關注數列大題的綜合練習。下面對同學們解題時存在的常見錯誤進行剖析，并提出相應的應對策略。

一、存在的問題及原因分析

（一）概念模糊不清

概念模糊不清主要表現在對等差、等比數列的概念及等差中項或等比中項的定義認識不到位。

例1已知數列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2（n＋1）an，設bn＝。

（1）求b1，b2，b3的值；

（2）判斷數列{bn}是否為等比數列，并說明理由；

（3）求數列{an}的通項公式。

解析：（1）由條件可得an＋1＝

將n＝1代入，得a2＝4a1，則a2＝4；

將n＝2代入，得a3＝3a2，則a3＝12。

從而b1＝1，b2＝2，b3＝4。

（2）{bn}是首項為1，公比為2的等比數列。

點評：本題難度不大，但同學們的答題情況仍不理想，尤其是第二問，大家對等比數列的概念不清晰，不能順利地將已知結構式與待證式之間建立聯系，致使推證錯誤。第二問以遞推式nan＋1＝2（n＋1）an為載體，判斷數列｛bn｝是否為等比數列，其實就是判斷是否為定值。判斷（證明）數列｛an｝為等差或等比數列是高考的熱點，解決這類問題的關鍵是理解等差或等比數列的定義，從給出的結構式中，推斷an＋1－an或是否為定值。

（二）運算能力不佳

在數列專題中，常常出現求數列某一項am、基本量（a1，n，d，q）、通項公式an及前n項和Sn等計算問題。在計算過程中，不少同學往往整體代換意識薄弱，不能合理運用有關公式進行恒等變形。導致失分的主要原因，主要包括：①用數列的有關公式和性質求解一些基本量的問題時用錯公式或運算錯誤；②對等比數列前n項和Sn公式的結構特征認識不透，不能用整體的意識去分析和思考問題等（如計算中有時把作為整體，將會使運算更加簡便）。

例2等比數列{an}的前n項和為Sn，且S3＋S6＝2S9，求公比q。

解析：假設q＝1，則S3＝3a1，S9＝9a1，S6＝6a1。

又a1≠0，所以9a1≠2×9a1，q≠1。

點評：在利用等比數列前n項和公式解決問題時，部分同學易忽略q＝1的情形。事實上，在等比數列求和時要注意對公比q＝1和q≠1兩種情況的討論，此外當q≠1時，Sn＝，有時可把作為整體進行運算。

（三）問題轉化錯誤

在數學解題中，常常要運用轉化與化歸思想將問題進行轉化，數列問題也不例外。在解數列題中部分同學存在的主要問題是：一是審題不到位，導致解題中設元不合理；二是轉化意識不強，沒能將已知條件進行恰當地轉化，沒能將非等差數列、非等比數列轉化為等差、等比數列加以解決。

例3已知等比數列{an}前4項之積為，第二、三項的和為，求這個等比數列的公比q。

解析：設前4 個數分別為a，aq，aq2，aq3，則a4q6＝，且aq＋aq2＝。

則a4q4（1＋q）4＝4，故（1＋q）4＝64q2。

當q＞0時，可得q2－6q＋1＝0，解得q＝3±2。

當q＜0時，可得q2＋10q＋1＝0，解得q＝－5±2。

（四）歸納意識不強

高考中還常遇到以遞推關系為載體的數列問題，這對同學們的數學素養要求較高。

例4數列{an}滿足an＋1＋（－1）nan＝2n－1，則{an}的前60項和為（ ）。

A.3690 B.3660

C.1845 D.1830

解析：由題設知：a2－a1＝1，①，a3＋a2＝3，②，a4－a3＝5。③

a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，a8－a7＝13，a9＋a8＝15，a10－a9＝17，a11＋a10＝19，a12－a11＝21，…

②－①，得a1＋a3＝2。

③＋②，得a4＋a2＝8。

同理可得a5＋a7＝2，a6＋a8＝24，a9＋a11＝2，a10＋a12＝40，…

所以a1＋a3，a5＋a7，a9＋a11，…，是各項均為2的常數列，a2＋a4，a6＋a8，a10＋a12，…，是首項為8，公差為16的等差數列。

所以{an}的前60 項和為15×2＋15×8＋×16＝1830。

點評：本題主要考查同學們靈活運用數列知識求解數列問題的能力，思維量大，有一定的難度。大家要從研究遞推關系入手，推斷該數列的結構特點，發現其中所隱含的規律，從而找到解題方向。

（五）項數確定錯誤

數列是特殊的函數，它的定義域是正整數集或正整數集的子集，解題中要重視項數n的取值范圍。

例5幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件。為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動。這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推。求滿足如下條件的最小整數n（n＞100）且該數列的前n項和為2的整數冪，那么該款軟件的激活碼是（ ）。

A.440 B.330

C.220 D.110

解析：由題意得，數列如下：

1，

1，2，

1，2，4，

…

1，2，4，…，2k－1，

…

則該數列的前1＋2＋…＋k＝k（k＋1）

2項和為：

S＝1＋（1＋2）＋…＋（1＋2＋…＋2k）＝2k＋1－k－2。

因此，k＝2t－3≥14，則t≥5。

此時k＝25－3＝29，對應滿足條件的最小整數為n＝＋5＝440，選A。

點評：本題非常巧妙地將實際問題和等差數列、等比數列的求和知識融合在一起。首先需要讀懂題意，并觀察所給數列的特征，進而判斷出該數列的通項并求和，難點在于數列里面套數列，第一個數列的和又作為下一個數列的通項，而且需要判斷最后幾項是第k段1，2，4，…，2k－1中的前幾項，所以項數的確定是正確解決本題的一個重要環節。

（六）對公式an＝的使用不熟練

數列的運算中，除用有關公式和性質求解一些基本量的問題外，an與Sn的關系也是高考考查的熱點。

例6已知等差數列{an}的前項和為Sn，且a2＝2，S5＝15。數列{bn}的前n項和Tn滿足Tn＝（n＋5）an。

（1）求數列{an}的通項；

解得a1＝d＝1。所以an＝n。

（2）由（1）得an＝n，所以Tn＝n（n＋5）。

當n≥2時，Tn－Tn－1＝n（n＋5）－（n－1）（n＋4）＝2n＋4。

當n＝1時，b1＝T1＝6也滿足上式。

所以bn＝2n＋4（n∈N*）。

綜上可得，Pn＝－。

點評：有相當一部分同學對公式an＝的理解和掌握不到位，往往是從an＝Sn－Sn－1直接開始計算，會出現遺漏情況。

二、應對策略分析

（1）重視基本量解題意識，厘清知識網絡，切實掌握數列的概念與性質。高考對數列考查中選擇和填空題主要考查等差數列、等比數列的性質，解答題主要考查等差數列、等比數列的通項與前n項和公式及簡單的遞推關系（主要是Sn與an的關系）等問題，一般是中檔題，注重通性通法。而等差、等比數列常涉及a1，an，n，d（q），Sn五個量和兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數列中的運算問題轉化為解關于基本量的方程（組），所以加強應用基本量法解題是一種行之有效且常用的方法。

（2）合理選擇運算途徑。從多年高考對數列考查的趨勢看，兩類基本數列基本量的計算、兩類基本數列的定義及通項an的求法及數列求和方法等是考查重點。數列中只有合理選擇運算方法才能簡化運算過程（如，經常要把作為整體代換）。在解決等差、等比數列的運算問題時，有兩種思路：一是利用基本量，將多元問題轉化為一元問題，雖有一定量的運算，但思路簡捷，目標明確；二是利用等差、等比數列的性質，要有意識地運用等差、等比數列的性質解決數列問題，當然在應用性質解決問題時要注意前提條件，有時還需要進行適當變形。

（3）強化合情推理的訓練。數列是按一定次序排列的一列數，這決定了數列解題中離不開規律性和技巧性的探究，故靈活應用合情推理方法解決數列問題就顯得尤為重要。

（4）強化求和模型的訓練。數列求和是數列的重要內容之一，數列求和問題也是高考的熱點問題，各種題型均有出現，大部分數列的求和都需要一定的技巧與方法。解決數列求和問題，需要根據通項的特點，恰當地選擇求和方法，從而提高解題速度。