巧用基本不等式的變形結論妙解最值題

■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學 徐春生

結論1如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2｜ab｜，當且僅當｜a｜＝｜b｜時，等式成立。

證明：因為a2＋b2－2｜ab｜＝｜a｜2－2｜ab｜＋｜b｜2＝（｜a｜－｜b｜）2≥0，所以a2＋b2≥2｜ab｜，當且僅當｜a｜＝｜b｜時，等式成立。

結論2如果a，b∈R，那么（a＋b）2≥4ab，當且僅當a＝b時，等式成立。

證明：因為（a＋b）2－4ab＝a2－2ab＋b2＝（a－b）2≥0，所以（a＋b）2≥4ab，當且僅當a＝b時，等式成立。

例2設a，b，c為正實數，且滿足a－3b＋2c＝0，則的最小值是_____。

解析：由結論2 知，（a＋2c）2≥8ac。因為a－3b＋2c＝0，所以3b＝a＋2c，9b2＝（a＋2c）2≥8ac，即b2≥ac。

因為a，b，c為正實數，所以，當且僅當a＝2c時，等式成立。

例3已知x＞0，y＞0，若x＋y＋xy＝8，則xy的最大值為（ ）。

解析：由結論2 知，（x＋y）2≥4xy。因為x＋y＋xy＝8，所以8－xy＝x＋y，也即（8－xy）2＝（x＋y）2≥4xy，（xy）2－20xy＋64≥0，解得xy≤4或xy≥16。因為x＞0，y＞0，x＋y＋xy＝8，所以xy≤4，當且僅當x＝y＝2時，等式成立。選C。

結論3如果a，b∈R，那么2（a2＋b2）≥（a＋b）2，當且僅當a＝b時，等式成立。

證明：因為a2＋b2≥2ab，所以2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab，即2（a2＋b2）≥（a＋b）2，當且僅當a＝b時，等式成立。

結論4如果ab≥0，那么a2＋b2≤（a＋b）2，當且僅當ab＝0時，等式成立。

證明：因為2ab≥0，所以a2＋b2＋2ab≥a2＋b2，即a2＋b2≤（a＋b）2，當且僅當ab＝0時，等式成立。

故函數y＝的最大值是2，最小值是。