數(shù)值大小比較“招招鮮”

■王佩其

在指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中,我們常常會(huì)遇到一類指數(shù)值(冪)和對(duì)數(shù)值大小比較的選擇題。大家知道,當(dāng)兩個(gè)數(shù)值都是指數(shù)式(對(duì)數(shù)式),且底數(shù)相同時(shí),可以直接構(gòu)造對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)(對(duì)數(shù)函數(shù)),并利用函數(shù)單調(diào)性比較大小。那么,當(dāng)這些數(shù)值的底數(shù)不一致或結(jié)構(gòu)不相同時(shí),它們的大小又該如何比較呢? 下面為同學(xué)們“支招”。

一、利用作差(商)比較

例1 設(shè)x>0,y>0,z>0,且3x=4y=6z,比較3x,4y,6z的大小。

解:令3x=4y=6z=k。

由x>0,y>0,z>0,可得k>1。

二、利用“中間值”為橋梁進(jìn)行比較

評(píng)析:對(duì)于同底數(shù)的冪或?qū)?shù)式,可根據(jù)指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;對(duì)于不同底數(shù)的冪或?qū)?shù)式,可化為同底數(shù)的冪或?qū)?shù)式,再進(jìn)行比較大小,或找中間量(通常找0和1)進(jìn)行比較大小。

三、利用圖像法比較

例3 已知2a+a=log2b+b=log3c+c=k(k<1),則a,b,c的大小關(guān)系是( )。

A.a

C.b

解:由2a+a=log2b+b=log3c+c=k(k<1),可得2a=-a+k,log2b=-b+k,log3c=-c+k,且k<1。分別作出函數(shù)y=2x,y=log2x,y=log3x和y=-x+k(k<1)的圖像,如圖1所示。

圖1

由圖可得,其圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)a,b,c滿足a

評(píng)析:圖像是函數(shù)的靈魂,利用圖像法比較大小體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。需要注意的是,畫圖要盡量準(zhǔn)確。

四、用特殊值法比較

例4 已知x∈(1,2),a=2x2,b=(2x)2,c=22x,則a,b,c的大小關(guān)系為( )。

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>a>b

解:因?yàn)閎=(2x)2=22x,又函數(shù)y=2x是單調(diào)遞增函數(shù),所以要比較a,b,c的大小,只需比較當(dāng)x∈(1,2)時(shí),x2,2x,2x的大小即可。

評(píng)析:解答本題的關(guān)鍵是將所求問題轉(zhuǎn)化為比較x2,2x,2x的大小。

五、通過換底進(jìn)行比較

誤。應(yīng)選A,B。

評(píng)析:化異為同,是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)基本原則。如何消除這類問題的“差異性”,換底公式是利器,只要確定好底數(shù),這類問題就會(huì)輕松獲解。

六、用反證法比較

例6 設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足5a+11b=18a,7a+9b=15b,則a,b的大小關(guān)系為( )。

A.a

C.a>bD.無法比較

由上可得a<1

評(píng)析:利用反證法解題時(shí),必須先否定結(jié)論,把結(jié)論的反面作為條件,且必須依照這一條件進(jìn)行推理,否則,僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理,就不是反證法。