做題 反思 探索
——發(fā)現(xiàn)“二次函數(shù)”的小秘密

文／江蘇省東臺(tái)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”社團(tuán) 徐芷涵

我在做練習(xí)時(shí)遇到一道題：用列表法畫(huà)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像時(shí)，先列一個(gè)表，當(dāng)表中自變量x值以相等間隔的值增加時(shí)，函數(shù)y所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值依次為5，17，37，65，101，145，171，257，325。其中一個(gè)值不正確，這個(gè)不正確的值是，應(yīng)改正為。

我苦思不得其解，便上網(wǎng)搜索，其解答是這樣的：

解：第一次求差，325-257=68，257-171=86，171-145=26，145-101=44，101-65=36，65-37=28，37-17=20，17-5=12。

第二次求差，68-86=-18，86-26=60，26-44=-18，44-36=8，36-28=8，28-20=8，20-12=8。

我猜想第二次的差應(yīng)為8，將第二次求差中的第三個(gè)等式中的26 改為52（44+8=52），再倒推將第一次求差中的26改為52，從而將171 改為197（145+52=197），重新求差，則第二次的差均為8。

所以不正確的數(shù)是171。故填空答案為171、197。

發(fā)現(xiàn)小秘密：將函數(shù)值依次作差，再將所得結(jié)果作差，如果該函數(shù)是二次函數(shù)，兩次作差后，結(jié)果相等，否則就不是。這是教材上沒(méi)有講的二次函數(shù)小秘密，是不是所有的二次函數(shù)都有這個(gè)性質(zhì)呢？有必要推理論證。

探索小秘密：設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），自變量x值以相等間隔的值h增加，即x1=m，x2=m+h，x3=m+2h，

則y1=am2+bm+c，y2=a（m+h）2+b（m+h）+c=am2+2amh+ah2+bm+bh+c，y3=a（m+2h）2+b（m+2h）+c=am2+4amh+4ah2+bm+2bh+c，

第一次求差d1=y2-y1=2amh+ah2+bh，d2=y3-y2=2amh+3ah2+bh，

第二次求差s=d2-d1=2ah2。

總結(jié)小秘密：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)自變量x值以相等間隔的值h增加時(shí)，函數(shù)值兩次作差，其值為常量2ah2。

教 師 點(diǎn) 評(píng)

徐芷涵同學(xué)“小題大做”，解后反思，對(duì)題目中蘊(yùn)含的知識(shí)進(jìn)行縱向深入的探究，發(fā)現(xiàn)了二次函數(shù)小秘密。“做題千萬(wàn)道，解后拋九霄”，這不是我們解題的目的，答案也不是解題的終結(jié)。平時(shí)做題，我們需要養(yǎng)成在解題之后多反思的習(xí)慣，通常有方法的歸類、規(guī)律的小結(jié)、技巧的揣摩，也可以一題多法、一題多變、多題一解，挖掘題目的深度和廣度，擴(kuò)大題目的輻射面，這無(wú)疑對(duì)自身思維的發(fā)展、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高大有裨益。