掌握規律，得心應手

盧日榮

摘要：折疊題型就是把一個幾何圖形的一部分沿某一條直線或線段折疊，通過這部分圖形折疊變換前后相等的等量關系來命題。試題綜合考查了學生的觀察能力，空間想象能力和動手能力。其形式多樣，變幻巧妙，立意新穎，綜合性強。因此這類題型是歷年各省市中數學考中的熱點題型，也是學生失分最嚴重的題型。為了使學生在這類題中不丟分，我們老師在數學中考備考中應認真專研這類考題特點，弄清命題結構和規律，在平時的訓練中應培養學生的識圖能力、觀察能力及解決問題的能力。

關鍵詞：折疊;折法;策略

在復習折疊問題時，教師應歸納出這類題型的特征、考察形式以及有關的解題規律，總結出相關對策、解法并找到與此相關的一類題。下面本人結合實際教學，談談自己在復習折疊問題時的一些做法。

一、緊扣課本，梳理考點

通過學生的動手操作，讓學生比較直觀認識和理解幾何圖形的折疊變換的概念和特性。

1.幾何圖形折疊的概念

幾何圖形折疊就是把一個幾何圖形的一部分沿某一條線段或直線折疊，使它與原圖形的另一部分重疊或者不重疊。

2.幾何圖形折疊的特性

（1）幾何圖形的折疊部分前和后都是全等形。

（2）幾何圖形的折疊部分所在折疊前和折疊后的位置，關于折痕成軸對稱。

例1（石家莊市）如圖1，在矩形ABCD的紙片中，要在矩形ABCD的紙片里折出一個最大的正方形。有同學把矩形的一個∠B沿線段AE向上折疊，使AB與AD邊上的AF重合，則四邊形ABEF就是一個最大的正方形。這位同學說四邊形ABEF是一個最大正方形，根據什么來判定呢？

分析：這位同學把矩形的一個∠B線段AE向上折疊，使AB和AD邊上的AF重合，根據折疊的性質，很容易得到： ，對角線平分內角的矩形是正方形，因此四邊形ABEF在矩形ABCD里就是一個最大的正方形。

二、回歸課本，掌握折法

在各省市數學中考有關折疊題目中，有很多是源于課本的。命題者通過課本的例題、習題進行“二次開發”，變成一道新的考試題目。對這類緊扣課本試題，我們在數學中考復習中一定要注意對課本有關折疊知識的研究與挖掘，得出解題規律，化繁為簡，達到靈活變通、觸類旁通的目

的。下面以初中數學人教版教材中的兩道題目為例，弄清在折疊中對直角三角形和矩形是怎樣折的問題。

例2（人教版八年級上冊第58頁第14題）如圖2，在直角三角形ABC中，若∠C=90°∠B=30°，要把這個直角三角形均勻分成三個面積相等的直角三角形，你有辦法嗎？請你試著在圖上畫出來，并說明原因。

解：作∠A的平分線AD交BC于D，過D作DE⊥AB于E，得到3個全等三角形。

∵∠C=90°∠B=30°

∴∠CAB=60°

∵AD為∠BAC的角平分線

∴∠BAD=∠CAD= ∠CAB=30°

∴AC= ?CD，且S△ACD= AC·CD

∵∠DAE=30°且∠DEA=90°

∴AD=2DE

∴DE=CD可證△ACD≌△AED

同理△ACD≌△BED

S△ADE= AE·DE=S△BDE= BE·DE=S△ACD

通過分析很容易得出此類題解題方法如圖3所示沿∠CAB的角平分線AD和邊AB的垂直平分線，DE劃分即可。此題看似與折疊問題無關，但它實際包含了直角三角形的幾種常見的折疊類型，歸納如下：

1、沿一個銳角的角平分線折疊，如圖4;

2、沿斜邊的垂直平分線折疊，如圖5;

3、沿一條直角邊的垂直平分線折疊，如圖6;

變式訓練：

1、圖2中，若AC=3，BC=4求線段CD的長

2、圖3中，若AC=3，BC=4求線段CD的長

3、圖4中，若AC=3，BC=4求線段CE的長

規律總結：利用折疊的性質得到的直角和相等的邊或角，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列方程或利用直角三角函數，是解決這類問題的關鍵。

例3（人教版八年級上冊第53頁練習2）四邊形ABCD是矩形，△BCD沿矩形對角線BD向上折疊，如圖7重疊部分△BFD是一個等腰三角形嗎？為什么？

此題是矩形折疊后的有關三角形證明，解決矩形的折疊問題，實際上是把它轉化為三角形的問題去解決。矩形折疊與三角形折疊相比較，矩形折疊中的條件更豐富，融入了矩形的性質的運用，因而它比三角形的折疊更復雜，常以此題基礎變式出了許多的中考題型。如2018年廣東中考題數學第22題。

規律總結：矩形常見的折疊規律

（1）如圖8，沿矩形ABCD的對角線BD折疊。

（2）如圖9，沿矩形ABCD的對角線BD折疊。

（3）如圖10，△BCE沿直線CE向上折疊，點B落在線段AD點F上。

變式訓練：

（1）圖8中，若AB=3，BC=4求線段AF的長

（2）圖9中，若AB=3，BC=4求線段AF的長

（3）圖10中，若AC=3，BC=5求線段AF的長

規律總結：首先要抓住矩形折疊的本質特點，找出折疊前后相等的邊和角，再把矩形折疊問題轉化為直角三角形問題，找出關鍵的直角三角形，運用勾股定理列方程或解直角三角形來解決這類問題。

三、研究中考，剖析題型

在掌握幾何圖形折疊的性質及折疊問題中常見的折疊法后，我們就要剖析各省市的中考中關于幾何圖形折疊問題的常見類型題，引導學生觸類旁通，懂一題會一片。培養學生解決幾何圖形折疊問題的能力，真正做到胸有成竹。

1.幾何圖形折疊后求角度

例4（2016.長沙市）在一般△ABC中。

（1）如圖②所示，點A向下沿DE折疊，使點A落在四邊形BCED的內部點A′的位置，∠1、∠2與∠A之間存在怎樣的數量關系？為什么？

（2）如圖①，點A向下沿DE折疊，點A剛好落在邊AC上的點A′的位置，∠A與∠1存在怎樣的數量關系？為什么？

（3）如圖③，點A向下沿DE折疊，使點A落在四邊形BCED的外部點A′的位置，∠A、∠1與∠2之間存在怎樣的數量關系？為什么？

解：（1）∵如圖②點A折疊后落在點A′的位置，點A′在四邊形BCED內

∴∠ADE=∠A′DE∠AED=∠A′ED

∴∠ADE=12（180°-∠1）∠AED=12（180°-∠2）

在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°

∴∠A+12（180°-∠1）+12（180°-∠2）=180°

整理得，2∠A=∠1+∠2

（2）如圖①∵點A折疊后落在點A′的位置，點A′在線段上，

∴∠A=∠DA′E

由三角形外角性質得：∠1=∠A+∠DA′E=2∠DA′E=2∠A

（3）如圖③，∵點A折疊后落在點A′的位置，點A′在四邊形BCED外

∴∠A=∠A′由三角形的外角性質得：∠3=∠2+∠A′∠1=∠A+∠3

∴∠1=∠A+∠2+∠A′=∠2+2∠A

即∠1=∠2+2∠A.

經驗總結：如果幾何圖形只有一次折疊，我們只要抓住幾何圖形折疊的性質，利用折疊前后兩個三角形是全等型這一本質特征，就可以解決問題。對于幾次折疊的問題可通過操作相結合的方法解決。

2.幾何圖形折疊后求線段長度

例5（濟南市2000年中考試題）

如圖11，四邊形ABCD是矩形，先沿對角線BD折出一條

折痕，再AD向BD折疊，使落AD在對角線BD上，DG是折線，

若AD =1，AB =2，求AG。

分析：（如圖12）A1是A點落在BD上的位置，

連結 A1G，根據折疊的性質得：

△ADG ≌△A1DG，AG = A1G，AD = A1D。

∵矩形ABCD，AB =2，AD =1，在Rt△BAD中，

根據勾股定理得

∴BD = =

BA1= –1∵∠ BA1G =∠ A =90°

設AG = A1G= X，在Rt△BA1G中

利用勾股定理列出方程：x2+（ –1）2=（2– x ）2

∴ x = ，即：AG =

經驗總結：此題按折疊法可歸類為矩形沿某條直線折疊。此類題能得出幾個直角三角形是關鍵，然后反復利用直角三角形的勾股定理，得到要求的線段長度。所以遇到這種題型一定要抓住折疊前后的線段和角度不變這一特點，弄清線段之間的等量關系，利用相關的定理得出結論。

3.幾何圖形折疊后證明

例6（2018廣東）如圖13，四邊形ABCD是矩形，且AB?AD，ΔABC沿矩形沿對角線AC向上折疊，使點B落在矩形ABCD外面點E處，AE交CD于F，連接DE。

求證：ΔCED ≌ΔADE

求證：ΔEDF是等腰三角形。

證明：∵四邊形ABCD是矩形， AD=BC，AB=CD

根據折疊性質得：BC=CE，B=AE

∴AD=CE，AE=CD

在ΔADE和ΔCED中

∴ΔADE ≌ΔCED

（2）由（1）得ΔADE ≌ΔCED

∴∠DEA=∠EDC 即∠DEF=∠EDF

∴EF=DF

∴ΔDEF是等腰三角形。

例7（海口市）如圖14，四邊形ABCD是矩形，將ΔBCD沿矩形對角線BD折疊，點C落在矩形ABCD外點E處，BE交AD于F，連結AE。

求證：（1）BF=DF;（2）AE∥BD。

證明：（1）能正確說明∠ADB=∠EBD（或△ABF≌△EDF）

∴BF=DF。

（2）能得出∠AEB=∠DBE（或∠EAD=∠BDA）

∴AE∥BD

經驗總結：對于此類折疊后證明的題型，我們要先折疊的性質出發，得到相等的角和線段，發掘出其中的角和線段的數量關系，利用三角形全等或線段的數量關系用方程表示出來，達到求解的目的。

4.幾何圖形折疊后求函數問題

例8（上海市）如圖15，△ABC是銳角三角形，AH⊥BC于點H，BC=9，AH=6，AB邊上的任意一點D，過點D作DE∥BC，交AC于E。設△ADE的高AF=x（0

（1）①求出當0

（2）當x取什么值時，y的值最大或最小值？是多少？

解：（1）①當0

∵DE∥BC

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C

∴△ADE∽△ABC

∴ .∴ ，即

又∵FA'=FA=x

∴y= DE·A'F= · x·x

∴ （0

②當3

∵FH=6-AF=6-x

A'H=A'F-FH=x-（6-x）=2x-6

又∵DE∥PQ

∴△A'PQ∽△A'DE

∴

∴

∴

（2）當0

當3

∵y1

經驗總結：此題考察了幾何折疊問題與動點函數問題。利用幾何圖形折疊的性質、相似三角形的性質和二次函數的性質。求出函數的最大值最小值。解決此類題的關鍵是熟練掌握相似三角形的性質，找出線段的等量關系，也就是函數關系，從而快速求解。

幾何圖形的折疊問題是數學中考的熱點、難點題型。此類題型綜合考察學生的空間想能力和知識的綜合運用能力。在平時的復習訓練中，要培養學生數形結合的思想與綜合運用能力。雖然此類題型變化之多，考察范圍之廣，但是經過深入研究之后，我們不難發現其中的命題規律，在解決此類題型，我們要教會學生細心觀察，利用幾何圖形折疊的性質，發現問題所在，化繁為簡，才能輕車熟路，得心應手。

參考文獻：

[1]甘曉云.圖形折疊與變換[J].學苑創造：C版，2018（4）：4-4.

[2]朱曉勤.矩形折疊問題的深度探析[J].文理導航，2018（20）：1-1.

[3]肖學仕.巧解初中幾何折疊問題[J].數理化解題研究：初中版，2014（9）：1-1.

[4]李殿起.折疊圖形問題的解法[J].初中生之友，2003（Z5）：37-39.