培養初中生數學思維深刻性的策略研究

肖文記

摘? 要：數學思維的深刻性主要表現為三個方面：一是縱向思維，向后能追根溯源，向前能預見未來;二是由表及里，洞悉本質，揭示事物的發展規律;三是由此及彼，在關聯中呈現事物之間的相互關系。文章主要就初中生數學思維的深刻性進行探討。

關鍵詞：思維深刻性;洞悉本質;揭示規律;內外關聯

在初中數學教學中，發現學生對知識的理解存在單一化和片面化的現象;對問題的探討停留在固定層面上，對方法的研究沒有歸納提煉，造成學生思維的淺層次發展。為了將學生的思維引向深刻，可從以下三個方面進行探索。

一、在洞悉本質的過程中發展數學思維的深刻性

大部分學生對兩位數乘法的計算停留在豎式計算層面，能否優化算法？我們可以嘗試探究計算中的規律。例如，[152=225，] [352=1 225，] 積末尾兩位數字都是25，前面數字為十位數字和比它大1的兩數之積，由此通過口算便可以得到[452]的結果;[11×19=209，] [13×17=221，] 積末尾兩位數字為個位數字之積，前面數字為十位數字和比它大1的兩數之積，由此可得到[14×16]的結果;[11×12=132，] [14×17=238，] 積的結果也有規律，[11×12=][11+2×10+1×2=132，14×17]= [14+7×10+4×7=238，] 由此可推算[23×24=23+4×][20+3×4=552。] 深層次思考，如何驗證與推廣？這個算法模型可以用多項式乘法法則來驗證，[10a+m ·][10a+n=10a+m+n · 10a+mn，] 適用于十位數字相同的兩位數相乘。此算法從特殊到一般，從數到式，追尋本質，在洞悉本質的過程中，學生的思維從粗淺到深刻。

二、在揭示規律的過程中發展數學思維的深刻性

學生對規律的探究大多停留在直觀層面，教師應該從簡單到復雜，加強聯系，建立對應，呈現規律。例如，下面的圖形都是由同樣大小的平行四邊形按照一定規律組成的，第1個圖形中共有1個平行四邊形，第2個圖形中共有5個平行四邊形，第3個圖形中共有11個平行四邊形，…，按照此規律，第6個圖形中平行四邊形的個數為? ? ? ? ? ?。[圖1][圖2][圖3]

生1：畫出第4個圖形有19個平行四邊形，發現相鄰兩個圖形個數之差依次為4，6，8，猜想它們的差為連續的偶數，即4，6，8，10，12，14，于是第5個圖形有29個平行四邊形，第6個圖形有41個平行四邊形。

師：還有其他思路嗎？

生2：畫出第4個圖形有19個平行四邊形后，發現[19=42+3，11=32+2，5=22+1，1=12+0，] 于是第6個圖形中平行四邊形的個數應[62+5=41。]

師：思路很好，聯想到了平方數。

生3：畫出第4個圖形有19個平行四邊形后，發現19 = 4 × 5 - 1，11 = 3 × 4 - 1，5 = 2 × 3 - 1，1 = 1 × 2 - 1，于是第6個圖形中平行四邊形的個數應為6 × 7 - 1，即41。

師：很特別，聯想到了相鄰兩數之積。那能求出第100個圖形中平行四邊形的個數嗎？

生2：我先求出第n個圖形中平行四邊形的個數為[n2+n-1，] 求得第100個圖形中平行四邊形的個數為10 099。

生3：我先求出第n個圖形中平行四邊形的個數為[n×n+1-1，] 再求出第100個圖形中平行四邊形的個數為10 099。

師：誰能給出提供幫助？

生4：2+4+6+8+…+[2n-1=2n+2n2-1，] 也可以求出第100個圖形中平行四邊形的個數為10 099。

如果沒有對問題的深入探究，思維的發展就會停留在初始層面，沒到精彩處就止步了。對問題的深度挖掘，引發對規律的思考，在前后項中尋找關聯，在變化中找到對應，用字母表示數觸發了代數式的萌動，式的生成揭示了數串的不同運算形式，化簡的結果讓不同的形式趨于一致，規律的呈現再現了數列的深度，體現了思維的深刻。

三、在內外關聯的過程中發展數學思維的深刻性

學生對問題的探究大多數始于一個維度，不會從多角度去分析。因此，教師應該引導學生從結果到原因，從外部到內部，從現象到本質，深層次、多方位理解事物之間的關聯。例如，已知n是正整數，[1+1n2+][1n+12]是一個有理式A的平方，求A的值。學生會從式的運算出發，先通分得到[n2n+12+n+12+n2n2n+12=][n2n+12+2n2+2n+1n2+n2。] 接下來，要考慮把分子轉化成平方的形式，學生在運算的過程中會發現不僅項數增多了，而且還出現了高次項，探究就此止步。有些教師會直接告知學生，只需要把分子中的兩項提公因式，即可得到一個平方式，即[n2n+12+2nn+1+1=][n2n+1+12。] 這樣做學生雖然知道結果是對的，但是心里還有疑問，[n2n+12]為什么不展開呢？[2n2+2n]為什么要提公因式呢？這種教學方法的問題在于讓學生知其然，而不知其所以然，對問題的探究僅僅停留在式的運算技巧層面，沒有理性分析。數式結合，令n = 1，則有[1+11+14=94=322=31×22;] 令n = 2，則有[1+14+19=4936=762=2×3+12×32;] 令n = 3，則有[1+][19+116=169144=13122=3×4+13×42。] 于是可以猜想原式的運算結果應為[n×n+1+1n×n+12。] 分子的目標是化成平方式，所以[n2n+12]不展開，[2n2+2n]要提公因式化為[2nn+1。] 這樣就有了兩個平方項與積的2倍，形成了一個標準的完全平方式，學生的疑問迎刃而解。式的運算可以借助數的運算來分析，數式關聯，使學生的思維獲得深刻發展。

從以上案例可以看出，初中生數學思維的深刻性就是由表及里，對內要縱向深掘，洞悉事物本質;對外要橫向關聯，理清事物之間的相互關系;在變化過程中，向后能回歸基點，向前能掌握趨勢，在呈現本質與規律的過程中發展思維的深刻性。

參考文獻：

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