一個幾何命題的向量證明及其初步應用與推廣

張禎珞 陳樹康

（羅源第一中學，福建 福州 350600）

一、命題呈現

命題：如圖1，在平行四邊形ABCD 中，若E、F 分別是AB、AD 邊上除點A 外的點，且AD=mAF，AB=nAE，EF 交AC 于點G，則AC=（m+n）AG.

圖1

向量是溝通代數與幾何的橋梁，以向量為工具可以把幾何性質的探究轉化為向量的運算，在實際探究活動開展中，可以引導學生從向量解決平面幾何問題的“三步曲”出發，嘗試給出該命題的向量證明，增強綜合運用數學知識的實踐的能力.

二、命題的向量證明

證明：

三、命題的初步應用

在完成命題證明后可以嘗試讓學生思考命題的應用，可以從做過的習題等出發初步應用.

（一）在求線段比例問題方面的一些應用

例1.在ΔABC中，M 是BC 的中點，N 在AC 上且AN=2NC，AM 與BN 交于點P，求AP：PM 的值.

解：如圖2，在AM 延長線上取點D 使AM=MD，顯然四邊形ABCD 為平行四邊形.

圖2

該題的解答利用了化歸轉化的數學思想，其實由該題可將命題進行特殊化，可得如下結論：

推論1：在△ABC中，M 是BC 的中點，若點N 在AC 上且AC=λAN（λ≠1），AM 與BN 交于點P，則有AP：PM=

證明類似于例1，這里從略.特別的當λ=2 時，由推論1 可得另一個常用的結論：

推論2：在△ABC中，重心G 到各頂點的距離與到相應頂點所對邊的中點的距離的比都是2：1.再從課內熟悉的情形切換到課外的探索，可以引導學生思考若應用該命題來進行等分線段應該如何進行.

（二）在任意等分線段方面的應用［1］

從命題中，我們認識到，當m、n 為整數時就能得出任意等分線段的新方法，具體做法如下：如下圖3，以被截線段AB 為對角線任意作一平行四邊形，其對角線CD 將AB 二等分，過此二等分點E 作平行四邊形的兩鄰邊的平行線分別交兩鄰邊于F、G，連結D、F 的線段與AB 的交點H 是AB 的一個三等分點，F、G 的連線與AB 的交點I 是AB 的一個四等分點；同樣作出兩鄰邊的三等分點J、K，四等分點N、P，可作出被截線段的五、六、七、八等分點L、M、O、Q……

圖3

這種作圖法不用一等分、二等分……一步步作出所要的等分，比美國中學生發現的第二種眾所周知的任意等分線段的作圖法速度更快，更具一般性與實用性.

四、命題的推廣

類比于平面上命題的結論，可得其在三維空間中的推廣：

推廣：在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，若E、F、G 分別是棱AD、AB、AA'上除點A 外的點，且AD=mAE，AB=nAF，AA'=kAG，面EFG 交AC'于點P，則AC'=（k+m+n）AP.

證明：如圖4，連結AC 交EF 于H，?ABCD中AD=mAE，AB=nAF，

圖4

根據命題有

AC=（m+n）AH——①

又AC、AC'、AA'共面，

則H、P、G 三點共線，

在?ACC'A'中

AA'=kAG——②

由①②根據命題有

AC'=（k+m+n）AP.

特別地，當面A'BD∩AC'=P時，AC'=3AP，即體對角線AC'被截面A'BD三等分；另外推廣本身也可以用空間向量來證明，留待師生在后繼教學中進一步解決.