關注學生數學現實 開展結構化教學
——以《衛星運行時間》一課為例

陳莉群

（泉州師范學院附屬小學，福建 泉州 362000）

國際著名數學家弗賴登塔爾指出：“數學現實就是指站在數學的角度去觀察客觀世界并在此基礎上去思考所獲取的知識內容，關注與數學知識之間的內部關聯，是一種認知結構，學生的這些數學現實不但包括他們已有的人生經歷、知識背景、數學思維、抽象能力等，還應該包括他們在當下所能夠得到的教育和數學成長，是學生個體的、變化的和發展的動態系統。”［1］所謂結構化教學是指“建立在數學知識系統和學生已有認知基礎之上的，以整體關聯為抓手、以動態建構為核心，以發展思維為導向，以提高基本學力和數學綜合素養作為教學目標所要求的學習過程、學習方式和方法。”［2］

現代教育理論認為，學生學習知識的真正目的在于發展學習系統，提高學科素養。小學數學教學已由大量識記無遷移能力的知識輸入轉向學生自我汲取知識的教育階段。教學中，教師要緊密關注學生已有的數學現實，站在整體化、系統化的高度，幫助學生將新知與原有的認知產生聯結，促進學生已有知識與經驗的遷移，促進學生知識、智力和能力體系結構的發展。本文以北師大版教材四年級上冊《衛星運行時間》一課為例，談談基于學生數學現實進行結構化教學探索。

《衛星運行時間》這節課的主要內容是學習三位數乘兩位數，與兩位數乘兩位數相比，算理和算法完全相同。大多數教師在教學本課時發現，學生興致不高，學得不好，看起來會了，但是若檢查對算理的理解，學生會錯誤百出。面對這樣的情況，在教學《衛星運行時間》這一課時，筆者思考的問題是：

1.基于學生已有的數學現實（學生之前學了三位數乘一位數與兩位數乘兩數），本節課教什么？

2.如何將教材中編排（或學生出現）的不同計算方法之間建立起有序聯系，讓學生更加深入理解三位數乘兩位數的算理？

帶著這樣的思考，認真解讀教材與學生，教師不難發現，雖然三位數乘兩位數的算理和算法與兩位數乘兩位數完全一致，但由于增加了因數位數，相應地提高了計算的難度，導致了計算中各種不同情況的出現。因此，本課的學習不僅必要，而且重要。本課教學的關鍵在于引導學生將兩位數乘兩位數的算理和算法遷移到三位數乘兩位數中，完成新舊知識的銜接，掌握筆算的技能，構建完整的知識網絡。

基于此，筆者的教學從以下兩個方面展開。

一、突出本質，同化認知，在類比中理解

學生在學習中的知識遷移具有完備性和條件性，需要共同因素的作用。發現數學知識間的共同要素，有助于學生把握表面異質的知識間的內在關系，具有舉一反三、促進理解之效。

（一）復習鞏固，喚醒經驗

根據學生的認知規律，當新知識與原有的知識經驗的關聯程度越深，就越能激發學生的學習欲望，已有的認知經驗就激活程度越高，越容易實現對新知的個性化學習。［3］

上課伊始，先通過兩道復習題，喚起學生已有的知識經驗，學生在計算、交流過程中對三位數乘一位數、兩位數乘兩位數的計算方法、算理得以回顧，喚醒，對已學的知識進行歸納整理，同時為新授作充分的鋪墊，在新舊知識之間搭起了一座橋梁。

［教學片段一］

師：我們已經學過哪些乘法計算？

生：我們學過乘法口算、三位數乘一位數和兩位數乘兩位數的筆算。

師：請你用豎式計算214×7、35×16 這兩道題，并和同桌說一說計算過程。

學生獨立計算，并交流。

生：計算214×7，分別用7 去乘214 各個數位上的數就可以得到結果。

生：計算35×16，先用個位上的6 去乘35，得210，再用十位上的1 去乘35，得35 個十，也就是350。最后把350 和210 相加就可以。

像這樣，在學習中將新知與舊知充分聯系，從而拓展原有認知，將新知融入自身的認知結構，該過程通常稱為“同化”（從舊知探尋新知）。上文所述的學生通過調用“兩位數乘兩位數”筆算方法的經驗來解決“三位數乘兩位數”筆算的新問題，這就是同化。同化可以幫助學生在原有的認知結構中找到新知識的可對應內容，以便使新知識與學生的現有知識聯結，使之處于準備接受、處理新知識的狀態。

（二）經驗遷移，自主建構

學生對整數乘法豎式計算的學習是逐步推進的。在學習整數乘法豎式計算的過程中，他們經歷了一系列的操作體驗活動，如擺學具、擺小棒、點子圖等，這些活動讓他們直觀理解了算理，抽象出了算法，在頭腦中形成乘法豎式計算的位值制模型。所以，本節課要學習的三位數乘兩位數豎式計算，與前面的學習內容對比，只是增加了因數的位數，學生學習的基礎是借助豎式計算的位值制模型和算理經驗，利用遷移規律展開的探究學習。因此，本課的學習對于大多數四年級的學生來說不會有太大難度。

［教學片段二］

1.分析題意，列一列

出示例題：

學生根據信息提出數學問題。教師從學生提出的問題中選取一個展開教學。

師：繞地球21 圈需要多少時間？請列出算式，再和同桌說一說為什么這樣列？

生：因為繞地球1 圈要114 分，求繞地球21 圈所用的時間就是求21 個114 分是多少。所以列式為：114×21。

2.借助已學，明晰算理

師：回顧之前所學，想一想怎么算114×21，并把計算過程寫下來。

生1：把21 分成20 加1，先算20 圈需要多少時間，用114×20＝2280；再算1 圈需要多少時間，用114×1＝114；最后把它們合起來就是21 圈所需的時間，用2280+114＝2394。

（114×20＝2280 114×1＝114 2280+114＝2394）

生2：我是把21 分解成7×3，然后轉化成三位數乘一位數來算就很簡單。先算114×7=798，再算798×3＝2394。

（114×21＝114×7×3＝798×3＝2394）

生3：我用表格的方法，把114 分成100+10+4，把21 分成20+1，第一行算的是114×20=2280，第二行算的114×1=114，最后把2280 和114 相加，得2394。

生4：我是列豎式計算的。先算114 乘1 等于114，再算114 乘20 等于2280，最后把兩部分的積相加。

師：咱們請這位同學把豎式寫在黑板上。（板書豎式）

……

教學時，通過列一列、算一算等活動，激活學生已有的學習經驗。無論哪種方法，不管是豎式計算，還是口算，或者借助表格計算，學生無不是嘗試調用已學，把新知識帶入到已學的舊知識中，主動地進行遷移學習。這個探究的過程不僅發展學生的數感，提高運算能力，也為后面進一步學習數的計算做鋪墊。

縱覽有關計算教學，大多數的新知都是由原有知識遷移變化，最后整合而形成的。因此，通過分析知識的結構特點，教師在計算教學中注重培養學生自主探究的能力，充分發揮學生從舊知探尋新知的優勢，從而幫助學生建構新知，完善認知結構。

（三）理解算理，理法交融

《義務教育數學課程標準（2011 版）》正式將“運算能力”列入數學核心素養的范疇，“理解算理”成為學生運算能力發展的重要目標之一。馬云鵬教授提出：“我們在理解算理的過程中，需要學生具備一定的數感。在課堂教學中，語言表征、算式和意象等各種多元化的表現形式都有助于增強和培養學生對算理的認識，加深了學生對算理的深層感知，進而培養和提高學生的計算能力。”［4］

在學生的數學學習過程中，計算貫穿始末，而能否靈活運用“口算、估算、筆算”這三種計算，是評估學生運算能力的重要標準。因此，培養學生這三種能力是核心追求。

1.筆算的算理

［教學片段三］

曹培英提出：“算法、算理是運算能力的一體兩翼，尤其是在小學數學中，兩者相輔相成，不可偏廢。”［5］對于算理的理解，本課借助情境，先讓學生自己嘗試用已學的知識來解決，在交流的過程中，努力引導學生發現新舊知識的內在聯系，把學生的思維引到新舊知識的聯結點上，還要引導學生把算理與算法融為一體，比如，說清楚怎么算，每一步算什么。學生在算法的探究中理解算理，在理解算理的基礎上完善算法。

教學中，學生只有理解算理才能為算法的建構提供有力保障，也只有當算理與算法溝通，才能實現算法根植于算理基礎上的保障“自然生長”，才能契合數學運算的本質，真正達到循“理”入“法”，以“理”馭“法”，構建一個“理”“法”交融的計算課堂。［4］

2.估算的意識

［教學片段四］

師：請你估一估，大概需要多少時間？

生：把114 看作100，100×21=2100（分），比2100分多。

生：把114 看作110，21 看作20，110×20=2200（分），因為我把114 和21 都估小了所以精確結果比2200 分多。

生：把114 看作120，把21 看作20，120×20=2400（分），約2400 分。因為我把114 估大，把21 估小，所以精確結果接近2400 分。

師：說得都有道理。估算是為了讓我們更好把握精確結果的范圍，沒有固定的答案，方法也可以不相同，只要合理就行。

《義務教育數學課程標準（2011 版）》指出：估算教學不僅僅是教給學生模式化的估算方法，而是通過教學使學生對估算的意義和價值有透徹的理解，從而在計算中靈活運用估算技能。為激發學生的估算意識，重點在于賦予學生實際體驗，積累豐富經驗。估算的進行應該盡量結合具體情境，既符合學生的認知規律，又有助于提高學生解決實際問題的能力，真正達到學有所用。教學時，引導學生在具體的情境中估算，初步感知結果的大小，在交流中感受估算方法的多樣性。

［教學片段五］

194×21=（），以下哪個答案正確？請說明理由。

【A.384 B.1494 C.3983 D.4074】

2★6×★1=（）。下面哪個答案是正確的？

A.576 B.4132 C.31006 D.5376

上述習題，不同的要求促使學生深入思考、靈活選用口算、筆算、估算三種方法，在解決問題的過程中，既發展了數感，也提升運算能力。別出心裁的作業設計既融合了估算、筆算、驗算和尾數判斷等多種運算經驗的綜合運用，又有效鞏固新學的計算方法，還引導學生在充分交流的過程中積累經驗。同時，估算的必要性及對筆算的強烈需求水到渠成。

二、連點成線，溝通聯系，在序列中建構

學生建構數學知識一般有兩種途徑：一是依賴已有的生活經驗，二是憑借已有的知識經驗。隨著學習的不斷深入，學生的認知系統中已經對數學知識的邏輯性有一定的建構。如果教學能遵從數學自身的邏輯體系并基于此促進認知結構的建立，也能為學生領悟美麗的數學風景打開一扇窗。

［教學片段六］

師：同學們用了四種方法來計算114×21，這些方法之間有什么聯系？

生：我發現第1 種、第3 種和第4 種方法的思路其實是一樣的，都是先把21 分成20 加1，分別和114 相乘，再把兩個積相加。

生：這些方法都是先把乘數拆分成更小的數來計算，再把計算結果合起來。

生：我還發現這些方法都是把三位數乘兩位數轉化成已經學過的來計算。

師：是的。這些方法不同，但道理相同，都是利用“先分后合”的思路，把新知識轉化成已學過的知識來解決。

在這個環節，以問題“這幾種方法有什么相同點與不同點？（有什么聯系？）”引導學生通過觀察、比較、發現豎式計算和口算、借助表格計算之間的聯系，都是把除數先拆分成較簡單的進行計算，再把結果合起來，也轉化成已學的知識來解決，幫助學生搭建豎式和算理之間的橋梁，真正理解三位數乘兩位數的算理，找到豎式的“根”。

［教學片段七］

師：兩位數乘兩位數與三位數乘兩位數在計算方法上有什么相同點？

生：它們的計算方法是一樣的。都是先用乘數個數上的數去乘另一個乘數，得到幾個一，再用乘數十位上的數去乘另一個乘數，得到幾個十，再把結果加起來。

師：你認為更多位數的整數乘法應該怎么算？

生：我認為更多位數的整數乘法也是和兩位數乘兩位數的計算方法一樣。

教學中，通過呈現兩位數乘兩位數、三位數乘兩位數再延伸多位數乘多位數，在觀察比較、溝通聯系、遷移應用中不斷建立新知識與已有知識的聯系，引領學生深入思考，梳理知識，完善認知結構，豐富學習感受，發展思維素養。

總之，教學時，教師要站在知識系統的高度，從整體的角度審視學生學習的發生、發展過程，幫助學生整合所學的零散知識，連點成線，在舊知的基礎上形成關聯性的新知，并將其融入原有的認知結構中，讓學生有效建構數學知識體系，進一步展望知識的后續生長，讓深度學習真正發生。倘若能有效開展這樣的結構化學習，學生的能力發展將不可限量。