上半凹函數和下半凸函數的一階粘性導數的存在性

汪元倫，胡小平，任秋道

(綿陽師范學院數理學院，四川綿陽 621000)

0 引言

凹凸函數是一類重要的函數，凹凸函數及其推廣的擬凹、擬凸函數已被廣泛應用到最優化、不動點等許多領域，特別是在不可微最優化的研究中，凹凸函數是作為最重要的不可微函數類進行研究的[1].文[1]中討論了擬凹、嚴格擬凹和強擬凹函數的特征和性質.在此基礎上針對幾乎處處可微的函數，弱化了常規的凹函數和凸函數概念，給出了上半凹函數和下半凸函數的概念.粘性上(下)導數來源于從八十年代初建立起來的偏微分方程粘性解理論.然后討論了上半凹函數、下半凸函數和一階粘性上(下)導數的關系.

1 相關定義

設u(x):Ω→R,x0∈Ω?Rn,u(x)在Ω上是幾乎處處可微的.

定義1 設函數u(x)是幾乎處處可微的，若?λ>0，?α>0使得u(x)-λ|x|α+1是凹函數，就稱函數u(x)是上半凹函數.

定義2 設函數u(x)是幾乎處處可微的，若?λ>0，?α>0使得u(x)+λ|x|α+1是凸函數，就稱函數u(x)是下半凸函數.

定義3[2]集合J+u(x0)={p∈Rn:u(x)≤u(x0)+p·(x-x0)+o(|x-x0|)}稱為函.

定義4[2]集合J-u(x0)={q∈Rn:u(x)≥u(x0)+q·(x-x0)+o(|x-x0|)}稱為函

數u(x)在點x0的一階下導集，其中的元素稱為一階下導數.

2 兩個相關結論

命題1 如果u(x)是上半凹函數，D表示一階導數，則?x0∈Ω,使得.

p∈J+u(x0)={Du(x0)}，p=Du(x0)

證明因為u(x)是上半凹函數，那么?λ>0，?α>0使得u(x)-λ|x|α+1是凹函數，由u(x)是幾乎處處可微的可知，取xn→x0，注意到{Du(xn)}有界，取{Du(xn)}的任意收斂子列，仍記為{Du(xn)}，Du(xn)→p(n→∞).由u(x)-λ|x|α+1是凹函數可知，在點列xn上有

u(x)-λ|x|α+1≤u(xn)-λ|xn|α+1+D(u(xn)-λ|xn|α+1)·(x-xn)

即

故

u(x)≤u(xn)+Du(xn)·(x-xn)+λ|x-xn|α+1

令n→∞，有

u(x)≤u(x0)+p·(x-x0)+λ|x-x0|α+1，

即

u(x)≤u(x0)+p·(x-x0)+o(|x-x0|)，

其中o(|x-x0|)是|x-x0|的高階無窮小.

所以

p∈J+u(x0)={Du(x0)}，p=Du(x0)

故命題1得證.

命題2如果u(x)是下半凸函數，D表示一階導數，則存在x0∈Ω，使得

q∈J-u(x0)={Du(x0)}，q=Du(x0)

證明因為u(x)是下半凸函數，那么?μ>0，?α>0,使得u(x)+μ|x|α+1是凸函數，由u(x)是幾乎處處可微的可知，取xn→x0，注意到{Du(xn)}有界，取{Du(xn)}的任意收斂子列，仍記為{Du(xn)}，Du(xn)→q(n→∞).由u(x)+μ|x|α+1是凸函數可知，在點列xn上有

u(x)+μ|x|α+1≥u(xn)+μ|xn|α+1+D(u(xn)+μ|xn|α+1)·(x-xn)

即

故

u(x)≥u(xn)+Du(xn)·(x-xn)+μ|x-xn|α+1

令n→∞，有

u(x)≥u(x0)+q·(x-x0)+μ|x-x0|α+1

即

u(x)≥u(x0)+q·(x-x0)+o(|x-x0|)

其中o(|x-x0|)是|x-x0|的高階無窮小.

所以

q∈J-u(x0)={Du(x0)}，q=Du(x0)

故命題2得證.