空飄氣球飛行軌跡模型建立與仿真分析

劉嬌龍，胡 杭，黃興龍，張德昇

(中國人民解放軍66133部隊，北京 100043)

1 引言

空飄氣球是指在平流層以下飛行的無動力浮空器，氣球使用氦氣或氫氣填充，可用繩索固定在地面或物體上，也可于空中飄飛[1]。空飄氣球有鍍鋁膜、捆束、透明、彩色等多種類型，其主要來源于節日慶典釋放、空飄廣告宣傳、科學試驗、偵察搜索等過程中的投放，在投放后可上升至幾千米甚至上萬米高空，并在浮力和風的作用下長時間穩定飛行。

空飄氣球雖然在社會生產生活中具有重要用途，但違規投放的空飄氣球將會對社會公共安全帶來巨大威脅。一是嚴重干擾航空運輸安全。隨意釋放的空飄氣球飛行航跡缺少約束，不受控制，可能與航行中的飛機發生碰撞，或近距離接觸并吸入發動機，造成發動機故障，嚴重影響飛行安全。二是威脅國家和個人隱私安全。利用空間技術，空飄氣球可實現對國家機密地域的偵察窺探，或對公民住宅進行監測拍攝，容易被不法分子利用，產生失密現象[2]。三是造成人民生命財產安全損失。飄落墜毀的氣球殘余掉入城市、居民區等人口聚集區域，容易發生撞擊、燃燒、爆炸等事件，極易造成人員傷亡，社會影響十分惡劣。因此，建立空飄氣球飛行軌跡模型，研究空飄氣球的運動軌跡，特別是預測分析其釋放后飛行軌跡，對于維護航空飛行安全、國家隱私安全和人民生命財產安全，都具有重要的現實意義。

文獻[3-4]建立了系留氣球的數學模型，研究了在風場作用下氣球的升空過程，分析了氣球軌跡、水平漂移距離等參數變化規律，以指導系留氣球的釋放控制過程。文獻[5-6]針對平流層高空氣球，考慮了膨脹因素和熱力學影響，建立了氣球運動綜合模型，并引入實際風場數據和實驗數據，研究了氣球模擬上升軌跡、速度和溫度特性。文獻[7-10]研究了空中運動的物體在受到與速度成線性或二次方關系阻力、風速影響、旋轉影響時的運動模型和空間軌跡，但由于針對的是小型拋射體，未考慮其所受的浮力影響。

目前已有的文獻從不同角度對氣球升空模型進行了分析，但缺少針對平流層以下空飄氣球的系統研究，不能很好的支撐空飄氣球運動軌跡預測分析。本文在綜合現有研究基礎上，結合氣球受力分析、動力學模型和運動學模型，對空飄氣球飛行軌跡進行詳細建模。同時，對實際高空風場歷史數據進行了擬合，利用MATLAB搭建仿真模塊，研究了空飄氣球在歷史平均風場作用下的升空、漂浮過程中的軌跡和速度特性。最后，對不同阻力模型下空飄氣球軌跡模擬效果進行了對比，分析了不同模型在模擬空飄氣球軌跡時的適應性。

2 空飄氣球模型

2.1 氣球受力分析

將地球視為固定不動平面，建立大地平面坐標系O-xyz，用以描述空飄氣球運動軌跡，如圖1所示。選擇氣球釋放點為原點O，x軸指向正東，與緯線平行，y軸指向正北，與經線平行，z軸垂直向上，坐標系滿足右手定則。

圖1 空飄氣球受力分析

空飄氣球在空中運動主要受到浮力、重力和空氣阻力的作用。浮力、重力及空氣阻力表達式如下

(1)

其中，浮力F浮方向垂直向上，為空氣密度ρ、氣球體積V排和重力加速度g的函數，g=9.8m/s2；重力G方向垂直向下，為氣球質量m與重力加速度g的函數；阻力F阻的方向與氣球相對風的運動方向相反，為空氣密度ρ、特征面積S、阻力系數CD和氣球相對于風的速度va的函數。

2.2 動力學方程

令v為空飄氣球相對地面的運動速度，vw為風速，va為氣球與風的相對速度。在x、y、z三個軸方向上，vx、vy、vz為速度v的三軸分量，vwx、vwy、vwz為風速vw的三軸分量，而vax、vay、vaz為氣球與風在三軸方向上的相對速度，有

(2)

氣球在上升漂浮過程中，可以將其視為質點運動，其三軸方向動力學微分方程為

(3)

其中，F阻vax/va、F阻vay/va、F阻vaz/va分別為阻力在x、y、z三個軸方向上的投影分量。m為氣球質量，包含氣球蒙皮質量、氣體質量、載荷質量和附加質量，計算式如下

m=m皮+m氣+m載+m附

(4)

其中，附加質量是由于氣球拖拽的空氣引起的。當氣球在空氣中運動時的平均密度和空氣密度量級相當時，需要在運動分析中考慮。附加質量為空氣密度和氣球體積的函數，計算公式如下[5-6，11]

m附=C附ρV排

(5)

C附為阻力系數，對于近似球形的氣球而言，C附取0.5。

2.3 運動學方程

對于氣球的運動學微分方程，有

(6)

其中，sx、sy、sz分別為氣球在x、y、z三個軸方向上的位移。

3 大氣環境模型

3.1 大氣模型

空飄氣球主要在對流層中漂浮，在其上升過程中，空氣的密度、溫度、壓力都將發生變化。本文采用國家標準大氣密度解析函數(GB1920-80)來模擬不同高度的空氣密度[12]

(7)

3.2 風場模型

無論是上升過程還是漂浮過程，風速都是空飄氣球運動的重要影響因素。風速是高度的函數，其大小和方向會隨著高度的變化而變化，同一地域不同時間，同一時間不同地域，風速規律都不盡相同。通常可將風速分解為經向風和緯向風，對于經向風，正北方向定義為正方向，對于緯向風，正東方向定義為正方向，以保持與本文坐標系一致。

某地域冬季盛行西北風，采集該地域2018年至2020年的12月—3月期間，從地面至9000m高空風的大小和方向數據，并將其分解至經緯兩個方向，獲得經向風和緯向風大小。對緯向風vx、經向風vy、合成風vxy的采集數據進行擬合，得到這一段時間段內風速的平均值擬合函數表達式及其常系數

vx(h)=a1h5+a2h4+…+a5h+a6

vy(h)=b1h5+b2h4+…+b5h+b6

vxy(h)=c1h5+c2h4+…+c5h+c6

(8)

a=[2.896e-17，-5.653e-13，3.86e-9，

-1.113e-5，1.623e-2，-4.394]

b=[1.124e-17，-2.289e-13，1.586e-9，

-4.069e-6，6.416e-4，-0.792]

c=[2.192e-17，-4.122e-13，2.679e-9，

-7.339e-6，1.183e-2，1.148]

(9)

風場采集數據及擬合曲線如圖2所示。

圖2 風場數據及擬合曲線

3.3 空氣阻力

對于空氣中運動的物體，其阻力系數與氣球雷諾數相關。根據文獻[6，9]的資料可知，對于一般球型或橢球型物體，氣球雷諾數在106左右，阻力系數CD取值在0.13-0.467之間。

為了驗證不同空氣阻力模型對氣球飛行軌跡的模擬效果，本文引入文獻[8]的空氣阻力形式，并在下文仿真中與式(1)中的阻力形式進行對比。文獻[8]將空氣阻力在各個分軸上分別解耦進行計算，其計算式為

(10)

其中，α=1/2ρSCD，當氣球為不規則形狀時，各個軸方向的投影特征面積和阻力系數需要根據具體形狀而更正。

4 仿真研究

對普通鋁膜球形氣球進行放飛仿真，模擬其從該地域地面放飛后上升及漂浮軌跡，氣球參數如表1所示，氣球總質量為12g，體積為0.0335m2，風速模型采用式(7)所示的該地域擬合平均風速模型。

表1 氣球參數

氣球上升速度曲線如圖3所示。當氣球被釋放后，氣球在浮力作用下，速度將會迅速增加到約2.9m/s，然后隨著高度增加時逐漸減小，最后停止上升，在一定高度上達到穩定。

圖3 氣球釋放后上升速度曲線

從動力學模型式(3)中，可進一步分析氣球上升時速度變化的原理。根據式(3)，當氣球穩定上升時，有

(11)

剛釋放時，浮力大于重力，ρgV排>mg，因此vz>0，氣球上升。隨著氣球高度增加，空氣密度ρ逐漸減小，氣球所受的浮力也逐漸減小，上式中mg/ρ逐漸增大，vz隨之減小。當到達一定高度時，氣球浮力、重力達到平衡，即ρgV排=mg，因此vz=0，氣球停止上升，穩定在某高度層。另外，從式(11)還可知，氣球質量越小，體積越大，阻力系數越小，vz越大，氣球上升得更快。

圖4為氣球上升后高度隨時間變化曲線。從圖中可知，氣球被釋放后，高度穩定增加，在約55min時上升至5265m，然后穩定在此高度層。

圖4 氣球上升高度隨時間變化曲線

根據上文分析可知，當高度穩定時，ρgV排=mg，即

m=ρV排

(12)

空氣密度ρ是高度h的函數，隨高度增加而減小。因此，對于給定體積的氣球，質量越輕，飛得越高；而對于穩定在一定高度的氣球，氣球質量越大，體積也必須更大。

圖5給出了氣球水平方向漂移的距離和高度變化的對比圖。從圖中可見，氣球在釋放的初始階段以上升運動為主，而在接近穩定高度層時以水平運動為主。當其上升到3000m高空時，水平方向只運動了8.6km。而從3000m上升到穩定高度層5265m處，氣球漂浮了40km。需要指出的是，本文中5265m高空風速為82.5km/h，而氣球水平漂移距離與空中當前風速有關，當風速越大時，橫向漂移距離會隨之增加。

圖5 氣球高度方向和水平方向位移圖

圖6給出氣球升空后的三維軌跡示意圖。從圖中可見，氣球在風場和浮力作用下迅速上升，最后于5265m高度沿117.6度方向穩定飛行，與該高度層的風速方向保持一致。

圖6 氣球升空后的三維軌跡示意圖

最后，進一步給出了采用式(10)中空氣阻力解耦模型與采用式(1)中阻力耦合模型的仿真效果對比圖，如圖7所示。從圖中可見，雖然式(10)將阻力分解為三個軸分別計算，但這對氣球模型的仿真計算效果影響甚微。與原阻力模型相比，兩者幾乎具有相同的上升軌跡特性，在20km處高度差距小于30m。這說明兩個模型均可用于氣球飛行軌跡仿真，式(1)中的模型在力學上更容易解釋，而式(10)的模型更有利于區別氣球在不同方向上受到不同阻力系數和特征面積的影響。

圖7 不同阻力模型氣球升空效果對比圖

5 結論

本文對空飄氣球升空后的受力情況進行了詳細分析，建立了空飄氣球的動力學和運動學模型，并對某地域高空風速歷史數據進行擬合，建立了大氣環境模型。仿真結果表明，提出的模型可以有效的模擬氣球升空后的速度變化和軌跡變化特性，其反映出的規律與實際經驗相一致。在實際應用中，需要進一步進行氣球放飛試驗，獲取不同氣球的阻力系數、附加質量系數、特征面積等參數，以不斷提高模型的精確性和適應性，更好實現空飄氣球的軌跡實時預測。