二次函數中考亮點題

陳洪兵

二次函數是初中數學的重要內容，也是中考命題中設計亮點題的重要素材.下面以2021年中考題為例，介紹兩類二次函數的中考亮點題.

一、圖象信息型

例1（2021·四川·遂寧）已知二次函數[y=ax2+bx+c（a≠0）]的圖象如圖1所示，有下列5個結論：①[abc>0];②[b2<4ac];③[2c<3b];④[a+2b>m]·（[am+b]）（[m≠1]）;⑤若方程[ax2+bx+c] = 1有四個根，則這四個根的和為2.其中正確的結論有（ ）.

A. 2個? ? ? ? B. 3個? ? ? ? ? C.? 4個? ? ? ? ? ? D. 5個

解析：由圖象的開口向下可知a<0，由對稱軸在y軸的右側可知a，b異號，故b>0，由圖象與y軸交于正半軸可知c>0，因此abc<0，故①不正確. 由二次函數的圖象與x軸有兩個交點，可知b2-4ac>0，即b2>4ac，故②不正確. 由圖象可知其對稱軸為x = -[ b2a]? = 1，∴a = -[ 12]b，又由圖象可知，當x = -1時，y = a - b + c<0，∴- [12]b - b + c<0，即[2c<3b]，故③正確. 由圖象可知，當x = 1時函數有最大值，因此當x = m且m ≠ 1時，有am2 + bm + cam2 + bm，又∵b>0，∴a + 2b>m（am + b）（m ≠ 1），故④正確. 由方程[ax2+bx+c] = 1有四個根，可知二次函數[y=ax2+bx+c（a≠0）]的圖象與直線y = ±1有四個交點. 設二次函數[y=ax2+bx+c（a≠0）]的圖象與直線y = 1兩個交點的橫坐標分別為x1和x2，則由方程ax2 + bx + c - 1 = 0可知x1 + x2 = - [ba]. ∵a = - [12]b，∴x1 + x2 = 2.同理，設二次函數[y=ax2+bx+c（a≠0）]的圖象與直線y = -1兩個交點的橫坐標分別為x3和x4，則x3 + x4 = 2，∴x1 + x2 + x3 + x4 = 4，故⑤不正確. 故選A.

點評：方程問題可以通過構造函數，借助于圖象的直觀性來解決.

二、定義概念型

例2（2021·江西）二次函數y = x2 - 2mx的圖象交x軸于原點O及點A.

感知特例：

（1）當m = 1時，如圖2，拋物線L：y = x2 - 2x上的點B，O，C，A，D關于點A中心對稱的點分別為B'，O'，C'，A'，D'.如下表：? ? ? ?[… B（-1，3） O（0，0） C（1，-1） A（ ， ） D（3，3） … … B'（5，-3） O'（4，0） C'（3，1） A'（2，0） D'（1，-3） … ]

①補全表格;

②在圖2中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為L'.

形成概念：

我們發現形如（1）中的圖象L'上的點和拋物線L上的點關于點A中心對稱，則稱L'是L的“孔像拋物線”.例如，當m = -2時，圖3中拋物線L'是拋物線L的“孔像拋物線”.

探究問題：

（2）①當m = -1時，若拋物線L與它的“孔像拋物線”L'的函數值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍為 ;

②在同一平面直角坐標系中，當m取不同值時，通過畫圖發現存在一條拋物線與二次函數y = x2 -2mx的所有“孔像拋物線”L'都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是 （填“y = ax2 + bx + c”或“y = ax2 + bx”或“y = ax2 + c”或“y = ax2”，其中abc ≠ 0）;

③若二次函數y = x2 - 2mx及它的“孔像拋物線”與直線y = m有且只有三個交點，求m的值.

解析：（1）A（2，0）;②如圖2所示.

（2）①當m = -1時，拋物線L為y = x2 + 2x，在直角坐標系中作出拋物線L及它的“孔像拋物線” L'，如圖4，觀察圖象可知，當-3 ≤ x ≤ -1時，拋物線L與它的“孔像拋物線”L'的函數值都隨著x的增大而減小.

②令y = x2 - 2mx中的y = 0，得x1 = 0，x2 = 2m，∴拋物線y = x2 - 2mx與x軸的交點坐標為O（0，0），E（2m，0），點O關于點E的對稱點為E'（4m，0），易知m ≠ 0，再令x = -1，代入y = x2 - 2mx得y = 1 + 2m，得到點F（-1，2m + 1），利用全等三角形可以求得點F關于點E對稱的點F'（4m + 1，-2m - 1）.設拋物線L的“孔像拋物線” L'的解析式為y = a'（x - 2m）（x - 4m），將點F'（4m + 1，-2m - 1）代入，得-2m - 1 = a'（4m + 1 - 2m）（4m + 1 - 4m），解得a' = -1，∴“孔像拋物線”L'的解析式為y = -（x - 2m）（x - 4m），與 y = ax2組成方程組，消去y得（a + 1）x2 - 6mx + 8m2 = 0，由拋物線與二次函數y = x2 - 2mx的所有“孔像拋物線”L'都有唯一交點，可知Δ = 36m2 - 32m2（a + 1） = 0，解得a = [18]. 可以驗證，其他類型的函數均不成立. 故應填y = ax2.

③∵二次函數y = x2 - 2mx及它的“孔像拋物線” y = -（x - 2m）（x - 4m）與直線y = m有且只有三個交點，由圖象可知，直線y = m過點A（此時m = 0，不合題意）或過其中一條拋物線的頂點，所以m = m2或m = -m2，解得m = 1或-1.

點評：本題文字比較多，信息量較大，要認真閱讀，弄清新定義的概念“孔像拋物線”? 的本質，通過填表、畫圖、計算、推理，數形結合地解決問題. 在解決“探究問題” 部分時，求出“孔像拋物線”L'的解析式為y = -（x - 2m）（x - 4m）是關鍵.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區實驗初級中學）