機帶海水冷卻電液伺服系統反步抗擾控制研究

邵 鋼，沈 偉，孫 僑

(1.中國船舶集團有限公司第七〇三研究所，黑龍江 哈爾濱 150000； 2.上海理工大學 機械工程學院，上海 200093)

引言

近些年來，中國的船舶行業取得了飛速的發展[1]。由于液壓元件快速性好、功重比大和抗負載能力強等特點[2-3]，液壓系統在船舶上得到了廣泛應用。船舶主要的液壓系統包括舵機系統、推進器和冷卻系統等。電液伺服控制系統是一種高階非線性系統，普遍存在結構不確定性和各種匹配和不匹配干擾，這給系統的精確控制帶來很多困難[4-5]。對于電液伺服控制系統，學者們研究了許多種控制方法，如滑模控制[6-8]、平坦控制[9]和反步控制[10-14]等，然而，這些方法都需要全狀態反饋量，其中速度通常需要位置微分獲取，這樣就會放大測量噪聲，降低控制效果。因此，WONHEE K等[15]使用了一種基于高增益觀測器的無源輸出控制，JING Chenghu等[16]設計了一種基于擴張狀態觀測器的平坦控制方法，YAO J等[17]和GUO Q等[18]設計了一種基于擴張狀態觀測器的反步控制方法，這些方法可以獲取速度和壓力，但是沒有觀測系統中的非匹配干擾，這樣非匹配干擾就會影響系統跟蹤性能。DAEHEE W 等[19]采用2個高增益干擾觀測器，能夠實現分別觀測系統中存在的2種干擾，這為本研究中非匹配干擾的估計和補償提供了一種思路。前述的控制方法可以發現反步法是一種非常適合高階非線性系統的控制器設計的方法，通過對系統的空間模型進行反向推導，逐層降低模型的階數，進行控制率的設計。本研究采用反步法，通過選擇合適Lyapunov函數，反步遞推得到電液伺服系統控制率，另外狀態觀測器被用來觀測速度和壓力狀態，同時干擾估計器估計非匹配干擾，進而實現狀態的反饋和干擾的補償，提高系統跟蹤性能，并對觀測誤差和系統跟蹤誤差的收斂性進行了證明。

1 系統原理與模型

1.1 系統構成

船舶液壓系統原理如圖1所示，主要由定量泵、溢流閥、單向閥、伺服閥、液壓馬達及一些輔件構成。在本研究中，船舶液壓系統是一個角位置伺服系統。定量泵提供油源，溢流閥調定系統供油壓力，通過給伺服閥電流信號控制液壓馬達按照預期軌跡實現精確位置跟蹤。

圖1 液壓系統原理圖Fig.1 Schematic diagram of hydraulic system

1.2 液壓系統模型

對于閥控液壓馬達系統來說，最終是液壓執行元件——液壓馬達帶動負載進行運動或者做功。負載與液壓馬達軸連接，以液壓馬達軸為研究對象進行受力分析，可得馬達負載力矩平衡方程：

(1)

式中，Jm—— 馬達負載等效轉動慣量，kg·m2

Bm—— 馬達負載等效阻尼系數，N·m·rad-1·s

Gm—— 馬達負載剛度，rad

Tm—— 作用在馬達旋轉軸上的外負載力矩，

N·m

θ—— 馬達轉角，rad

定義液壓馬達負載流量和負載壓力分別為：

(2)

式中，q1—— 進入液壓馬達進油腔流量，m3/s

q2—— 從液壓馬達回油腔流出的流量，m3/s

p1—— 液壓馬達工作腔壓力，MPa

p2—— 液壓馬達回油腔壓力，MPa

根據負載壓力的定義，式(1)可以進一步寫成：

(3)

伺服閥閥芯位移改變，使得流量從閥口進入液壓馬達兩腔。考慮泄漏和油液壓縮性，液壓馬達兩腔流量連續性方程為：

(4)

式中，Cim—— 液壓馬達內泄漏系數，m3/(Pa·s)

Cem—— 液壓馬達外泄漏系數，m3/(Pa·s)

Dm—— 馬達排量，m3/rad

βe—— 油液彈性模量，Pa

Vm1—— 液壓馬達進油腔控制容積，m3

Vm2—— 液壓馬達回油腔控制容積，m3

考慮閥是零開口四通滑閥，且4個閥口是對稱且匹配的。可以得到關系式ps=p1+p2近似成立。因此，可以得到:

(5)

液壓馬達葉片轉角為θ，則液壓馬達兩腔容積可以表達為:

(6)

式中，Vm0—— 液壓馬達葉片處于中位時進油腔和回油腔初始控制容積,m3

利用式(5)和式(6)，式(4)中的式子相減可得，液壓馬達負載流量連續性方程為:

(7)

式中，Ctm—— 液壓馬達的總泄漏系數，m3/(Pa·s)

Vm—— 液壓馬達總控制容積,m3

其中，Ctm=Cim+0.5Cem，Vm=2Vm0。

根據節流口流量與壓力之間的關系式可得，伺服閥流量方程為:

(8)

式中，Cd—— 伺服閥閥口流量系數

ωm—— 伺服閥節流口面積梯度

sign(xv) —— 閥芯位移xv的符號函數。

目前，伺服閥的制造技術成熟，控制精度高。工作原理是伺服放大器將來自工控機的電壓信號轉換成電流信號輸出到伺服閥。本研究采用的伺服閥的工作頻率遠高于液壓馬達，因此，將輸出的指令電壓與伺服閥輸入電流之間看成一個比例環節，即：

xv=kvu

(9)

式中，xv—— 伺服閥閥芯位移，m

kv—— 動態比例系數，m/V

u—— 電壓信號

2 反步抗擾控制設計與分析

(10)

式中，R—— 未建模動態干擾(伺服閥和電氣環節動態)

為了準確控制液壓馬達轉角，將利用反演設計方法設計系統控制率。將系統狀態方程式(10)中的每個方程當作1個子系統，那么式(10)可以分為3個子系統。對于第一個子系統，可以看成狀態x2為輸入，狀態x1為輸出的單輸入單輸出系統。首先定義系統跟蹤誤差為e1=x1-x1d，針對第一個子系統選擇Lyapunov函數為：

(11)

根據系統狀態方程以及誤差e1定義，Lyapunov函數V1的導數為：

(12)

為第一個子系統的輸入x2設計一個虛擬控制量x2d為：

(13)

式中，k1—— 控制增益

對于第二個子系統，可以看成狀態x3為輸入，狀態x2為輸出的單輸入單輸出系統。定義狀態誤差e2=x2-x2d。針對第二個子系統選擇Lyapunov函數為：

(14)

根據系統狀態方程以及誤差e2定義，Lyapunov函數V2的導數為：

(15)

為第二個子系統的輸入x3設計一個虛擬控制量x3d為：

(16)

式中，k2—— 控制增益

對于第三個子系統，可以看成實際控制信號u為輸入，狀態x3為輸出的單輸入單輸出系統。定義狀態誤差e3=x3-x3d。針對第2個子系統選擇Lyapunov函數為:

(17)

根據系統狀態方程以及誤差e3定義，Lyapunov函數V3的導數為:

(18)

設計實際控制率u為：

(19)

式中，k3—— 控制增益

在設計的控制率和虛擬控制量中包含未知量Tm和R，而且轉速一般不能直接微分獲得。因此，需要設計狀態和干擾觀測器。根據系統方程可知，干擾可以表達為：

(20)

根據不確定性和干擾估計器推導過程[20-21]可知，可以用干擾表達式低通濾波對干擾進行估計，即：

(21)

式中，Gf1，Gf2—— 低通濾波器傳遞函數

Gf1和Gf2的表達式為：

(22)

式中，km3，kh2—— 低通濾波器時間常數

在本系統中，實際可測的為轉角x1和壓力x3，因此，可以設計觀測器：

(23)

式中，km1，km2，kh1—— 觀測器增益

(24)

3 反步抗擾控制穩定性分析

1) 狀態和干擾觀測器穩定性

定義估計誤差：

(25)

根據系統模型式(9)、干擾表達式(20)、干擾估計式(21)、狀態估計式(23)和估計誤差的定義式(25)可得，誤差的動態為：

(26)

為了證明狀態和干擾觀測器穩定性，定義一個輔助狀態向量為:

(27)

誤差動態式(26)可得:

(28)

式中，

選擇參數km1，km2，km3，kh1，kh2使得矩陣Aε具有負實數特征值，則存在一個對稱正定矩陣Pε使得:

(29)

式中，Qε—— 正定對稱矩陣

對于動態方程式(28)，選擇Lyapunov函數為:

Vε=εTPεε

(30)

≤-λmin(Qε)‖ε‖2+2‖PεB1‖‖ε‖d1+

2‖PεB2‖‖ε‖d2

(31)

式中，λmin(Qε) —— 正定對稱矩陣Qε最小特征值

對于Lyapunov函數式(29)，下列不等式成立:

λmin(Pε)‖ε‖2≤Vε≤λmax(Pε)‖ε‖2

(32)

其中，λmin(Pε)，λmax(Pε)分別代表正定對稱矩陣Pε最小和最大特征值。

結合不等式(32)，式(31)可以進一步整理為:

(33)

根據式(33)可以推斷，狀態和干擾觀測器是穩定的，狀態和干擾估計誤差能夠收斂到包含0的鄰域內。

2) 整體閉環系統穩定性

將虛擬控制量和實際控制率分別代入Lyapunov函數式(11)、式(14)和式(17)可得:

(34)

為了證明狀態和干擾觀測器穩定性，選擇Lyapunov函數為:

V=V1+V2+V3+Vε

(35)

其導數為:

λεVε+γ3‖ε‖2+σε

(36)

式中，γ1，γ2—— 正常數，γ3=min{1/2γ1,1/2γ2}

根據各個Lyapunov函數，式(36)可以進一步整理為:

λεVε+γ4Vε+σε≤-λV+σε

(37)

其中，γ4=γ3/λmin(Pε)，λ=min{2k1,2k2-γ1,2k3-γ2,λε-γ4}。

根據式(37)可以推斷，基于控制器式(24)的整體閉環控制系統是穩定的，跟蹤誤差能夠收斂到包含0的鄰域內。

4 仿真分析

為了證明所提方法的有效性和優越性，本研究選用經典PID控制和反步控制作為對比。仿真用的系統參數如表1所示。

表1 仿真用系統參數Tab.1 System parameters for simulation

設定PID控制中的比例、積分和微分增益分別為180，200，0.1；設定所提反步抗擾控制器參數為k1=550，k2=1000，k3=5000，km1=450，km2=67500，km3=3.5×106，kh1=500，kh2=10000；設定反步法控制器與反步抗擾控制法的參數一樣。

首先，在沒有干擾的情況下讓系統跟蹤頻率-幅值為5 Hz-0.1745°的正弦指令信號，圖2給出了3種控制器下系統跟蹤性能。從圖2中不難看出，反步控制和反步抗擾控制下系統跟蹤性能差不多，PID控制下系統跟蹤性能比較差。反步和反步抗擾具有模型補償，而PID沒有模型補償，具有一定的相位損失，因此跟蹤性能較差。

圖2 無干擾系統跟蹤性能Fig.2 Tracking performance of system without disturbance

為了進一步驗證所提反步抗擾控制的性能，在模型中加入非匹配干擾Td=200和匹配干擾R=10000 sin(πt)，圖3給出了有干擾時3種控制器下系統跟蹤性能。從圖3中可以看出，所提控制下系統跟蹤性能比較好，PID控制和反步控制下系統跟蹤誤差相對0向下偏移，這是因為非匹配干擾的影響。而所提控制下系統跟蹤誤差在0很小的鄰域內波動，這是因為所提控制方案中有狀態和干擾觀測器估計出系統干擾并進行補償。圖4和圖5分別給出了狀態和干擾觀測器估計的系統狀態和干擾。從圖4中可以明顯看出，僅在起始階段觀測值與測量值有較大的偏差，在很短的時間內狀態觀測器就較好的估計了系統的狀態。

圖3 有干擾時系統跟蹤性能Fig.3 Tracking performance of system with disturbance

圖4 狀態估計結果Fig.4 Estimated results of states

圖5 干擾估計結果Fig.5 Estimated results of disturbances

5 結論

本研究針對船舶傳動裝置機帶海水冷卻系統的電液伺服系統，詳細地建立了其數學模型，提出了一種狀態和干擾估計器估計系統狀態、非匹配干擾和匹配干擾，利用估計的狀態和干擾方法設計了一種反步抗擾控制器；利用李雅普諾夫穩定性定理證明了狀態和干擾估計器估計誤差能夠收斂到有界范圍內，整體閉環系統跟蹤誤差也是一致漸進有界穩定；采用PID控制和反步控制作為對比，仿真驗證所提的反步抗擾控制策略的有效性，仿真結果表明所提控制方法能夠利用狀態和干擾估計器估計狀態用于狀態反饋，并且能夠估計非匹配和匹配干擾進行補償，具有較高的抗干擾魯棒性，相比其他兩種方法具有較好的性能。