基于解析法的加筋板封閉梯形聲腔的響應分析

王園 李磊 盤朝奉 郭豪 張建潤 任乃飛

摘要： 基于模態疊加法和聲振耦合理論建立了加筋板結構與梯形聲場間的耦合模型;研究了點力到筋的距離、筋的剛度、質量和根數的變化對耦合系統響應的影響。結果表明：由于加筋導致的板振動能量和梯形聲腔聲勢能的衰減程度與點力到筋間的距離密切相關，當點力直接作用在筋上或者點力到筋的距離小于板的四分之一彎曲波長時，振動能量和聲勢能在較寬的頻段都出現衰減現象，反之則不會出現衰減現象。梯形聲腔聲勢能和固支板振動能量的衰減級隨著筋彎曲剛度的增加而變大，而筋的質量對能量衰減的影響與分析的頻段范圍有關。筋的根數增加并不會使得聲振耦合系統中聲勢能和板振動能量的衰減級一直呈現增大現象。

關鍵詞： 聲振耦合; 梯形聲場; 加筋板; 模態疊加法

中圖分類號： TB532; O422.2 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2021）05-1045-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.05.019

引 言

彈性壁面封閉非規則聲腔結構在工程領域中有著大量的應用，如車輛乘座室、船舶艙室、飛機乘座艙等。對于這些非規則聲場與彈性壁面結構間的耦合，羅超等采用數值方法先計算出非規則聲場的模態信息，然后再結合模態耦合法對非規則聲場與其彈性壁面間構成耦合系統進行分析[1]。Li等利用模態疊加法計算得到梯形聲場的模態信息，然后再結合聲振耦合理論構建了梯形聲場與簡支約束彈性壁面間的聲振耦合模型，推導了梯形聲場與簡支板結構間模態耦合系數[2]和受激勵后的動態響應[3]。Wang等結合模態疊加法和聲振耦合理論研究了固支約束彈性壁面與梯形聲場間的耦合特性和受激勵后的響應[4]，并且進一步研究了彈性壁面不同邊界約束時的聲振耦合特性和動態響應[5]。除了利用模態疊加法和聲振耦合理論以外，還存在變分法[6?8]、小波伽遼金法[9]、等幾何分析法[10]等。由上述研究可知，對于非規則聲場與其彈性壁面間耦合研究中所考慮的都是平板，鮮有加筋板方面的報道。但加筋板封閉聲腔結構在工程應用中大量存在，因此很有必要開展此類結構的聲振耦合研究。

對于加筋板結構與封閉聲場間聲振耦合的理論研究，于士甲等提出先利用ANSYS獲得加筋板結構的模態信息，然后再結合能量模態分析法計算加筋板結構與矩形聲場所構成耦合系統的動態響應[11];馬璽越等[12?13]利用模態疊加法和聲振耦合理論建立了雙層加筋板與板間矩形隔腔間聲振耦合模型，然后基于此模型做了進一步研究。而對于工程應用中常見的加筋板結構與非規則聲場間的聲振耦合分析，國內外鮮有報道。這是因為板結構不僅要與非規則聲場進行耦合，還要與筋進行耦合，導致對耦合系統理論模型進行構建和求解比較困難。

加強筋與平板間的耦合會改變板的模態特性，從而進一步影響其與聲腔聲場間的耦合。對于筋與平板間耦合，高雙等采用里茨能量泛函變分原理對加筋薄板的自由振動特性進行求解[14]。Dozio等基于模態疊加法研究了有限尺寸加筋薄板的自由振動特性[15]。Lin等亦基于模態疊加法研究了激勵到筋的距離對加筋板結構動態響應的影響，研究表明激勵到筋的距離與板的振動響應密切相關[16];Lin等[17]進一步研究了附有多根筋的簡支約束板的模態特性和控制機理。除了上述文獻提到的求解方法，還有微分求積法[18]、改進的傅里葉級數法[19?20]等。

本文對固支約束加筋板結構與非規則聲場構成耦合系統的動態響應進行詳細的研究，類似于文獻[1?8]將非規則聲腔設定為梯形聲腔。首先基于模態疊加法分別構造加筋板結構和梯形聲場的理論模型，然后利用聲振耦合理論建立它們之間的耦合模型，并通過軟件仿真驗證所構建理論模型的準確性。基于構建的聲振耦合模型研究了激勵與加強筋的相對位置對耦合系統中板振動能量和聲腔聲場能量的影響，進一步研究了筋的剛度、質量和根數變化對板振動能量和梯形聲場能量變化的影響。

1 計算公式

1.1 加筋板結構與梯形聲場間聲振耦合模型

設梯形聲腔處為加筋彈性壁面，其余為剛性壁面，板和加強筋的邊界實施固支約束，如圖1所示。加強筋位于板在聲腔外的一側，并設筋與板之間為不可滑動的線連接，且筋的寬度不超過板厚。沿板的X向和Y向分別布置根和根筋，位于 處的第m根筋在連接處存在相互作用的線力Fcm和線力矩，位于 處第n根筋在連接處存在線力和線力矩。所有筋的材料屬性相同，且具有相同的截面尺寸。固支約束板的振動微分方程和梯形聲腔內聲場波動方程分別為[12，15]：

對于梯形聲場的內部聲壓p，可通過其剛性壁面邊界梯形聲腔模態擴展得到[5]

對于梯形聲腔，在固支約束加筋板結構與梯形聲場的交界面處存在著邊界條件，其中表示梯形聲腔內空氣密度，單位法向矢量指向外部為正。

分別對方程（2）和（14）乘以和，然后將兩式相減的結果沿梯形聲腔進行積分，并利用第二格林定理將體積分轉變為面積分，再結合梯形聲腔的邊界條件，以及引入模態損耗因子，最后對其模態振型進行擴展可得：

通過式（28）可得到梯形聲腔聲壓模態幅值，將此聲場模態幅值代入式（24）即可得到加筋板的振動位移模態幅值，加強筋的振動位移和扭轉角幅值可通過基板與筋的位移、轉角的連續性條件獲得。然后將求得的梯形聲場和加筋板振動位移的模態幅值分別代入方程（12）和（7）即可得到聲場聲壓和板振動位移。

1.2 加筋前后基板和梯形聲場的能量變化

梯形聲腔上固支板實施加筋后，板振動能量衰減級LTp[13]和梯形聲場聲勢能衰減級LEe分別為：

2 理論計算與分析

如圖1所示，設位于梯形聲腔頂面處的固支約束加筋板的長和寬分別為 m和 m，聲腔的高度為 m，傾斜角°。加筋板基板的厚度 m。加強筋的形狀為等截面的矩形，其截面積為。基板和加強筋材料相同，均為鋁，密度為，楊氏模量為，泊松比為。聲腔內媒質為空氣，其密度，聲速。設梯形聲腔聲場和加筋板的模態損耗因子分別均為0.001和為0.01，其中加筋板是通過復楊氏模量來引入阻尼。在下面的分析中，一個幅值為1 N的法向簡諧點力始終作用在基板（0.1，0.76） m處。

2.1 耦合系統理論模型驗證

本文用于梯形聲場、基板、筋間耦合計算的模態個數上限分別取為，。為驗證準確性，用商業軟件ANSYS和LMS Virtual. Lab對聲振耦合系統進行建模仿真。設筋位于基板yn=3Ly/4 處。圖2為兩種方法所計算的點力激勵下聲腔內一典型場點處聲壓級，場點的坐標為（0.1，0.1，0.1） m，可知在所考慮頻段內結果基本吻合，說明此理論模型是準確的。

2.2 筋到激勵點的距離對耦合系統動態響應的影響

當固支約束板上有平行于X軸（）的單根筋時，通過改變筋的位置來改變激勵到筋的距離，圖3為此時耦合系統中基板振動能量衰減級曲線和梯形聲場聲勢能級衰減曲線，其中橫坐標采用三分之一倍頻程形式，此坐標形式可以減少單個系統模態響應對能量衰減分析的影響。為了更清晰地觀察各中心頻率處能量變化的原因，圖4給出了橫坐標為連續頻譜時的能量衰減曲線。此處分析設置加強筋在基板上的布放位置分別為，， m，對應點力激勵加強筋上、點力距筋較近和較遠三種情況。由于加強筋位于和時關于板是對稱的，從而兩加筋板的共振頻率一樣，模態振型對稱。由圖3和4分析可得：

1） 當點力作用在加強筋上時（ m），相較于平板，梯形聲場能量級和基板振動能量級在整個分析頻段都出現了能量衰減現象（正和值），如圖3（a）和（b）所示。由文獻[16]可知，當點力作用在筋上時，加筋板的動態響應是由筋彎曲剛度所控制的。由于筋的彎曲剛度是基板的4.62倍，從而板振動能量在加筋后變小，也導致與板結構耦合的聲腔能量在加筋后也變小。再結合圖4（a）和（b）可知，在整個所分析的頻段，板振動能量級和梯形聲場能量均出現了明顯的衰減現象。

2）當加強筋位于時，相較于平板，聲腔聲場能量在中心頻率315 Hz以下出現衰減現象;板振動能量在所分析的中心頻率處都出現了明顯的能量衰減現象，但中心頻率315 Hz處的能量衰減明顯變小;中心頻率315 Hz范圍內的304 Hz對應板的四分之一彎曲波長 m，此長度為點力到筋的距離;由文獻[16]可知，當點力到筋的距離小于板的四分之一彎曲波長時，加筋板的振動響應是由筋的彎曲剛度所控制的，且筋的彎曲剛度遠大于板的，因此導致加筋后的板振動能量以及與其耦合的聲腔聲能量在此中心頻率下出現能量衰減現象。

3）當加強筋位于處時，梯形聲場聲勢能和板振動能量的衰減級曲線均出現了波動現象;這是因為此時點力到筋的距離大于板的四分之一彎曲波長，導致加筋板振動響應是由基板的彎曲剛度所控制;且加筋會使板控模態的共振頻率出現轉移，造成共振頻率從一個中心頻率轉移到另外一個中心頻率范圍內，從而使加筋前后能量出現波動現象，如圖4（a）和（b）所示。雖然筋位于處和處時加筋板的自由振動特性一樣，但由于它們到激勵的距離不一樣，導致對應耦合系統的響應不同，進而使得能量衰減級也不同。

2.3 筋的參數對聲振耦合系統響應的影響

當固支約束板上筋位于 m處時，下面分別研究筋的剛度、質量變化對聲振耦合系統響應的影響。由于筋的扭轉剛度遠小于其彎曲剛度，使得其對聲振耦合系統響應的影響較小，因此這里只考慮筋的彎曲剛度對聲振耦合系統的影響。

圖5（a）和（b）為筋分別為原彎曲剛度、2倍和4倍原彎曲剛度時梯形聲腔聲勢能衰減級和板振動能量衰減級。分析可知，隨著筋的彎曲剛度增加，梯形聲場和板振動的能量衰減級在大部分所分析的中心頻率處逐漸增加。這是由于此時加筋板的振動響應是由筋的彎曲剛度所控制，并且筋的彎曲剛度遠大于板的，因此耦合系統中各部分衰減量隨著筋的彎曲剛度的增加而變大。但在一些中心頻率處，筋的剛度增大到原來的2倍時，板振動和梯形聲場的能量基本不變，如中心頻率為160和250 Hz;另外在中心頻率為315 Hz時，梯形聲場聲勢能衰減級隨著彎曲剛度的增大而變小，但板振動能量基本不變。這是由于部分加筋板的共振頻率隨著筋剛度的增加而發生明顯轉移，造成板控模態從一個中心頻率轉移到另外一個中心頻率造成的。

圖6為筋的質量分別為原質量、2倍和4倍原質量時對耦合系統中各部分能量衰減的影響。在中心頻率50 Hz以下以及中心頻率160 Hz處，筋質量變化對板振動能量和梯形聲場能量衰減基本沒有影響;中心頻率在63?125 Hz之間，隨著筋的質量增加，板振動能量和梯形聲場能量的衰減逐漸變小，但變化較小;而在中心頻率500 Hz處，固支板振動能量和梯形聲場能量衰減程度隨著筋質量的增加而變大。

2.4 筋的根數變化對聲振耦合系統響應的影響

當固支約束板上依次布置1，2，3和4根筋時，圖7（a）和（b）分別為4種不同筋根數時聲振耦合系統中梯形聲場能量衰減級曲線和板振動能量衰減級曲線。可知相較于只在板一個位置處加筋時，當板上， 兩個位置處實施加筋時的板振動能量和聲腔聲勢能的衰減級在多數中心頻率處出現增大現象，特別是板振動能量級。但是當在板上，， 三個位置處，以及，，，四個位置處加筋時，板振動能量和梯形聲腔聲勢能的衰減級相較于板上兩根筋時變化較小，沒有出現明顯的增大現場，但在一些中心頻率處出現波動現象。從而可知增加板上筋的根數并不一定出現板振動能量和梯形聲腔聲勢能的衰減級放大現象。

3 結 論

本文基于模態疊加法和聲振耦合理論構建了固支約束加筋板結構與梯形聲場間耦合模型，研究了筋的位置、彎曲剛度、質量、根數對聲振耦合系統動態響應的影響。結論如下：

（1） 由于加筋而產生的梯形聲場聲勢能和加筋板振動能量的衰減程度與點力到加強筋的距離密切相關，當筋的彎曲剛度遠大于板的彎曲剛度，且點力直接作用在加強筋上或者點力到筋的距離小于板的四分之一彎曲波長時，聲腔聲勢能和板振動能量在所分析的大部分頻段都出現了衰減;反之則只會出現由于加筋而產生的共振頻率轉移，不會出現連續衰減現象。從而可為工程中的加筋板封閉空腔這類聲學結構設計時筋的合理布置提供指導。

（2） 當點力直接作用在加強筋上時，梯形聲腔聲勢能和固支板振動能量的衰減級隨著筋彎曲剛度的增加整體上變大;當點力直接作用在加強筋上時，板質量的變化對梯形聲腔聲勢能和板振動能量的衰減級的影響在所考慮的不同頻段表現出不同的特點，低頻段沒有影響，中間頻段隨著質量的增加衰減量變小，而高頻段則隨著質量的增加而能量衰減變大。

（3） 梯形聲腔聲勢能和固支板振動能量的衰減級隨著板上筋的根數增加并不一定變大。

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作者簡介： 王 園（1984-），男，博士，講師。電話：18362880958;E-mail： wangyuan@ujs.edu.cn