保序且保等價(jià)部分變換半群上的自然偏序關(guān)系

秦 美 青

(菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 菏澤 274015)

半群是最簡(jiǎn)單、最自然的一類代數(shù)系統(tǒng)，半群代數(shù)理論的系統(tǒng)研究始于20世紀(jì)50年代，它是半群理論中最基本、最活躍也是成果最豐富的一部分.序理論是研究捕獲數(shù)學(xué)排序的直覺(jué)概念的各種二元關(guān)系的數(shù)學(xué)分支，它在半群的代數(shù)理論中起著非常重要的作用，序關(guān)系一直是專家學(xué)者研究的熱點(diǎn)[1-2].1952年，Vagner[3]探究了逆半群S上的自然偏序關(guān)系，給出了偏序關(guān)系的定義：

a≤b當(dāng)且僅當(dāng)a=eb，對(duì)某個(gè)e∈ES，

這里ES是指S中所有冪等元組成的集合，并且在文獻(xiàn)[3]中指出此偏序關(guān)系對(duì)于乘法是左右相容的.30年后，Hartwig和Nambooripad分別在文獻(xiàn)[4]和[5]中把逆半群上的自然偏序關(guān)系給推廣到了正則半群，給出了正則半群上自然偏序關(guān)系常用定義：a≤b當(dāng)且僅當(dāng)a=eb=bf，對(duì)某個(gè)e，f∈ES，并指出此偏序關(guān)系關(guān)于乘法不再是左右相容的．

在[6]中自然偏序關(guān)系被進(jìn)一步推廣到任意半群S，a≤b當(dāng)且僅當(dāng)a=xb=by，a=xa對(duì)某些x，y∈S1．

設(shè)X是非空集合，TX是由X上的所有完全變換做成的半群.E是X上的非平凡等價(jià)關(guān)系，文獻(xiàn)[7]刻畫了TX的由等價(jià)關(guān)系E確定的子半群

TE(X)={f∈TX：?(x，y)∈E?(f(x)，

f(y))∈E}

上的正則元，描述了TE(X)中任意兩元素間的格林關(guān)系.文獻(xiàn)[8]給出了半群TE(X)上偏序關(guān)系的定義：f≤g當(dāng)且僅當(dāng)f=kg=gh，f=kf，對(duì)某些h，k∈TE(X),探討了TE(X)中兩個(gè)元素在此偏序關(guān)系下何時(shí)是相關(guān)的，給出了關(guān)于此偏序關(guān)系≤相容的元素，并刻畫了極大(小)元，覆蓋元．

設(shè)集合X是一個(gè)有限全序集，文獻(xiàn)[9]在等價(jià)關(guān)系E的每個(gè)等價(jià)類的基數(shù)都相同且所有的E-類都是凸集情況下，考慮了半群TE(X)的子半群

OE(X)={f∈TE(X)：?x，y∈X，

x≤y?f(x)≤f(y)}

上的格林關(guān)系.文獻(xiàn)[10]在|X|=n，E是X上等價(jià)關(guān)系，X/E={A1，A2，…，Am}且所有E-類都是凸集的條件下，給出了半群OE(X)上自然偏序關(guān)系的定義，探討了OE(X)中兩個(gè)元素何時(shí)關(guān)于此偏序關(guān)系是相關(guān)的，給出了關(guān)于偏序關(guān)系≤相容的元素，描述了極大(小)元和覆蓋元．

設(shè)集合X(|X|≥3)，PX是集合X上所有部分變換做成的半群，E是X上等價(jià)關(guān)系.文獻(xiàn)[11]刻畫了PX的由等價(jià)關(guān)系E確定的子半群

PE(X)={f∈PX：?x，y∈domf，(x，y)∈

E?(f(x)，f(y))∈E}

的正則元，描述了半群PE(X)上的格林關(guān)系.文獻(xiàn)[12]在E是非平凡等價(jià)關(guān)系的前提下，研究半群PE(X)上的自然偏序關(guān)系，刻畫了關(guān)于偏序關(guān)系相容的元素，給出了極大(小)元和覆蓋元．

設(shè)集合X是一個(gè)全序集|X|=mn(m≥2，n≥3).文獻(xiàn)[13]在等價(jià)關(guān)系E包含m個(gè)等價(jià)類，每個(gè)等價(jià)類是凸集并且基數(shù)都相同情況下，考慮了半群PE(X)的子半群保序且保等價(jià)部分變換半群

POPE(X)={f∈PE(X)：?x，y∈domf，

x≤y?f(x)≤f(y)}

上的正則元及其任意元素間的格林關(guān)系．

本文是在|X|=n，E是X上等價(jià)關(guān)系，X/E={A1，A2，…，Am}且所有E-類都是凸集的條件下，給出了半群POPE(X)上自然偏序關(guān)系的定義：f≤g當(dāng)且僅當(dāng)f=hg=gk，f=hf，對(duì)某些h，k∈POPE(X)．研究了半群POPE(X)中兩個(gè)元素何時(shí)關(guān)于此偏序關(guān)系是相關(guān)的，給出了關(guān)于偏序關(guān)系≤相容的元素，所得結(jié)果是半群OE(X)上自然偏序結(jié)果的相應(yīng)推廣．

1 自然偏序關(guān)系的刻畫

定義1[14]集合{f-1(A)：A∈X/E，A∩imf≠?}，記為E(f)．

定義2[15]設(shè)，是X的兩個(gè)子集族.如果對(duì)每個(gè)A1∈，都存在B1∈，使得A1?B1，則稱是的細(xì)化.

引理1[12]設(shè)f，g∈PE(X)，則f≤g當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立：

1)domf?domg，imf?img；

3)對(duì)任意x，y∈domf，若(g(x)，g(y))∈E，則(f(x)，f(y))∈E.對(duì)每個(gè)A∈X/E，存在B∈X/E，使得f(A∩domf)?g(B∩domg)．

定理1設(shè)f，g∈POPE(X)，則f≤g當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立：

1)domf?domg，imf?img；

3)若g(x)∈imf，則x∈domf且f(x)=g(x)；

4)對(duì)每個(gè)A∈X/E，其中A∩domf≠?，存在保序映射φ：X/E→X/E，使得f(A∩domf)?g(φ(A∩domf))．

證明必要性.由f，g在POPE(X)中滿足f≤g，則在PE(X)中f≤g一定成立.根據(jù)引理1可得，定理1中條件1)，2)，3)成立．

設(shè)f≤g，則存在h，k∈POPE(X)，使得f=hg=gk，f=hf，這樣

domf=domgk=k-1(imk∩domg)?domk，

從而對(duì)每個(gè)A∈X/E，若A∩domf≠?，則A∩domk≠?.由k∈POPE(X)知存在B∈X/E，使得k(A∩domf)?k(A∩domk)?B.令φ(A∩domf)=B.對(duì)每個(gè)A∈X/E，若A∩domf≠?，則存在唯一的B∈X/E，使得φ(A∩domf)=B，從而φ是良定義的.任取A1，A2∈X/E(其中A1∩domf≠?，A2∩domf≠?)，不妨設(shè)A1

f(A∩domf)=gk(A∩domf)?g(B)=

g(φ(A∩domf))．

充分性.假設(shè)條件1)，2)，3)，4)成立，只需要構(gòu)造h，k∈POPE(X)，使得f=hg=gk，f=hf.首先定義k如下：令domk=domf，由4)知，對(duì)每個(gè)A∈X/E，若A∩domf≠?，則存在B=φ(A∩domf)，使得f(A)?g(B).任取x∈A，其中A∩domk=A∩domf≠?，記z=max{g-1(f(x))∩B}∈domg.定義k(x)=z，顯然k∈PE(X)且對(duì)任意x∈domf，gk(x)=g(z)=f(x)．

下面驗(yàn)證k是保序的.任取a，c∈domk且設(shè)a

情形1若A=C，則k(a)=max{g-1(f(a))∩B}≤max{g-1(f(c))∩B}=k(c)；

情形2若A

k(a)=max{g-1(f(a))∩B}≤

max{g-1(f(c))∩D}=k(c)，

從而k∈POPE(X)．

對(duì)于h，令domh=im(g(domf))且對(duì)每個(gè)A∈X/E，其中A∩domh≠?，不妨記A∩im(g(domf))={a1，a2，…，as}，其中a1

由a1

a*=maxg-1(A∩im(g(domf)))，

b*=ming-1(B∩im(g(domf)))，

則有a*

下面驗(yàn)證f=hg，f=hf．

對(duì)任意x∈domf，由imf?img知，存在y∈domg，使得f(x)=g(y)∈imf，由條件3)知y∈domf且f(y)=g(y)，從而有hf(x)=hg(y)=f(y)=f(x)，所以f=hf成立．

顯然，若f，g∈POPE(X)且f≤g，則在PE(X)中一定有f≤g．

例1設(shè)集合X={1，2，3，4，5，6，7，8}，E=(A1×A1)∪(A2×A2)∪(A3×A3)，其中，A1={1，2，3，4}，A2={5，6}，A3={7，8}.令

顯然f，g∈POPE(X).下面驗(yàn)證f，g在POPE(X)中有f≤g．

1)domf?domg，imf={2，4，5，6}?img={2，3，4，5，6}．

3)通過(guò)觀察知g(1)，g(2)，g(4)，g(5)，g(6),g(7),g(8)∈imf時(shí)，則有1，2，4，5，6∈domf且g(1)=f(1)，g(2)=f(2)，g(4)=f(4)，g(5)=f(5)，g(6)=f(6)，g(7)=f(7)，g(8)=f(8)成立，說(shuō)明了若g(x)∈imf，則x∈domf且f(x)=g(x)．

4)存在保序映射φ：X/E→X/E，使得f(A1∩domf)={2，4}?g(φ(A1∩domf))=g(A1∩domg)={2，3，4}.f(A2∩domf)={5，6}?g(φ(A2∩domf))=g(A2∩domg)={5，6}.f(A3∩domf)={6}?g(φ(A3∩domf))=g(A3∩domg)={6}.綜上知，f≤g．

例1證實(shí)了f，g在POPE(X)存在偏序關(guān)系f≤g，則在PE(X)中肯定存在關(guān)系f≤g．

注若f，g∈PE(X)且f≤g，但在POPE(X)中未必有f≤g．

推論1設(shè)f，g∈POPE(X)，則f≤g當(dāng)且僅當(dāng)以下說(shuō)法成立：

1)如果imf=img，則f=g；

2)對(duì)每個(gè)P∈π(f)，存在P′∈π(g)，使得P′?P且f(P)=g(P′)；

3)如果π(f)=π(g)，則f=g；

4)對(duì)每個(gè)U=f-1(A)∈E(f)，其中A∈X/E，存在V∈E(g)，使得V?U且f(U)=f(V)?g(V)=A∩img．

證明1)因?yàn)閕mf=img，所以對(duì)任意x∈domg，有g(shù)(x)∈imf.由定理1中條件2)知x∈domf且f(x)=g(x)，由此可知domg?domf，結(jié)合domf?domg，從而有domf=domg且對(duì)任意x∈domf有f(x)=g(x)，故f=g．

由2)可直接推出3)．

4)由定理1中條件2)知E(g)加細(xì)E(f).任取U=f-1(A)∈E(f)，其中A∈X/E．f(U)=A∩imf?A∩img.令V=g-1(A∩img)∈E(g)，對(duì)任意的y∈f(U)，則存在z∈V，使得y=g(z)∈imf，由定理1中3)知z∈domf且y=g(z)=f(z)，這樣z∈f-1(y)?U，故V∩U≠?，所以V?U且有f(U)=f(V)?g(V)=A∩img.

2 相容性

定義4[16]設(shè)ρ是半群S上的一個(gè)偏序，稱元素c∈S關(guān)于ρ是左(右)相容的，如果對(duì)所有的(a，b)∈ρ，都有(ca，cb)∈ρ((ac，bc)∈ρ)．

定義5設(shè)h∈POPE(X)，如果存在某個(gè)A∈X/E，使得imh?A，則稱h是E-常值的．

定義6設(shè)h∈POPE(X)，如果對(duì)每個(gè)A∈X/E，都有imh∩A≠?，則稱h是E-完備的．

容易得出h是E-常值的當(dāng)且僅當(dāng)E(h)=domh.h是E-完備的當(dāng)且僅當(dāng)h-1(A∩imh)=A∩domh．

定理2設(shè)h∈POPE(X)，若h是E-完備的(domh=X)且對(duì)每個(gè)A∈X/E，h|A為恒等映射或常值映射，則h是左相容的．

證明設(shè)f，g∈POPE(X)且f≤g，要想說(shuō)明h是左相容的，只須證明hf≤hg．

1)因?yàn)閒，g∈POPE(X)且f≤g，所以imf?img，顯然無(wú)論h|A為恒等映射或常值映射都有imhf?imhg成立.由h是E-完備的且對(duì)每個(gè)A∈X/E，h|A為恒等映射或常值映射，則有

domhf=f-1(imf∩domh)=

domf?domg=g-1(img∩domh)=domhg．

2)對(duì)任意x，y∈domhf，若(hg(x)，hg(y))∈E，即存在A∈X/E，使得hg(x)，hg(y)∈A，從而g(x)，g(y)∈h-1(A∩imh).由h是E-完備的知g(x)，g(y)∈h-1(A∩imh)∈A∈E.因?yàn)閒≤g，由定理1中條件2)可知(f(x)，f(y))∈E，顯然(hf(x)，hf(y))∈E成立．

若h為常值映射，分以下情況討論.

當(dāng)A≠B時(shí)，則必有B>A或B

若f(x)≠f(y)，則必有f(x)

若B>A，由g(y)∈A，g(x1)=f(x)∈B可知g(y)

若B

若g(x)=f(y)，則g(x)∈imf.由定理1中條件3)可知x∈domf且g(x)=f(x)，顯然hg(x)=hf(x)成立．

若g(x)≠f(y)，由h是E-完備的知存在A∈X/E，使得g(x)，f(y)∈A.因?yàn)間(x)≠f(y)，所以h|A是常值映射.由推論1中4)證明知

x∈g-1(A∩img)?f-1(A∩imf)，

從而有g(shù)(x)，f(x)∈A，再由h|A是常值映射得hg(x)=hf(x)．

4)對(duì)每個(gè)A∈X/E，若A∩domhf≠?，則顯然A∩domf≠?.由f≤g中條件4)可知，存在保序映射φ：X/E→X/E，使得f(A∩domhf)?g(φ(A∩domhf))成立.顯然hf(A∩domhf)?hg(φ(A∩domhf))成立．

綜上可知hf≤hg，從而h是左相容的．

定理3設(shè)h∈POPE(X)，若h是X上的恒等映射idX，則h是右相容的．

證明假設(shè)f，g∈POPE(X)且f≤g，根據(jù)半群POPE(X)上自然偏序關(guān)系的定義，f≤g當(dāng)且僅當(dāng)f=hg=gk，f=hf，對(duì)某些h，k∈POPE(X).因此，任取f，g∈POPE(X)且f≤g，有fidX=h(gidX)=(gidX)k，fidX=h(fidX)，進(jìn)而，fidX≤gidX，即恒等映射是右相容的．