基于雙樹復小波變換與雙邊濾波的圖像濾波

萬里勇，陳家益

(1.南昌工學院人工智能學院，南昌 330108；2.江西師范大學管理科學與工程研究中心，南昌 330046；3.廣東醫科大學信息工程學院，廣東 湛江 524023)

在圖像的拍攝和處理的過程中，常常受到噪聲的干擾.其中高斯噪聲是一種常見的噪聲，其服從零均值的高斯分布，數學模型為：

f=s+n，

(1)

其中，s、n和f分別為原圖像、高斯噪聲和含噪圖像，n服從零均值的高斯分布，n～N(0，σn).高斯噪聲影響圖像的視覺效果及其應用，去除高斯噪聲非常必要.去除高斯噪聲常用的有效方法有空間域的高斯濾波[1]、維納濾波[2]以及非局部均值濾波[3]，以及變換域的小波閾值去噪方法[4].高斯濾波的各項同性會破壞圖像的邊緣和紋理結構，非局部均值濾波雖然能夠有效地去除高斯噪聲，但是其計算復雜度較高，缺乏實用性.而小波因為其具有多分辨率分析和信號局部特征表示的能力，被廣泛應用于圖像處理.Kumar等[5]提出了一種應用于醫學超聲圖像的小波閾值去噪方法，在閾值的選取中引入了Fisz變換方法，但是其收縮函數采用軟閾值函數，未能有效地保持的圖像的邊緣和細節.Li等[6]提出了帶邊緣檢測的優化小波閾值去噪方法(WTDED)，將小波檢測出來的圖像邊緣，融合到小波閾值去噪圖像中.Sumathi等[7]提出一種四方向的拉普拉斯濾波器，以去除小波高頻圖像的噪聲.但是拉普拉斯濾波器是空間域濾波器，會破壞圖像的部分小波系數.為了同時利用小波的稀疏表示特性和中值濾波的邊緣保持能力，Ullah等[8]將小波閾值去噪與中值濾波相結合，提出了一種運用對數收縮函數的小波去噪方法(WDLSF).

圖像的細節和紋理結構錯綜復雜，邊緣的灰度存在跳躍，小波變換存在平移敏感性和缺乏方向選擇性等缺陷，難以有效地保持圖像的細節和紋理結構，于是Selesnick等[9]提出了雙樹復小波變換(DTCWT)方法.雙樹復小波變換除了具有小波變換的優點外，還具有平移不變性和多方向選擇性，這正是圖像處理所亟需的.鑒于不同分解尺度間的小波系數存在相關性，在雙樹復小波變換的基礎上，La等[10]提出了雙密度的雙樹復小波變換.Velayudham等[11]提出了一種結合局部像素分組和雙樹復小波包的圖像去噪方法，用雙樹復小波包對噪聲信息進行識別，然后分三階段，每一階段用不同的噪聲強度參數對噪聲進行去除.鑒于形態學在圖像處理中的廣泛而有效的應用，牛犇等[12]將形態學濾波和雙樹復小波變換相結合，提出了基于最大后驗估計的圖像去噪方法(DCWM).用形態學濾波對含噪圖像進行預處理，然后用最大后驗估計方法確定去噪閾值，對小波系數進行閾值處理.Edla等[13]指出，小波閾值去噪的性能取決于閾值的選取，于是提出了一種基于雙樹復小波變換去噪的最優閾值的計算方法.利用最優閾值，噪聲對圖像均勻區域像素強度的影響得到完全抑制，而圖像的邊緣不受影響.但是其閾值缺乏自適應性，對于性質不同的圖像未必有效.Saeedzarandi等[14]提出了一種應用多元t分布與非抽樣雙樹復小波變換的圖像濾波方法(UDT-CWT)，采用多元t分布作為無噪聲系數的先驗概率，以正確建模小波系數的統計特性.

為了在圖像去噪中更有效地保持和恢復圖像的細節和紋理結構，本文提出了基于雙樹復小波變換與雙邊濾波的圖像去噪方法(DCWBF).DCWBF充分利用雙樹復小波變換的平移不變性和多方向選擇性，用推導出自適應的閾值去噪模型對含噪圖像進行去噪處理，然后用改進的雙邊濾波對去噪圖像進行邊緣增強，最后用實驗證明方法的有效性.

1 雙樹復小波變換

文獻[9]中首次提出雙樹復小波的概念，在論文中演示了數學分析和推導過程，并詳盡地對雙樹復小波變換的濾波器構造和濾波效果分析進行了充分的論述.雙樹復小波變換建立于小波理論基礎上.復數小波定義為

ψ(t)=ψh(t)+jψg(t)，

(2)

其中，ψh(t)和jψg(t)分別為復小波的實部與虛部.

雙樹復小波變換如圖1所示，其中h0(n)和h1(n)表示共軛正交濾波器對，g0(n)和g1(n)表示共軛積分濾波器對，↓2表示隔點采樣.雙樹復小波變換的思想路線為：在第一層分解中，若要求樹a和樹b的濾波器之間的延遲剛好是一個采樣周期，就可以保證樹b中第一層的隔點采樣后所得的數據恰好是采樣到樹a中因隔點采樣所丟掉的數據，這樣就會降低數據的丟失，也就不會有平移敏感性.在以后的各層分解中，為確保樹a和樹b在這一層和它之前的各層上的延遲差總和相對輸入剛好有一個采樣周期，那么兩樹所對應的濾波器相頻響應之間就會剛好有半個采樣周期的群延遲，而且兩組濾波器的幅頻就會相同.為了確保濾波器之間的線性相位，文獻[9]中采用雙正交小波變換，要求兩樹中其中一樹的濾波器為奇數長，而另一樹的濾波器則是偶數長.因此，要使這兩棵樹呈現好的對稱性，只要求在每樹的不同層次間采用交替的奇偶濾波器.

圖1 雙樹復小波變換的分析濾波器組Fig.1 Analysis filter bank for dual tree complex wavelet transform

雙樹結構的濾波器組使得雙樹復小波變換具有近似的平移不變性，并且二維的雙樹復小波變換能夠提供6個方向的細節信息，具有多方向選擇性，并且其具有較小的數據冗余以及完成重構的能力.雙樹復小波繼承了離散小波的時頻局部化分析與多分辨率分析等優良性能，另外具有多方向選擇性，如圖2所示，以及平移不變性，如圖3所示[9].

圖2 二維雙樹復小波的方向和幅值Fig.2 Direction and amplitude of two dimensional dual tree complex wavelet

圖3 雙樹復小波變換的平移不變性Fig.3 Translation invariance of dual tree complex wavelet transform

2 DCWBF方法

2.1 適應的閾值去噪模型

根據高斯噪聲模型(如式(1))，經小波變換后，可寫為

F=S+N，

(3)

(4)

根據貝葉斯估計的法則可得

(5)

上式取對數后等價于

(6)

根據噪聲的小波系數N和原圖像系數S的概率分布，上式等價于

(7)

根據導數求極值的方法，上式等價于求解以下方程

(8)

從而得到自適應的閾值去噪模型

(9)

2.2 改進的雙邊濾波

經過自適應的閾值去噪模型去噪后的圖像，由于圖像的部分高頻系數與噪聲系數易混淆，以致去噪不徹底，或者去除了部分有用的圖像系數.鑒于雙邊濾波具有保持邊緣和降噪平滑的能力，采用改進的雙邊濾波對去噪圖像作進一步的處理，以徹底去除噪聲和恢復圖像的邊緣.

雙邊濾波如式(10)所示，核函數是空間域核Gd與像素范圍域核Gs的結合，可以達到保持邊緣和降噪平滑的效果.

(10)

雙邊濾波的效果決定于其核函數Gd和Gs，核函數不僅考慮了像素的空間距離，還考慮了像素范圍域中的輻射差異，具有邊緣識別的能力.在圖像的平坦區域，像素值變化很小，那么像素范圍域權重就大，此時像素范圍域權重起主要作用，提升鄰域像素的相似性；在圖像的邊緣區域，像素值變化很大，對應的像素范圍域權重就小，此時空間域權重起主要作用，從而保護了邊緣的信息.但是，一般的雙邊濾波核函數忽略了圖像與空間鄰域的特征，從而導致濾波缺乏魯棒性.于是，根據平滑區域的像素方差小，細節區域的像素方差大，我們提出了改進的雙邊濾波

(11)

W=αGd+(1-α)Gs，

(12)

其中，

α用以決定空間域核Gd與像素范圍域核Gs的權重的分量，經過圖像數據集的測試與驗證，α取0.226為宜，為保持圖像的邊緣和細節結構，Gs占主導地位.σd為鄰域像素位置的空間距離標準差，σs為原圖像小波子帶的標準差.小鄰域的像素相關性強，方差小，其空間域權重就大；反之，大鄰域的空間域權重小.平滑區域的像素相關性強，方差小，其像素范圍域權重大；反之，細節區域的像素范圍域權重小.因此，改進的核函數自適應于鄰域的大小和原圖像的特征，根據鄰域的大小和圖像特征自適應地調整空間域核與像素范圍域核的權重，從而獲得平滑非細節區域而保持細節區域邊緣信息的效果.

3 實驗結果與數據分析

以處理器為Intel(R)i7、內存為8 G的計算機和Matlab 2019a為實驗操作環境，實驗所用的數據集為BSD68、SET12和部分醫學圖像，其中醫學圖像如圖4所示.以最新提出的算法WTDED[6]、WDLSF[8]、DCWM[12]、UDT-CWT[14]作為參照，根據峰值信噪比(PSNR)和結構相似性(SSIM)[15]以及圖像的視覺感知分析DCWBF方法的效果.PSNR和SSIM的定義如下:

圖4 醫學圖像Fig.4 Medical images

(13)

C1=(K1L)2，C2=(K2L)2.

(14)

3.1 去噪結果的PSNR和SSIM

數據集BSD68總共有68張性質各異的圖像：包括人物、動物、山水景觀、建筑等圖像，圖像尺寸各異，部分圖像偏暗而部分圖像偏亮.利用BSD68可以較準確而穩定地度量算法的性能.各算法在數據集BSD68上實驗得到PSNR和SSIM值用曲線表示如圖5所示.其中，WDLSF和WTDED的PSNR和SSIM曲線處于較低位置，表明它們在噪聲的去除和紋理結構保持上的性能較差，另外，UDT-CWT在噪聲強度較低時，取得了相對良好的去噪效果，但是對于中、高強度的噪聲，其性能驟然走低.DCWM的去噪效果較好，對紋理結構的保持和恢復得很好.相對地，本文提出的方法取得了更好的去噪效果，其PSNR和SSIM曲線高于所有算法，與去噪性能較好的DCWM相比，其PSNR比DCWM高出了大約0.8 dB，SSIM高出大約2.3%.

圖5 各算法對數據集BSD68去噪的PSNR和SSIMFig.5 The PSNR and SSIM of each filter on dataset BSD68

將各算法應用于數據集SET12得到的PSNR和SSIM曲線如圖6所示.相對于數據集BSD68，各算法在SET12上的結果都稍有提高，但得到的結論是一致的.WDLSF和WTDED的性能相對較差，雖然UDT-CWT在噪聲強度較低時，性能表現還可以，但是總體上還是較差.而DCWM和DCWBF的性能較好，另外，DCWBF在性能上還是比DCWM超出一定的距離，PSNR比DCWM高出了大約0.85 dB，SSIM高出大約4.7%.結果表明了DCWBF算法在去噪徹底性與紋理結構保持上的性能更優.

圖6 各算法對數據集SET12去噪的PSNR和SSIMFig.6 The PSNR and SSIM of each filter on dataset SET12

各算法對醫學圖像spine＿mri的去噪結果如圖7所示.其中UDT-CWT和WTDED的效果較差，特別是在噪聲強度較高時，它們的PSNR值和SSIM值驟然走低.雖然WDLSF的SSIM值較高，能夠有效地保持圖像的細節和紋理結構，但是其PSNR值總體上不高.DCWM與本文算法DCWBF的性能表現較好，PSNR和SSIM曲線均處于較高位置.相對地，DCWBF還是比DCWM高出一定的距離，PSNR值大約高出0.85 dB，SSIM值高出2.2%.

圖7 各算法對醫學圖像spine＿mri去噪的PSNR和SSIMFig.7 The PSNR and SSIM of each filter on medical image spine＿mri

鑒于改進的雙邊濾波是本文方法的重要部分，在數據集SET12上單獨驗證其有效性.本文方法中分別用雙邊濾波(BF)與改進的雙邊濾波(IBF)的實驗結果如表1所示.根據數據的比較，在本文方法中結合改進的雙邊濾波，比結合傳統的雙邊濾波具有一定的優勢，對于表1中不同的噪聲強度，其PSNR平均提高0.26 dB，SSIM平均提高0.32%.

3.2 去噪圖像的視覺感知

各算法對乳腺圖像mammogram的去噪圖像如圖8所示，各分圖下的兩個數字為圖像對應的PSNR和SSIM值.很明顯，WTDED去除不徹底，殘留的噪聲布滿整個畫面.UDT-CWT去噪后圖像出現了類似噪聲的偽影.WDLSF徹底去除了噪聲，但是圖像的模糊效果嚴重，圖像的紋理不清.DCWM的去噪效果相對較好，圖像的紋理較清晰，但是依然存在一些模糊效果.DCWBF的去噪效果圖非常清晰，圖像的細節和紋理結構恢復得較好，細節更加豐富和細膩，比如圖像的右下角部分.根據圖像的PSNR和SSIM值可以得出同樣的結論.

圖8 各算法對含噪強度σ=35乳腺圖像mammogram的去噪圖像Fig.8 Denoised image of each filter on mammogram corrupted with noise of intensity σ=35

綜上所述，實驗得出的客觀圖像質量指標和去噪圖像，驗證了所提出方法的有效性與實用性，相對地，所提出方法具有更好的去噪和邊緣恢復性能.對于性質不同的數據集，其始終取得一致良好的去噪結果.

4 結論

為了在有效去除高斯噪聲的同時，更好地保持和恢復圖像的細節和紋理結構，提出了基于雙樹復效波變換與雙邊濾波的去噪方法.根據對圖像和噪聲的分布假設，推導出基于雙樹復小波變換的自適應閾值去噪模型，用改進的自適應雙邊濾波器對去噪圖像進行濾波，以徹底去除噪聲和增強圖像的邊緣.實驗數據證明了所提出方法的有效性，具有良好的去噪和邊緣恢復性能.將方法作進一步的改進，與Retinex圖像增強方法結合，應用于圖像的去噪和增強，是我們下一步的研究工作.