基于高保真度代理模型的衛星結構優化

楊麗麗，孔祥龍,2，李文龍，許 浩，尤超藍

(1.上海衛星工程研究所，上海 201109；2.哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150080)

對于大型復雜的衛星結構系統，苛刻的質量輕量化要求和復雜的力學環境要求，使得衛星結構設計優化成為衛星總體設計的關鍵技術。進化算法(evolutionary algorithms，EAs)是模擬自然現象而發展起來的一系列仿生智能優化算法，如模擬退火算法、遺傳算法、粒子群算法等，EAs因為對目標函數的連續性沒有要求及其較好的全局搜索能力，在衛星結構優化問題中得到了廣泛應用[1-2]。但是EAs通常需要大量的適應度函數評價來搜索全局最優解。對于復雜衛星結構優化問題，通常需要借助數值仿真計算來建立設計變量與適應度函數值之間的關系，如結構有限元仿真分析，由于每一次適應度函數評價的計算耗時較大，尋優過程中成千上萬次的適應度函數評價必將導致總的結構數值計算量過于浩大，從而使得通過EAs求解結構優化問題的效率受到限制。對于高計算代價的衛星結構優化問題，采用多項式回歸模型、Kriging模型以及徑向基函數(radial basis function,RBF)等代理模型來構建設計變量與適應度函數值之間的關系，避免耗時的數值計算，已成為當前解決此類優化問題的有效途徑之一[3-4]。但是，基于代理模型的優化技術在顯著提高計算效率的同時，給優化設計引入了模型誤差，降低了優化結果的可靠性，而若要保證代理模型的精度，就需要選取足夠多的樣本點進行數值計算，導致了優化效率的降低。

為了滿足高效率、高精度的要求，基于動態代理模型的優化方法在工程設計中得到了越來越多的關注。動態代理模型方法是在一個初始代理模型基礎上，通過給定的加點準則不斷新增樣本點以實現優化過程中代理模型的更新，提高代理模型的精確度。與傳統靜態代理模型方法相比，動態代理模型在保證優化結果精確度的同時，具有更高的優化效率，因而成為近些年國內外學者的研究熱點。Wang等[5-6]提出了自適應響應面的代理模型方法，在全局收斂性和優化效率方面表現出了較大的優勢。Jones等[7]基于Kriging模型提出了一種高效全局優化方法(efficient global optimization,EGO)。Viana等[8]在EGO概念的基礎上提出了一種基于多模型的高效全局優化方法(multiple surrogate efficient global optimization,MSEGO)，每次可以補充多個樣本點。Hu等[9-10]在求解不確定性多目標優化問題時采用了一種基于Kriging模型的動態代理模型，使得優化求解過程中函數評估的次數得到了顯著減少。曾峰[11]利用最小化置信方法的全局搜索性和信賴域的局部搜索特性，提出了一種基于Kriging模型的動態代理模型，提高了全局收斂性和優化效率。文獻[12]提出了一種基于動態RBF代理模型的優化策略，在求解桁架結構優化問題時，顯著提高了獲得全局最優解的優化效率。龍騰等[13]引入信賴域思想，發展了一種基于信賴域的動態RBF代理模型優化策略，具有較好的優化效率和全局收斂性。Wang等[14]通過限制樣本點分布規律，提出了一種基于RBF代理模型的序列采樣方法，顯著減少了原模型的調用次數。Shi等[15]提出了一種基于興趣采樣區域的高效序列RBF代理模型方法，高效求解了一個衛星系統多學科優化設計問題。Xing等[16]根據期望改進函數的多峰特性，提出了一種基于Kriging動態代理模型和并行計算的全局優化策略，并應用于一個無褶皺膜結構的拓撲優化問題，顯著提高了計算效率和解的精確性。在以往的研究中，大多數動態代理模型都是只對目標函數進行擬合，而未考慮復雜優化問題的約束函數；另一方面，在很多動態代理模型的建立和最優解的尋優過程中，并沒有對代理模型的擬合精度進行量化考慮，尤其是缺乏對最優解處的預測精度進行評估，這使得優化結果的精確性缺乏可信度?；诖砟Ｐ偷膬灮椒ㄔ谛l星結構設計優化問題中已得到廣泛應用，但是動態代理模型在衛星結構優化問題中的應用研究還很少見。包含靜力分析與動力學分析的衛星結構仿真分析過程是很費時的，而衛星系統對結構設計的可靠性要求又很高，因此，迫切需要開展高效高精度的衛星結構設計優化方法研究。本文針對具有高度非線性約束函數的衛星結構復雜優化問題，考慮到優化過程中EAs需要大量的適應度函數評價來搜索全局最優解，以及基于代理模型的優化方法面臨著計算成本與擬合精度相沖突的問題，提出了一種高保真度動態代理模型(high fidelity dynamic surrogate model,HFDSM)方法。在眾多代理模型中，RBF代理模型在擬合精確性、計算效率以及魯棒性方面具有較好的綜合性能[17]，在衛星結構優化問題中也表現出了較大的潛力[18]。因此，本文基于RBF代理模型，并采用自適應模擬退火(adaptive simulated annealing,ASA)全局優化算法，構造了一種基于HFDSM的全局優化策略，該策略在優化過程中同時考慮了最優解處代理模型的預測精度和目標函數真實分析值的下降程度，根據已有優化結果信息自適應調整搜索空間的位置和大小，并在搜索空間內補充樣本點，以提高搜索空間內代理模型的精確度，使尋優結果盡可能地接近真實全局最優解,在提高全局優化計算效率的同時，也保證了代理模型在最優設計點的預測精度。

1 背景介紹

1.1 RBF代理模型

RBF代理模型[19]方法采用線性函數對非線性函數進行逼近，RBF模型的基本形式為

(1)

fr(xi)=yi,i=1,2,…,N

(2)

式中：fr(xi)為RBF模型的預測值；yi為第i個樣本點處的函數精確值。則有

Aω=y

(3)

ω=A-1y

(4)

(5)

式中，φ為徑向函數，常用的徑向函數包括高斯函數、多二次函數及逆多二次函數。通過求解式(4)，即可求得權系數ωi，代入式(1)進而可求得代理模型fr(x)。

1.2 ASA算法

模擬退火算法是一種啟發于固體物質退火過程的隨機搜索方法，具有參數少和適用性強等優點。在凝聚態物理中，只要初始給定的溫度足夠高以及冷卻速度足夠緩慢，那么緩慢下降的溫度就能夠使金屬中的原子在一個相應的低能量基態中重新排列并形成規則的晶體結構。優化過程與金屬物質的退火過程非常相似，可通過采用特定的算法來適當控制溫度的下降過程實現模擬退火，從而完成對優化問題全局最優解的搜索。ASA算法[20]在標準模擬退火算法的基礎上，通過采用一套更快的退火程序和一種重退火策略來達到自適應調整，改善了算法的收斂速度問題。ASA算法的迭代過程，如圖1所示。

圖1 ASA算法的迭代過程Fig.1 Flowchart of ASA

在ASA算法的尋優過程中，從初始設計點開始，每生成一定數量的新設計點就會進行一次退火過程，而每接受一定數量的新設計點就會進行一次重退火，利用一個新設計點生成裝置和接受準則，不斷對當前設計點進行迭代，從而使目標函數達到最優。另外，在ASA算法的迭代過程中，除了接受使目標函數更優的點，還會接受部分較差的設計點，這個接受概率的值在優化開始時較大，隨著溫度的下降逐漸減小，這個機制可以使算法跳出局部最優解，便于在設計空間內找到問題的全局最優解。算法的終止條件是目標函數的值在一定次數的重退火后保持不變，或者是總迭代次數達到預設的最大值。

2 基于HFDSM的優化策略

2.1 基于HFDSM的優化流程

在基于代理模型進行優化設計的過程中，樣本點越多，建立的代理模型越精確，但需要調用的高精度分析的次數也會隨之增加，因此需要權衡訓練樣本數量和預測精度，得到精度與效率的折中。另外，在優化設計結果中，設計者關注的是代理模型對最優解附近函數特性進行準確預測的能力，而對全局的近似精度要求并不高，所以可以適當放寬全局的近似精度要求，重點保證對最優解附近區域的高精度近似。為了充分利用有限的樣本點信息以及獲取優化問題的高精度全局最優解，本文結合ASA優化算法構造基于HFDSM的全局優化策略。

一般約束優化問題可描述為

(6)

式中：x為nv維設計向量；BU和BL分別為設計空間的上下邊界矢量；f(x)為目標函數；gj(x)為不等式約束。采用代理模型對目標函數和約束函數進行模擬后，上述問題轉化為

(7)

在基于HFDSM的優化策略中，本文采用了變搜索空間和不斷補充樣本點的動態建模方法，根據全局優化算法的優化結果收斂情況和最優解處代理模型的預測精度來動態更新搜索空間，然后在新的搜索空間內補充樣本點，改善該區域代理模型近似精度，引導優化策略收斂到全局最優解，并以代理模型的預測誤差作為流程結束判定準則之一，保證了最優解的精確性?；贖FDSM的優化策略流程圖如圖2所示。

圖2 HFDSM優化策略流程圖Fig.2 Framework of the HFDSM optimization method

基于HFDSM優化策略的具體步驟如下。

步驟1建立優化問題數學模型，確定設計變量和初始設計空間V0，并建立目標函數和約束函數的真實分析模型。

步驟2令迭代計數參數k=1，采用最優超拉丁方試驗設計方法在設計空間內選擇初始樣本點或補充樣本點，并計算樣本點所對應的真實分析模型的響應值。將樣本點及其真實響應值保存到樣本點數據庫中，樣本點數量取為

(8)

步驟5將第k次優化結果中的可能最優解xk代入真實分析模型中，分析獲得它所對應的目標函數和約束函數真實模型響應值f(xk)、g(xk)，并將其保存到最優解集合中。

(9)

(10)

步驟7計算第k次與第k-1次優化所得最優設計點的目標函數真實響應值的相對偏差，判斷該相對偏差是否滿足給定的收斂標準ε2，如式(11)所示。若滿足，則優化流程結束，第k次優化最優解xk即為優化問題的全局最優解；若不滿足，則轉入步驟8。

(11)

步驟8更新搜索空間，令迭代計數參數k=k+1，轉入步驟3。

2.2 搜索空間更新策略

(2)確定搜索空間半徑大小δk。定義第k-1次更新后搜索空間大小的矢量為Ck-1，Ck-1的計算公式為

Ck-1=BU，k-1-BL，k-1

(12)

式中，BU，k-1和BL，k-1分別為第k-1次更新后搜索空間的上下邊界矢量。第k次更新的搜索空間半徑大小δk按式(3)計算

δk=λkCk-1

(13)

(14)

3 數值算例

為了驗證第2章HFDSM優化方法的有效性，本文選擇曾鋒等研究的HD1函數和Xing等研究中的Ackley函數作為測試算例進行驗證，并分別采用基于真實分析模型與ASA的組合優化策略以及基于靜態RBF代理模型與ASA的組合優化策略對上述問題進行求解，設置靜態代理模型的樣本點數與HFDSM的總樣本點數相同，以比較優化結果的優劣。

HD1函數的表達式為

(15)

該函數有10個設計變量，本文設置最小化目標函數為f(x)=ln[F(x)+1]，其全局極小值為0。

Ackley函數的表達式為

xi∈[-3,3],i=1,2,3,…,Nd

(16)

在該函數中取Nd=10，即有10個設計變量，該函數的全局極小值為0。

采用上述3種方法對兩個測試函數進行求解時，ASA算法的最大迭代次數均設為10 000次。在HFDSM優化策略中，取最優解目標函數和約束函數的預測誤差標準ε1=0.01及目標函數收斂標準ε2=0.01。得到3種優化策略的優化結果，如表1所示。考慮到HFDSM優化策略中多次采用最優拉丁超立方試驗設計方法，其采樣過程具有一定的隨機性，本文對HFDSM優化策略重復進行了5次近似模型構建及優化過程，得到目標函數最優解及對應真實值，如表2所示。

表1 測試函數優化結果Tab.1 Optimization results of the test functions

表2 HFDSM優化策略5次優化結果Tab.2 Results of five times optimization for the HFDSM strategy

從表1中可以看出，兩個測試函數通過HFDSM優化策略、靜態代理模型與ASA組合優化策略以及直接采用ASA算法都得到了全局極小值0附近的最優解，但是兩個函數直接采用ASA算法進行優化需調用真實分析模型9 097次和10 107次，計算代價較大，而基于近似模型優化策略只需分別調用330次和396次，顯著提高了優化效率。同時，基于HFDSM優化策略所得的最優解與真實值之間的相對誤差均小于1%，而基于靜態代理模型進行求解得到的最優解相對誤差分別為9.805%和19.753%，說明采用HFDSM優化策略得到的最優解具有非常高的保真度。另外，從表2 中的5次優化結果可以看出，最優解都在全局極小值附近，相對誤差也都控制在1% 以內，表明HFDSM優化方法對于求解高維非線性問題具有較好的魯棒性。

4 工字梁優化測試算例

工字梁設計優化問題可以描述為：在給定負載情況下，使得工字梁在滿足橫截面積和應力約束的條件下梁的撓度最小。工字梁的結構和受力情況，如圖3所示。其中梁的長度L=200 cm，彈性模量E=2×104kN/cm2，彎曲力P=600 kN，截面負載Q=50 kN，x1～x4為梁的截面尺寸參數。工字梁設計優化問題的數學模型如式(17)所示。

s.t.g1=2x2x4+x3(x1-2x4)≤300，

(17)

式中:目標函數f為梁的撓度；約束函數g1為梁的橫截面積；g2為彎曲應力。

(a)

將本文提出的基于HFDSM的優化策略應用于工字梁設計優化問題的求解過程中，取最優解目標函數和約束函數的預測誤差標準ε1=0.01及目標函數收斂標準ε2=0.01。另外，分別采用基于真實分析模型與ASA的組合優化策略以及基于靜態RBF代理模型與ASA的組合優化策略對上述問題進行求解，并設置靜態代理模型的樣本點數與HFDSM的總樣本點數相同，以比較優化結果的優劣。3種方法中，ASA算法的最大迭代次數設為10 000次。優化結果如表3所示。

表3 工字梁優化結果Tab.3 Optimization results of the I-beam problem

從表3中可以看出，通過HFDSM優化策略、靜態代理模型與ASA組合優化策略以及直接采用ASA算法都能獲得工字梁優化問題的全局最優解，但是直接采用ASA算法需調用真實分析模型5 918次，計算代價較大，而采用本文提出的HFDSM優化策略只需調用45次，顯著提高了優化效率。在模型的精確性方面，HFDSM優化策略所得的最優解與真實分析模型的響應值對比，最大的預測誤差為0.698%，說明該方法中的動態代理模型在最優解處具有很高的保真度，而采用靜態代理模型進行求解時，在相同的模型調用次數下，其預測誤差最大值達到了29.476%，若要保證代理模型的精度，還需要更多的樣本點進行逼近模擬。顯然，與另外兩種優化策略相比，本文所提出的HFDSM優化策略很好地權衡了計算效率與預測精度的問題，在保證優化結果精確性的條件下，顯著提高了優化求解的效率。

5 衛星結構優化實例

隨著現代衛星系統平臺規模的日益增大，衛星結構優化設計除了結構輕量化要求之外，還對衛星結構在靜力載荷下的強度、模態特性以及動力響應等提出了很高的要求，因此衛星結構一般優化問題可以描述為在滿足衛星結構靜力強度和動力學響應的約束條件下使衛星結構質量最小化。本章以某一衛星結構優化問題為例，探討基于HFDSM的優化策略在衛星結構設計中的適用性。

5.1 優化問題描述

某衛星結構的有限元模型，如圖4所示。通過有限元分析軟件Nastran分析得出衛星結構的模態特性、靜態慣性力作用下的力學特性以及正弦激勵下的動力學特性。考慮衛星主承力結構對整星性能的影響，選取主承力結構中板材的蜂窩芯高度、承力框架的截面尺寸以及承力筒蒙皮和桁條截面尺寸為設計變量。該衛星結構優化問題的簡化數學模型如式(18)所示。

圖4 衛星結構有限元模型Fig.4 Finite element model of satellite

(18)

式中：優化問題的目標函數為衛星結構的總質量Mass；Amax為通過頻響分析得到的結構最大加速度響應；[A]為加速度響應值的上限；σmax為靜力學分析得到的結構最大應力值；[σ]為相應的許用應力；fx、fy和fz分別為模態分析中衛星結構的x、y、z方向一階基頻基頻；[fx]、[fy]和[fz]分別為其下限；設計變量x1～x16為衛星主承力結構的尺寸參數，其中x1為星箭連接環殼體的厚度，x2、x3、x4、x5分別為底板、層板、頂板和隔板的蜂窩芯高度，x6為承力筒蒙皮厚度，x7和x8為承力筒上下端框的截面尺寸，x9～x14為承力筒周邊桁條的截面尺寸，x15和x16為衛星結構加強框的截面尺寸。

5.2 優化求解及分析結果

本節同樣分別采用HFDSM優化策略、靜態代理模型與ASA組合優化策略以及真實仿真模型與ASA組合優化策略求解上述衛星結構優化問題。由于衛星結構質量可以通過有限元模型直接輸出，分析時間可以忽略，因此采用基于代理模型的優化策略進行求解時，只對約束函數建立代理模型，目標函數均為真實響應值。在HFDSM優化策略中仍取約束函數的預測誤差標準ε1=0.01及目標函數收斂標準ε2=0.01。上述衛星結構的單次有限元仿真分析耗時較大，考慮到計算資源的有限，3種優化策略中ASA的最大迭代次數均設置為1 000次，優化結果如表4所示。在基于HFDSM優化策略得到的優化結果中，衛星結構的各階模態振型圖及應力云圖，如圖5所示。

從表4中可以看出，對于上述衛星結構優化問題，采用基于HFDSM的優化策略以及靜態代理模型與ASA的組合優化策略都獲得了與直接采用ASA算法相近的的全局最優解。在基于代理模型的優化結果中，加速度響應相對于其他約束函數具有較大的預測誤差，但是值得注意的是，在同樣調用459次仿真模型的情況下，傳統靜態代理模型在最優解處的最大預測誤差為6.217%，而基于HFDSM優化策略所得最優解的最大預測誤差僅為0.65%，達到可以忽略的量級，顯著改善了優化結果的精確性。

表4 衛星結構優化結果Tab.4 Optimization results of the satellite structure

(a)x方向一階振型

基于代理模型優化策略的時間成本主要由兩部分組成：① 收集樣本信息的時間成本，主要為通過有限元分析獲得樣本點對應的真實響應值，每個樣本點的分析時間為9 min，459個樣本點共耗時68.85 h；② 基于代理模型進行優化的時間成本，ASA算法迭代1 000次共耗時0.75 h，在該優化問題求解過程中，基于HFDSM的優化策略進行了3次循環，則共耗時2.25 h。綜上所述，基于HFDSM的優化策略總的時間成本為71.1 h。對于直接采用ASA算法的優化策略，其時間成本主要為調用真實仿真模型進行分析的時間，共調用有限元模型1 000次，時間成本為150 h，是基于HFDSM優化策略時間成本的2倍以上，若ASA算法采取更大的迭代次數進行全局尋優，其時間成本將會更高。因此，基于HFDSM的優化策略在提高優化效率方面也顯現了出色的潛質。

6 結 論

針對具有設計變量多、非線性強以及計算成本高等特點的衛星結構優化問題，本文在RBF代理模型和ASA全局優化算法的基礎上，依據優化結果中目標函數的收斂情況和最優解處系統輸出的預測精度構造了一種搜索空間自適應更新策略，并通過在搜索空間內補充樣本點提高代理模型的預測精度，進而發展了一種基于HFDSM的全局優化方法?；贖FDSM的優化流程中通過采用上述搜索空間更新策略，根據已有優化結果信息自適應調整搜索空間的位置和大小，充分利用有限的樣本點信息，提高代理模型精度，并引導優化過程收斂到全局最優解，從而達到提高優化效率和最優解預測精度的目的。

本文采用兩個高維非線性測試函數和工字梁設計優化算例對基于HFDSM的優化策略的性能進行測試，并與基于靜態代理模型的優化策略以及直接采用ASA算法的優化策略進行對比，結果表明，基于HFDSM的優化策略在保證優化結果精確性的條件下，顯著提高了優化求解的效率。最后，采用基于HFDSM的優化策略求解某個具有16個設計變量的衛星結構優化問題，在得到的全局最優解中，結構基頻及加速度響應等非線性約束都具有非常高的預算精度，最大預測誤差僅為0.65%，而與直接采用ASA算法進行求解相比，時間成本降低了50%以上。因此，該方法在保證優化結果精確度的同時，能夠有效提高優化求解效率，對于衛星結構設計優化問題具有很好的適用性。