低頻振動隔離和能量采集雙功能超材料1)

趙 龍 陸澤琦 丁 虎 陳立群

(上海大學力學與工程科學學院，上海 200444)

(上海大學上海市能源工程力學重點實驗室，上海 200444)

(上海市應用數(shù)學和力學研究所，上海 200072)

引言

超材料是一種具有人工周期性設計的復合材料，它具有天然材料所不具備超常物理特性[1-4].例如，由亞波長結構組成的聲學超材料具有可以抑制聲波或彈性波傳播的帶隙[5].超材料的應用主要包括機械波衰減[6-8]、低頻隔振[9-11]和能量采集[12-13]等.實際的工程中，如一些特殊工況下(飛行器帆板、飛機機翼的支撐板等)不僅需要對特定頻率范圍內的振動進行隔離，而且需要將有害振動產生的能量轉換為電能，以達到檢測傳感器供能的目的.因此，本文研究的重點是設計振動隔離和能量采集相結合的雙功能超材料，在隔振的同時，把有害的振動能量轉換為可用于電力設備的更有用的電能[14-16].然而到目前為止，關于振動隔離和能量采集相結合的雙功能超材料[17-19]的研究很少.

由于低頻處的振動對工程構件的損耗最大，所以低頻振動隔離問題一直是許多學者研究的熱點.最近，Yu 等[20]報道了Timoshenko 梁與局部諧振器的橫向振動試驗，并實現(xiàn)了其橫向振動的隔離.EIBorgi 等[21]對具有多個共振頻率的超材料進行了試驗，擴大了隔振頻率范圍.Hao 等[22]設計了彎曲波激勵下的多跨超材料梁，這拓寬了帶隙的頻率范圍，表明隔振性能有所改善.Park 和Jeon[23]提出了一種用于橫波的具有寬低頻帶隙的錐形超材料梁，它改善了寬帶和低頻特性.Li 和Wang[24]將多個諧振器放置在一個雙周期排列的系統(tǒng)中，以在低頻范圍內構建具有指數(shù)縱波隔離帶隙的超材料.Sharma 和Sun[25]研究了低頻波在具有周期性嵌入諧振器的夾層梁中的傳播行為，發(fā)現(xiàn)了帶隙之間的相互作用，從而進一步拓寬了帶寬.Wang 等[26]在Euler-Bernoulli 梁中放置橫向局部諧振器，以產生多個橫向帶隙，從而抑制橫波的傳播.Hu 等[27]交替地將固有頻率不同但質量相同的周期諧振器連接到梁上，并通過調整頻率間隔來減少振動的傳播，從而獲得寬帶隔離范圍.然而，將低頻振動從超材料主體上轉移到諧振器之后，振動的能量并未對其進行回收利用.

目前，對于超材料的研究，考慮到實際工程應用中的環(huán)境，許多學者設計了具有多個功能相結合的超材料.Li 等[28]通過將非球形納米顆粒植入圓柱形結構中，設計了一種用于熱隱身和電隱身的雙功能超材料.Shen 等[29]通過將形狀記憶合金和各向同性材料組裝在一起，設計了一種用于熱斗篷和聚光器的雙功能超材料.Maldovan[30]設計的熱聲超材料成功地實現(xiàn)了波隔離和熱流導向功能.Sugino 和Erturk[31]在超材料懸臂梁振子上黏貼壓電片實現(xiàn)了對振動的能量采集.

受上述研究的啟發(fā)，為了在低頻隔振的同時，對隔離的振動能量進行采集，本文設計一種低頻振動隔離和能量采集的雙功能超材料，將有害振動產生的能量轉化為電能為無線傳感器等低功耗電器供電.將固接了感應線圈的滑動球擺周期性陣列在基體梁上的球形磁腔內，以實現(xiàn)振動隔離和能量采集的統(tǒng)一.首先建立了雙功能超材料梁在橫向激勵下的動力學方程，應用Bloch’s 定理得到了超材料的能帶關系，對其進行有限元分析，并設計了橫向激勵超材料的試驗，驗證了超材料的帶隙內振動隔離特性;最后，對二維雙功能超材料的低頻振動隔離和能量采集性能進行了研究.

1 雙功能超材料梁的設計

本節(jié)對雙功能超材料梁進行建模和分析，通過將帶有球型空腔的梁基體與帶能量采集功能的球擺型諧振器相耦合，以實現(xiàn)低頻隔振和能量采集的功能性統(tǒng)一.雙功能超材料梁的示意圖如圖1(a)所示，附加的帶有能量采集功能諧振器如圖1(b)所示.將帶有能量采集功能的球擺型諧振器被放置在具有周期性排列球形腔的超材料梁上，當彈性波在雙功能超材料中傳播時，會在諧振器處產生局域共振現(xiàn)象，從而阻止彈性波的傳播，實現(xiàn)振動的隔離.當超材料梁受到激勵時，滑動小球在球腔內表面來回滑動，同時驅動感應線圈切割磁場，產生電能.

圖1 (a) 雙功能超材料模型圖;(b)帶能量采集功能諧振器模型圖Fig.1 (a) View of the dual-functional metamaterial;(b) a spherical pendulum energy harvester

本文所研究超材料的主要部分是一個無限長梁，當高長比小于1∶5 的梁受到橫向激勵時，需要考慮橫截面中性軸轉動慣量的影響.如圖2 所示，超材料梁的典型晶胞單元在本研究中可以等效為Timoshenko 梁.

將超材料梁等效Timoshenko 梁，l為梁單元長度，A為梁截面面積，I為梁截面轉動慣量，ρ 為梁材料的密度，E為梁的拉伸彈性模量，G為梁的剪切彈性模量.如圖2 所示，截面中性軸的橫向位移隨時間變化t表示為w(x，t)，梁截面剪切角隨時間t的變化表θf(示x，t為) γ(x，t)，表示超材料梁的總彎曲變形角為

圖2 超材料典型單胞的微元分析圖Fig.2 The infinitesimal analysis of Timoshenko beams

式中，M(x，t) 為作用在梁截面上的彎矩，Q(x，t) 為作用在梁截面上的剪應力，β為剪切彈性模量(梁截面為矩形，即).

根據(jù)質心運動定理和動量定理，可得梁單元的動力學方程為

式(2) 為關于梁橫向位移w(x，t) 和軸線轉角θ(x，t)的二階偏微分方程組，對其進行化簡可以得到只用截面橫向位移w(x，t) 描述基體梁的動力學方程為

將球擺型諧振器附加進基體梁形心位置(x=l/2)，可以看出附加的球擺型諧振器受到基體梁的水平位移激勵為xe=w(x，t)|x=l/2，如圖3 所示，利用拉格朗日方程可以得到球擺諧振器的動力學方程.

圖3 球擺型諧振器模型Fig.3 A spherical pendulum resonator

式中，L=T-U，T是動能，U是勢能.

將圖3 中球腔質心O所在的水平面為零勢能面，則滑動小球的動能T、勢能U分別為

將式(5)代入拉格朗日方程，得到球擺諧振器的動力學方程為

將能量采集裝置附加到球擺型諧振器中，可以得到球擺型能量采集器.根據(jù)基爾霍夫定律，得到具有能量采集功能的球擺型諧振器的動力學方程為

式中，B為磁感應強度;i(t) 為感應線圈中產生的電流;R為能量采集線圈中的電阻;Lind為電感強度;Lcoil為感應線圈的長度.

基于牛頓第二定律，將基體梁中空腔質量等效為負質量，則附加球擺諧振器的超材料梁單元的動力學方程為

式中，R1(t)+R2(t) 為球擺型諧振器與超材料梁單元主體之間的相互作用力(R1(t) 為超材料梁球型空腔質量的等效負質量與梁主體之間的相互作用力，R2(t)為諧振質量與梁主體之間的相互作用)，δ(x-l)是狄利克雷函數(shù);相互作用力分別為

式中，θi為超材料梁受到橫向激勵時，球擺與單元內平衡位置的夾角.

聯(lián)立球擺型諧振器的動力學方程可得到典型超材料單元的控制方程

根據(jù)基爾霍夫定律，具有能量采集功能的雙功能超材料梁的動力學方程為

對未知量進行Fourier 展開，并利用Bloch's 定理將其設為

式中，ω為振動頻率，q為x方向的波矢量，本文將一維向量q寫成標量形式.

上述應用于簡諧彎曲彈性波通過雙功能超材料梁單元的控制方程可寫為

對方程(13)積分后，可以用歐拉公式化簡可以得到

控制方程的系數(shù)矩陣可以寫成

通過求解上式的系數(shù)項，使系數(shù)行列式為零，可得到頻率ω與波矢量q的關系，即本文所研究的雙功能超材料梁的能帶結構關系.

2 有限元分析

本文利用有限元方法分析了附加局部諧振器的雙功能超材料梁的動力學特性.圖4 表示了附加諧振器單元有限元模型.本研究計算得到了由8 個局部諧振腔單元組成的雙功能超材料梁的能帶結構和頻率響應函數(shù)曲線，有限元模型如圖5 所示.在有限元的環(huán)境下，對雙功能超材料梁的中間位置施加恒定加速度的諧波激勵，在梁的另一端設置探針對端部的響應進檢測.

圖4 附加諧振器單元有限元模型Fig.4 Finite element model of unit cell

圖5 附加諧振器超材料梁有限元模型Fig.5 Finite element model of metamaterial beam

圖5 中五角星標記位置為激勵位置，圓點標記位置為監(jiān)測點位置.

在有限元環(huán)境下，超材料的頻率響應函數(shù)矩陣表示為

式中，M，C，K為離散有限雙功能超材料梁的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣.i為無限周期超材料梁中的單元數(shù).p和F分別表示位移矢量和力矢量.采用有限元分析方法對模型進行求解，計算超材料梁另一端的動態(tài)響應數(shù)據(jù)，得到梁的頻率響應.

3 結果和討論

本節(jié)比較了有無附加帶能量收集裝置球擺型諧振器時雙功能超材料梁的低頻隔振性能.為了更好的控制超材料帶隙的頻率范圍，還討論了雙功能超材料單胞參數(shù)對帶隙的影響，對雙功能超材料的輸出電壓進行了研究.表1 為雙功能超材料的物理參數(shù).

表1 雙功能超材料物理參數(shù)Table 1 Parameters of a dual-functional metamaterial

3.1 有無附加諧振器對超材料帶隙特性的影響

為了研究在超材料梁中附加諧振器對其帶隙和振動特性的影響，本節(jié)對比有無球擺型諧振器超材料梁的能帶結構和幅頻響應曲線.對于有限周期數(shù)的超材料，當周期數(shù)很大時，帶隙的起始頻率和結梁頻率趨向于帶隙的理論值，這為用有限周期超材料替代無限周期超材料的研究提供了基礎.

圖6(a)顯示了附加諧振器超材料梁的能帶結構和幅頻響應曲線.在0～ 120 Hz 范圍內，存在Bragg 帶隙(37～ 66 Hz)和低頻處的局域共振帶隙(7～ 9 Hz)，在幅頻響應圖中，帶隙相應頻率范圍的振動響應被明顯抑制.圖6(b)表示了在相同物理參數(shù)下，沒有附加諧振器超材料梁的能帶結構和幅頻響應曲線.可以明顯的看出在0～ 140 Hz 的頻率范圍內存在一個Bragg 帶隙(79～ 92 Hz)，在帶隙頻率范圍內的響應明顯小于帶隙頻率外的響應，因此只含有陣列球型空腔的超材料也可以有效地對振動進行抑制.

圖6 超材料梁的能帶結構與幅頻響應對比Fig.6 Band-gaps and amplitude-frequency response of metamaterial

圖6 超材料梁的能帶結構與幅頻響應對比(續(xù))Fig.6 Band-gaps and amplitude-frequency response of metamaterial(continued)

通過對比圖6(a)和圖6(b)可以看出，無限周期數(shù)超材料的帶隙頻率與有限周期數(shù)超材料振動抑制頻率范圍基本一致，說明振動的衰減現(xiàn)象是由于帶隙行為引起的.理論上，振動可以在帶隙的頻率范圍內被完全隔離.然而，幅頻響應的結果表明，振動仍然是傳播的.這是因為理論上超材料的周期結構是無限的，這里通過8 個單元模擬得到頻率響應，所以在實際的工程應用中，帶隙內的有害振動可以顯著降低，但不會完全被隔離.一般情況下，在超材料中附加球擺型諧振器可以明顯的降低Bragg 帶隙的頻率范圍，中心頻率從85.5 Hz 降為51.5 Hz，拓寬隔振帶寬.在較低的頻率范圍內，由于球擺型諧振器的共振，會產生一個較窄的局域共振帶隙(7～ 9 Hz).綜上所述，附加球擺型諧振器可以增大隔振帶隙頻率范圍.同時，附加了諧振器超材料梁的響應顯著減小.通過對附加諧振器和沒有附加諧振器的能帶結構和幅頻響應的對比，發(fā)現(xiàn)球擺型諧振器的加入可以在低頻范圍內形成了一個局域共振帶隙，提高了超材料梁在低頻處的隔振性能.

3.2 超材料幾何參數(shù)研究

本文還討論了超材料單胞的幾何參數(shù)，如圖7所示，分別為單胞的尺寸(m)、諧振小球的尺寸(本質上是質量/kg)和球型空腔的尺寸(m)對超材料梁隔振帶隙頻率范圍的影響.

圖7 幾何參數(shù)對帶隙的影響Fig.7 Effects of geometric parameters on band gap

圖7(a)顯示了單胞尺寸對超材料帶隙頻率范圍的影響.當彎曲波在超材料梁中傳播時，對低頻處局域共振帶隙的影響不大，其中心頻率保持在8 Hz 左右，帶隙寬度為3 Hz;對于高頻處的Bragg 帶隙，其中心頻率從90 Hz 降低到21.5 Hz，帶寬從4 Hz 拓寬到23 Hz.圖7(b)顯示了諧振質量對帶隙頻率范圍的影響.諧振質量對低頻處局域共振帶隙調節(jié)能力更強，帶隙中心頻率從37 Hz 降低到5.5 Hz，使其具有更好的低頻隔振性能，帶寬始終保持在4 Hz 左右;對于高頻處的Bragg 帶隙，帶寬從25 Hz 拓寬到30 Hz，帶隙的中心頻率從67.5 Hz 降低到49 Hz.因此，附加諧振器可以降低Bragg 帶隙的中心頻率并拓寬帶隙寬度，提高超材料梁的低頻隔振性能.圖7(c)表示了空腔尺寸對超材料帶隙頻率范圍的影響.超材料的空腔尺寸對低頻處的局域共振帶隙影響不大，中心頻率始終為8.3 Hz，帶隙寬度為2.5 Hz;對于高頻處的Bragg 帶隙，通過增大空腔尺寸，帶寬從34 Hz降低為24 Hz，帶隙的中心頻率從62 Hz 降低到48 Hz，削弱了Bragg 帶隙的隔振性能.

3.3 能量輸出特性

本節(jié)討論附加諧振器的雙功能超材料的能量采集特性.通過有限元計算得到了諧振器中滑動小球的位移，根據(jù)電磁感應定律，在第i個諧振器中產生的輸出電壓為

將有限元計算得到不同位置處諧振器中滑動小球位移代入式(17)，可以得到如圖8 所示的輸出電壓曲線.

圖8 為不同位置處諧振器的輸出電壓曲線，黑色實線為在激振點附近(圖5 中五角星)處諧振器的輸出電壓曲線，藍色點劃線為遠離激振點(圖5 中圓點) 處的諧振器的輸出電壓曲線.從圖8 中可以看出，電壓輸出響應在7～ 10 Hz 的頻率范圍內產生一個峰值，電壓值達到了0.280 6 V，這與球擺型諧振器的共振頻率范圍接近.因此，附加球擺型諧振器的超材料梁由于諧振器共振產生局域共振帶隙，在局域共振帶隙的頻率范圍內，超材料基體梁的振動被轉移到諧振器中球擺上，帶動線圈做切割磁感線運動，將機械能轉化為電能，同時減弱基體梁的振動強度.在局域共振帶隙的頻率范圍內，靠近激振點處諧振器的輸出電壓曲線出現(xiàn)了峰值，遠離激振點處諧振器的電壓曲線并沒有出現(xiàn)峰值驗證了激振點附近處的能量集中結論.因為超材料帶隙頻率內的振動隔離效果和梁基體的阻尼耗散作用，在遠離激勵點處的諧振器的能量輸出要比激振點附近諧振器的能量輸出低兩個量級乃至更多.在Bragg 帶隙的頻率范圍內，振動主要局限在基體梁中，所以在諧振器中球擺的振動被抑制，采集到的電壓輸出響應穩(wěn)定.

圖8 不同位置諧振器的輸出電壓曲線Fig.8 Output voltage curve of resonator at different positions

4 試驗驗證

為了驗證附加諧振器超材料梁的低頻局部共振帶隙和Bragg 帶隙，本文采用橡膠作為超材料梁的基體，并將滑動球擺置于球形腔內形成球擺型諧振器.對超材料梁進行諧波激勵，以研究其在帶隙頻率范圍內的振動隔離特性.試驗所用儀器如表2 所示，附加球擺型諧振器超材料梁的物理參數(shù)與表1 一致.

表2 試驗儀器Table 2 Experiment instruments

圖9 為橫向激勵下附加球擺型諧振器超材料梁的試驗照片.在試驗中，利用兩根多節(jié)的長棉線將超材料梁吊起，以模擬自由邊界條件.為了避免超材料梁在振動時產生的彎矩，本文將激勵點設置在超材料梁的中間位置，以抵消彎矩的影響.超材料梁與能產生諧波激勵的激振器固接.激振器對激振位置施加一個a=0.1g的恒定加速度激勵，在激振器上放置一個反饋加速度傳感器形成閉環(huán)，使諧波激勵更為穩(wěn)定，激勵位置和響應位置的加速度響應由兩個加速度傳感器記錄.

圖9 橫向激勵下超材料梁試驗照片F(xiàn)ig.9 photograph of the transverse excited metamaterial beam

圖10 為橫向激勵下超材料梁的掃頻曲線.從圖中可以看出，在6～ 10 Hz 的低頻范圍內產生了由于諧振器共振引起的局域共振帶隙，在該帶隙的頻率范圍內，抑制了加速度響應，抑制效果達到了0.0311g;在38～ 47 Hz 的頻率范圍存在隔振帶隙，該范圍內的加速度響應也明顯被抑制，抑制效果達到0.052 2g.與超材料的能帶結構對比可以發(fā)現(xiàn)，掃頻試驗中產生的隔振帶隙與有限元計算得到的帶隙頻率范圍相一致.

圖10 橫向激勵下超材料梁的掃頻曲線Fig.10 Sweep curve of metamaterial beam under transverse excitation

為了可以定量的反映超材料梁的隔振效率，引入帶隙內振動隔離效率

式中，AE為激勵點處的加速度;AR為響應點的加速度.

圖11(a)為橫向激勵下超材料梁在7.3 Hz 時的時域響應，試驗時選取局域共振帶隙頻率范圍內隔振效果最好的頻率(7.3 Hz)進行駐留，通過該頻率下時域響應可以看出，振動響應明顯被抑制，且處于一個穩(wěn)定的振動隔離狀態(tài).圖11(b)為橫向激勵下超材料梁在38.5 Hz 頻率下的時域響應，在Bragg 隔振帶隙的頻率范圍內選取隔振效果最好的頻率(38.5 Hz)進行駐留，通過該頻率下的時域響應可以看出端部響應被明顯抑制.表3 為超材料隔振帶隙內的振動隔離效率，從表中可以看出橫向激勵下該超材料梁在局域共振頻率范圍內的振動隔離效率達到了59.54%，在Bragg 帶隙內的振動隔離效率達到了49.39%.因此，對該附加球擺型諧振器的超材料梁的試驗顯示其具有良好的振動隔離特性.

表3 帶隙內隔振效率Table 3 Vibration isolation efficiency of band gap

圖11 不同頻率的時域響應Fig.11 Time domain response at different frequency

5 二維雙功能超材料板

本節(jié)對超材料梁拓展的超材料板進行研究.將帶能量采集功能的球擺型諧振器周期性的陣列在橡膠板基體中，探索該超材料板縱向的振動隔離特性與能量采集性能.

5×5 雙功能超材料板的有限元模型示意圖如圖12(a)所示，圖中五角星標記位置為激勵位置，圓點標記位置為監(jiān)測點位置.二維單胞的幾何參數(shù)與前文一維單胞的幾何參數(shù)一致;圖12(b)表示了二維超材料單胞所對應的簡約Brillouin 區(qū)間(Γ-XM-Γ)，用于二維超材料單胞的計算.

圖12 5 × 5 超材料板有限元模型示意圖和超材料單胞簡約Brillouin 區(qū)間Fig.12 Finite element model of metamaterial plate and Brillouin zone of metamaterial plate (5 × 5)

圖13(a)為雙功能超材料板的帶能結構，從帶能結構中可以看出該雙功能超材料板存在兩個明顯的帶隙(6～ 10 Hz 的局域共振帶隙、38.5～ 47 Hz 的Bragg 帶隙).圖13(b)為相同條件下超材料板的幅頻響應曲線，通過與有限周期數(shù)的超材料板的幅頻響應對比發(fā)現(xiàn)，在局域共振帶隙與Bragg 帶隙的頻率范圍內，響應點的振動明顯被抑制，在帶隙頻率內具有明顯的振動隔離效果.

圖13 雙功能超材料板特性和幅頻響應Fig.13 Band gap structure and amplitude frequency response

為了驗證具有能量采集功能超材料板的能量采集性能.通過有限元計算得到了激勵點附近諧振器中滑動小球的位移.根據(jù)電磁感應定律，在第(i，j)個諧振器的輸出電壓為

將有限元計算得到的激振點附近諧振器內滑動小球位移代入式(19)可以得到其輸出電壓響應曲線.圖14 為超材料板激振點附近諧振器輸出電壓響應曲線.通過分析輸出電壓響應曲線可知，響應曲線在6～ 10 Hz 的頻率范圍內產生峰值，最大輸出電壓為4.02 mV，這與諧振單元中球擺的共振頻率相近.因此，在低頻處局域共振帶隙的頻率范圍內，超材料板的振動被局限在諧振器處，通過能量采集裝置將機械能轉化為電能，使得超材料板振動衰減，起到減振作用.在38.5～ 47 Hz 的Bragg 帶隙的頻率范圍內，板的振動沒有傳遞到諧振器中，此時諧振器中感應線圈處于一個穩(wěn)定的狀態(tài)，采集到的電壓較少.

圖14 激勵點附近諧振器的輸出電壓曲線Fig.14 Output voltage curve of resonator near excitation point

6 結論

本文設計了一種低頻振動隔離和能量采集的雙功能超材料，在實現(xiàn)低頻振動隔離的同時，對振動進行能量采集，以實現(xiàn)隔振和能量采集的統(tǒng)一.這種雙功能超材料梁是將一個固接了感應線圈的球擺周期的放置在球型磁腔之中構成超材料，從而利用帶隙特性進行振動隔離，并在帶隙內采集到更多的能量.首先建立了雙功能超材料梁在橫向激勵下的動力學方程，應用布魯赫定理得到了超材料的能帶關系，并進行有限元計算，設計了橫向激勵超材料的試驗，驗證了超材料的帶隙內振動隔離特性;最后，對二維雙功能超材料的振動隔離和能量采集性能進行了研究.主要結論如下:

(1) 在帶隙的頻率范圍內，振動響應能得到有效抑制.控制超材料的參數(shù)可以對帶隙的頻率范圍進行調控;

(2) 在諧振器中球擺滑動時所產生的能量可以轉化為電能被利用，在局域共振帶隙的頻率范圍內采集到輸出電壓相比與帶隙外的輸出電壓更大;

(3) 增加單胞尺寸和空腔尺寸對局域共振帶隙的頻率范圍影響較小，但它會顯著降低Bragg 帶隙的頻率范圍，拓寬頻帶，提高超材料的隔振性能;

(4) 增加諧振質量可以顯著降低由于諧振器共振引起的局域共振帶隙的頻率范圍，試驗結果與理論結果基本一致.對于二維的雙功能超材料，同樣擁有較好的低頻隔振性能和帶隙內的振動能量采集性能.綜上所述，本文所提出的雙功能超材料梁在實現(xiàn)低頻隔振的同時，可以實現(xiàn)對振動能量更好的采集.