停車換乘設施飽和時刻逐日演化規律研究

梁科科 李葆青 葉 臻 孫 楊

(交通運輸部科學研究院 北京 100029)

0 引 言

停車換乘(park & ride，P&R)設施有效緩解了市區停車壓力，吸引了大量的郊區小汽車出行者換乘公共交通前往市區[1].然而，由于土地等客觀因素限制，P&R設施的停車位供給常年處于供不應求的狀態，根據對北京市部分P&R設施的走訪調研，發現P&R停車位供不應求是目前十分顯著的問題.以某P&R設施為例，在某天清晨的某一時刻達到飽和狀態，而在此之后到達的通勤者(P&R使用者)將無位可停；第二天，這部分通勤者將提早出發，以便可以提早到達以保證有位可停，或者干脆放棄使用P&R設施.這就導致了P&R車位的飽和時刻發生變化.如此，P&R設施飽和時刻將隨時間day-to-day地不斷演化，呈現復雜曲折的逐日動態演化過程.

逐日動態演化問題在交通領域較為常見的是出行者路徑選擇逐日動態演化問題.有研究指出，出行者的路徑選擇行為呈現逐日活動規律：出行者第n天的路徑選擇行為受到第n-1天和之前的行為以及網絡狀態的影響[2].在該規律的假設前提下，一部分學者利用Agent微觀仿真的方法研究演化過程[3-5]，另一部分則以非線性動力學為基礎，研究平衡的存在性及穩定性[6-8].

可以看出，目前關于P&R設施方面的研究很少關注停車位使用情況，尤其是處于供不應求狀態的P&R設施停車位飽和時刻演化規律.而交通領域的逐日動態演化問題很少涉及路徑選擇和交通流演化以外的情境.文中重點聚焦于P&R設施停車位飽和時刻演化規律，利用非線性動力學理論研究停車位不足條件下的P&R設施飽和時刻逐日演化規律，并討論平衡點存在性及其漸進穩定條件.

1 問題描述和建模

假設某城市設有一P&R設施(后文稱停車場)，車位數量(車位供給)為N.每天清晨，陸續有出行者駕駛小汽車到該停車場停車，并換乘公共交通前往市區，而這部分出行者的數量(停車需求)為D.

1.1 模型假設

假設1車位供給小于停車需求：N=ρD，其中0<ρ≤1.

假設2由于路況、信號燈等不確定因素影響，每個出行者到達停車場的實際時刻服從相互獨立的隨機分布，設出行者第n天到達停車場的實際時刻t(n)服從均勻分布：

F(t(n))=

(1)

式中：μ(n)為第n天的期望到達時刻；L為t(n)的離散程度，L越小，表明出行者的實際到達時刻t(n)可能的取值范圍越小.

假設3所有出行者第1天的期望到達時刻均相同，為μ(1).

假設4第n天成功停車的出行者在第n+1天將不調整期望到達時刻，即：μ(n+1)=μ(n).

假設5第n天無位可停的出行者將在第n+1天根據第n天的飽和時刻T(n)調整其期望到達時刻μ(n+1).調整規則為：確保自己第n+1天的到達時刻t(n+1)以一定的概率α早于第n天的飽和時刻T(n)(t(n+1)≤T(n)的概率為α)，即滿足：

(2)

整理后得：

(3)

1.2 模型推導

由式(1)可以看出F(T,μ)是關于飽和時刻T和期望到達時刻μ的關系式，可以假設：

(4)

式(4)為期望到達時刻為μ的群體在時刻T以前到達的概率.根據假設1、假設2和假設3，可以得到：求第1天的停車位飽和時刻T(1)就是求D個獨立同分布的停車需求中，第ρ分位的時刻，即：

(5)

式中：ρ為停車供需比(ρ=N/D)，整理得：

(6)

則第2天中，會有比例為1-ρ的出行者無位可停(實際上，每天都會有比例為1-ρ的出行者無位可停)，根據假設5，這部分出行者第2天的期望到達時刻將按式(2)調整；根據假設4，其余出行者將不改變期望出行時刻.則第2天的飽和時刻T(2)可由下式求出.

d(2)[(1-ρ)F(T(2),μ(2))+ρF(T(2),μ(1))]=

N=ρD

(7)

如此，便可求出第2天的飽和時刻T(2).第3天又會有比例為1-ρ的出行者按式(2)調整期望到達時刻，而其余出行者中一部分(比例為ρ2)將按照第1天的期望到達時刻出行，另一部分(比例為(1-ρ)ρ)將按照第2天的期望到達時刻出行，而停車需求將變為d(3)=D[T(2)-(T(1)-l)]/l.仿照式(7)便可求得第3天的飽和時刻T(3)，如此循環往復，可以看出第n天的飽和時刻T(n)將可由下式求得.

ρn-1F(T(n),μ(1))]=N=ρD

(8)

則第n+1天的飽和時刻T(n+1)將可由下式求得：

ρnF(T(n),μ(1))]=N=ρD

(9)

將式(3)、式(4)帶入式(8)和式(9)并整理得：

(10)

(11)

式(10)等號兩邊同時乘以-ρ并加上式(11)整理得：

(12)

由等比數列求和公式可知：

(13)

將式(13)帶入式(12)，整理得：

(14)

將d(n)=D[T(n-1)-(T(1)-l)]/l帶入式(14)，整理得：

T(n+1)=T(n)+

(15)

式(15)為停車位飽和時刻逐日演化模型.第n+1天的停車位飽和時刻與第n天和第n-1天的停車位飽和時刻相關.

特別的，若不考慮假設6，即：停車需求恒為D，則d(n+1)=d(n)=D，式(14)將變為：

T(n+1)=T(n)+L(ρ-α)(1-ρ)

(16)

即：每一天的停車位飽和時刻將呈線性趨勢變化.當ρ<α時，線性前移；當ρ>α時，線性后移；當ρ=α時，將維持不變.

2 平衡點求解及其漸進穩定條件

若在某天后，每一天的停車位飽和時刻均相等(不妨設為T*)，則稱逐日演化達到平衡，該飽和時刻T*即為演化的平衡點，顯然地，T*為

T*=T*+

(17)

解得：T*=ρl/α+T(1)-l.下面將討論平衡點的穩定性問題.

由式(15)可知：該演化模型為一二階非線性差分方程.關于差分方程解的穩定性問題已有較多研究成果.文獻[9]的研究成果給出了如下定理.

定理1二階非線性差分方程xn+1=f(xn,xn-1)的特征方程為(其中，λ為該差分方程的特征根)：

(18)

定理2二階非線性差分方程xn+1=f(xn,xn-1)平衡點的漸進穩定條件是，平衡點處的特征根的絕對值小于1，即：

|λ(x*)|<1

(19)

根據定理1，式(15)的特征方程可以寫成下式(將T*=ρl/α+T(1)-l帶入)：

(20)

解得：

(21)

根據定理2，平衡點的漸進穩定條件為

-1<λ=

(22)

由于ρ、L、l和α均為大于0的實數，故而式(22)等價于：

(23)

式(23)為停車場飽和時刻逐日演化系統平衡點漸進穩定條件.

3 數值實驗

在某城市外圍設有一P&R設施，停車供需比ρ=0.8；第1天的停車位飽和時刻為T(1)=480(清晨08:00)；出行者到達時刻的不確定性參數L=20(到達時刻在20 min的區間內均勻分布)；通過式(6)推算出第1天每個出行者第1天期望到達時刻均為μ(1)=474(清晨07:54)；出行者最早允許時刻T′的分布區間長度l=60(即：最早允許時刻T′在清晨07:00—08:00區間均勻分布)；調整參數α=0.99(即：第n天無位可停的出行者在第n+1天要確保99%的概率早于前一天).利用matlab進行仿真，結果見圖1a).將停車供需比調整為ρ=0.15，維持其他參數不變，再次進行仿真，結果見圖1b).

圖1 P&R設施飽和時刻隨時間變化趨勢

由圖1a)可知：當ρ=0.8時，在演化初期(n≤40)，P&R設施飽和時刻T隨著時間推移而不斷前移，變化趨勢逐漸放緩，直至穩定在468.5(清晨07:48左右)，這與通過式T*=ρl/α+T(1)-l計算得到的結果相一致.將各參數取值帶入式(23)得到：λ1=0.939<1、λ2=-0.348>-1，滿足漸進穩定條件，與仿真結果一致.

與圖1a)不同的是隨著時間的推移，飽和時刻并不會穩定在某一點，而是發生周期震蕩的現象(在426.3～436.5循環往復，即：每天的飽和時刻在07:06—07:16間隔出現).此情況下的特征根計算結果為λ1=0.232<1、λ2=-1.410<-1，不滿足漸進穩定條件，這亦與仿真結果一致.

在其他參數給定的情況下，可以通過式(23)計算得到使演化結果漸進穩定的停車供需比ρ需滿足的條件：ρ>0.196.圖2為飽和時刻最終演化狀態與停車供需比ρ之間的關系.

圖2 演化最終狀態與停車供需比ρ之間的關系

由圖2可知：

情況1當ρ>0.196時，飽和時刻最終演化結果趨近于平衡點，并漸進穩定，且隨著ρ的增大而逐漸推遲，特別的當ρ=1時，P&R設施的停車位供給完全滿足出行者停車需求，飽和時刻將始終維持在最初的時刻T(1)=480(清晨08:00).

情況2隨著ρ降低，最終演化結果將出現分岔(周期震蕩)，且振幅隨ρ降低而增大.

情況3隨著ρ繼續降低，演化結果將出現混沌現象(貌似無規律的復雜運動形態).

情況4繼續降低ρ，由于停車位供給遠遠小于停車需求，飽和時刻演化將迅速提前，直至某一天m提前至區間[T(1)-l,T(1)]左側，則所有出行者均不選擇使用P&R設施，即：d(m+1)=0，最終演化結果為：P&R設施每天無車停放，永遠不會飽和.由于實際情況下，停車供需比不可能很小(出行者明知道車位十分緊張，還堅持要使用P&R設施)，所以情況3和情況4很少出現，因此探究重點還是放在情況1(均衡)和情況2(分岔)的臨界點討論，即：演化的漸進穩定條件.

接下來討論L與演化結果的關系.L為出行者實際到達時刻的不確定程度，L越大，表征不確定程度越高.令L取值從0增大至60時(即：實際到達時刻均勻分布區間從0 min增大到60 min)，飽和時刻最終演化結果見圖3(ρ=0.8).

圖3 演化最終狀態與L的關系

由圖3可知：當L較小時(L≤53.3)，飽和時刻最終演化狀態趨于平衡點T*=468.5(清晨07:48)，且漸進穩定.而且，由于平衡點為T*=ρl/α+T(1)-l，與L無關，最終的平衡點并不會隨L的變化而變化.當L較大時(L>53.3)，出現分岔(周期震蕩)現象，且振幅隨L增大而增大.顯然地，L的臨界點(L=53.3)也可以通過式(23)求得.

4 結 論

1) 當P&R設施停車位數量小于每天的潛在停車需求時，存在一個“飽和時刻”，該時刻停車場停車數量等于車位數量，后續到達的用戶將無法停車.

2) P&R設施每天的停車飽和時刻存在逐日演化規律，該規律可以利用非線性動力學模型進行描述.

3) P&R設施飽和時刻逐日演化存在唯一的平衡點，且在一定的條件下漸進穩定.

4) 當停車供需比較高時，演化結果趨向于平衡點，且漸進穩定，平衡時刻隨停車供需比降低而提前；當停車供需比較低時，演化結果可能出現分岔(周期震蕩)、混沌或趨于無窮等不穩定情況.

5) P&R設施飽和時刻逐日演化平衡點的穩定性受出行者到達時刻分布的隨機性影響，到達時刻隨機性較高時，演化結果將出現分岔(周期震蕩)現象，且振幅隨不確定性增加而增大.

研究成果有利于協助交通管理者分析P&R設施停車位飽和規律，并結合潛在需求特征對P&R停車設施進行科學管控，合理引導出行者理性選擇出行方式，避免產生無位可停而被迫開車通勤或選擇其他費用較高的停車場的情況產生.為了計算方便，研究假設出行者實際到達時刻服從均勻分布，今后的研究可假設正太分布或采用實際數據擬合等方式建立更符合實際的演化模型；此外，由于某些客觀原因，研究未能進行實例驗證，未來可選取某一實際P&R設施停車數據進行實例分析，驗證模型有效性.