用畫說話，以畫促思

黃城紅 吳雪斐

“倍”是小學數學中的一個基礎概念，是各個版本教材的“種子課”。各版本教材雖然選取的素材不一樣，但編排思路類似，都是先用一個例題來教學“倍”的基本概念，再通過給定的練習來鞏固概念。在教學之前，我們有如下思考。

1.學生的學習主動性如何發揮。在幾個版本教材的編排中，都是通過“例題+練習”的模式來進行教學。這種固有的學習節奏，學生被牽著鼻子走，牽到哪里，學到哪里。學生的學習主動性沒有得到發揮，原有的學習經驗無從利用，創造性被限制，處于一種被動的學習狀態中。

2.學生的思維能力如何培養。數學是抽象的，如何在教學過程中培養學生的抽象概括能力、建模能力？如何通過畫有意義的圖，讓學生在直觀與抽象之間進行自然的轉化，培養學生的思維能力？如何更好地把“倍”的學習納入數學學習的整體結構當中？基于如上思考，我們進行了如下教學實踐。

一、“倍”的初體驗

師：同學們，今天我們來學習一個新的教學內容。請看黑板，認識這個字嗎？（板書：倍）

生：我知道，它的意思就是誰是誰的幾倍……

師：那我就來考考你們。請看，屏幕上有兩個三角形，你們能畫圓，使圓的個數是三角形的3倍嗎？

（學生趣味盎然地畫圓。教師請3個同學在黑板上展示畫法并介紹想法）

生：我是這樣想的，三角形有2個，它的3倍就是二三得六，所以我就畫了6個圓（如圖1所示）。

生：我也是這樣想的，三角形有2個，它的3倍就是3個2，也畫了6個圓（如圖2所示）。

生：我也是這樣想的（如圖3所示）。

師：他們畫的都是6個圓，但所畫的圖還是有區別的，看到這幾幅圖，你們有什么想說的？

生：我最喜歡圖2，因為在每2個圓之間用一條虛線隔開了。這樣就看得很清楚，圓有3份，就表示3倍。

生：我更喜歡圖3，用圈把每一份數都圈起來了，這樣就能很清楚地看出，圓的個數是三角形的3倍。而且我還發現，圖1、圖2只畫了圓的數量，圖3把三角形的數量也畫出來了，這樣就說明圓的個數是三角形的3倍，而不是其他圖形的3倍，這樣表示的意思更準確。

（學生鼓掌表示贊同）

師：從掌聲來看，同學們認為既要把原有的三角形畫出來，又要把每兩個圓為一份做標記。從圖3就可以清楚地看出，2個三角形是一份數，圓形的個數有這樣的3份，就表示圓的個數是三角形的3倍。

【評析】在這個教學環節中，教師利用學生已有的知識經驗，“誘導”學生把“倍”的意思用圖表達出來。在學生把各自的想法用圖表示出來后，再引導學生對所畫的圖進行比較、總結，讓學生初步、準確地建立倍的概念：倍，要先明確一份數，再看有這樣的幾份，就是幾倍。通過學生主動、直觀的表達，觀察和比較，初步理解和建構“倍”的概念。

二、明確“倍”的概念

師：看來同學們會畫2個三角形的3倍了，你們還會畫正方形，使正方形的個數是這2個三角形的4倍嗎？

（學生很快畫出圖，如圖4）

生：把這2個三角形圈起來，就是一份。畫4個圈，每個圈里有2個正方形，就表示有4個2，正方形的個數就是三角形的4倍。

師：這2個三角形的3倍、4倍會畫了，那你們還會畫這2個三角形的多少倍？

生：我還會畫這2個三角形的5倍、6倍、7倍……

（學生說完很快地畫出圖，如圖5所示，并解釋道：2個三角形圈成一份。現在畫了5個圈，每個圈里有2個涂陰影的圓，涂陰影的圓的個數就是三角形的5倍）

師：這個時候你們對“倍”有什么樣的認識？

生：我覺得“倍”跟我們以前學的乘法是有聯系的。請看，3倍就是3個2，4倍就是4個2，5倍就是5個2……

師：這個同學總結得非常好！從這些圖中我們確實可以看出，一個數的幾倍就是幾個幾。

【評析】在這個教學環節中，教師順應了學生的思路，一份數的量“2個”保持不變，引導學生依次畫出2個三角形的4倍、5倍……通過畫直觀圖，學生就容易自主地概括出倍的本質含義：在保持一份數不變的情況下，有幾份就是幾倍。這個教學過程，沒有教師的強加，而是學生自主體驗后的自然概括，讓“倍”的概念教學水到渠成。

三、升華“倍”的認識

師：對于“倍”的認識，你們還有什么問題嗎？

生：剛才我們畫的圖里，都是每個圈里只有2個三角形。每個圈里可不可以是3個、4個、5個……三角形呢？

師：這個同學提的問題非常好！如果現在一個圈里畫了3個三角形，那它的3倍怎么表示？

生：那就在下面一行畫3個圈，每個圈里要畫3個圓。

（學生畫出圖，如圖6）

生：通過畫圖我明白了，圖6中下面一行，每個圈里圓的個數，都要和原來一份數的個數一樣多。下面每個圈里圓的個數，是由上面圈里三角形的個數決定的。如果上面那個圈里三角形有4個，那下面一行中每個圈里的圓也有4個;如果上面那個圈里三角形有5個，那下面一行中每個圈里的圓也有5個，以此類推。

師：這個圈里可以放幾個三角形或者幾個圓？

生：可以是1個，也可以是2個，還可以是3個……甚至是無數個，但不管是幾個，用圈圈一下，就表示一份數。

師：看來這個圈的本領真不小啊，還能圈無數個三角形！

生：我現在明白“倍”的意思了。先圈出一份數，這個一份數可以是1個，可以是2個，也可以是3個……不管是幾個，圈起來了就表示一份數，再看幾個這樣的圈，就是幾倍。

師：這個時候，你們還有什么問題嗎？

生：是啊，這個圈的本領可真大，能表示1個、2個、3個、4個……咦，假如這個圈里有100個三角形，畫不下呢？這可怎么辦呀？

師：這個同學的問題問得太好了！是啊，如果要在圈里畫100個三角形，會畫得很累的！怎么解決這個問題？

生（興奮地）：我想到了！可以用數來代替，就在每個圈里寫數100。

師：你太棒了，你的想法真好！

師：除了畫一個圈，在圈里寫上數100表示一份數。還可以怎么畫圖，表示一份數是100？

生：可以畫線段圖，在每條線段上寫上數100。

師：那就用你們喜歡的方法來表示：紅花有100朵，黃花的朵數是紅花的3倍。

（學生畫圖展示，如圖7）

師：你們畫得都非常好，都正確地表達了黃花的朵數是紅花的3倍。當然，畫線段圖時，可以仿照這個同學的畫法，把表示黃花的3段連在一起，這就是我們常用的線段圖。

【評析】數學的本質就是抽象。在本教學環節中，在前面通過直觀圖表達倍的概念的基礎上，又進一步抽象，還可以直接用數來表示物體的個數，讓學生很自然地體會到，一份數不僅可以是一個物體，還可以是多個物體形成的一個整體，這樣就準確、完整地建立了“倍”的概念，也為今后學習分數時，建立“單位1”的概念進行了鋪墊和滲透。這個教學過程由學生自己的問題開始，順著學生的思路順藤摸瓜，逐步抽象、建模，一步一步地觸摸“倍”的本質。這個過程，學生的學習主動性得以激發，創造性得以發揮，思維能力得以培養。

四、“倍”的整體結構

師：請同學們看下面這一幅圖（如圖8）。從圖8中，我們很容易地看出有2個三角形、3個圓和6個正方形。根據這種3種圖形的個數，你們能求解什么數學問題呢？

（學生先獨立思考，討論交流后進行匯報）

生：我知道，正方形的個數是三角形的3倍。

（學生說完就把兩個三角形圈起來，還把6個正方形每2個為一份圈起來）

生：我知道，正方形的個數是圓的2倍。

（學生說完后同樣用畫圈的方法來表示他的想法）

師：咦，為什么一會兒說是2倍，一會兒說是3倍呢？

生：就是因為倍數不同。跟三角形相比時，一份數是2個，就畫了3個圈，所以是3倍;跟圓相比時，一份數是3個，只能畫2個圈，所以是2倍。

師：除了能說相互之間“倍”的關系外，還能說說它們之間的其他關系嗎？

生：我還知道，圓比三角形多1個;反過來，三角形比圓少1個。

生：同樣地，我還知道，圓比正方形少3個，正方形比圓多3個。

生：我還知道，圓的個數是正方形的一半。

師：這個同學的想法太不一樣了！你說的圓的個數是正方形的一半，也是它們之間的一種關系。你知道“一半”怎么表示嗎？

生：用[1/2]來表示。（說完就寫出了分數[1/2]）

師：你的知識太豐富了，這是我們以后要學習到的知識。隨著學習的繼續深入，我們將學到更多表示它們之間關系的方法。

【評析】這節課學生學習了倍的知識，知道了“倍”的含義，還理解了它是表示兩個量之間的一種關系。但我們的教學不能停留于此，還有必要把“倍的關系”納入“比較兩個量之間關系”的整體結構中，幫助學生構建起系統性的知識體系。學生的能力是無窮的。當有學生說出“一半”的關系時，教師很自然地抓住了這個精彩的課堂生成，引出了分數的概念，這樣，又把“兩個數之間的關系”延伸到了一個更廣的范圍，為學生今后學習分數的知識埋下伏筆，也初步感知了“2倍”和“一半”的互逆關系。這個教學過程，教師的開放性提問，給了學生充分表現的機會，讓學生能夠站在整體和全局的角度，來理解和掌握倍的知識，做到“既見樹木，又見森林”，這對于學生的整體認知是非常有好處的。

【課后總評】

這節課，學生學得主動、生動、靈動。在教師的大環節教學設計下，教學的資源都來自學生的自主畫圖。而在學生畫圖的過程中，做到了以下幾個方面。

一、用畫說話，由抽象到具體

“倍”是小學數學知識體系中表示數量關系中的一個基本概念，它表示的是兩個數量之間的一種關系，所以各個版本教材中都有這個概念的教學。但它又是一個比較抽象的概念，僅靠語言是很難描述的。因此，在本課中，教師始終讓學生把這個抽象的概念用圖表示出來，通過直觀圖，學生就很容易地感知：一個數是另一個數的幾倍，就是以前學過的乘法中的幾個幾。通過學生自主畫圖，可以有效地讓學生把原有的經驗順暢地表達出來。學生在看到圖后，也能更方便地進行總結，這是一個學生自我表達、自主建構的過程。總之，用畫來說話，把抽象的概念直觀化、具體化，便于學生理解和掌握抽象的倍的概念。

二、以畫促思，由具體到抽象

學生通過畫具體、直觀的圖形，理解和掌握了倍的概念，但學生的思維不能僅僅停留在直觀的層次上，還必須進行深化和提升。為了讓學生更深刻地理解倍的概念的本質，培養創造性解決問題的能力，教師又給學生創設了提問的機會，學生自然地順勢提出：“一份數可以是1個、2個、3個……甚至是無數個，畫不完怎么辦？”在這種矛盾的認知沖突中，充分地激發了學生的思維，發揮了想象能力。學生就想到可以不用畫具體的物體了，而是用數來代替，并可以繼續用圈圖、線段圖來表示。這樣的教學過程，就讓學生非常清晰地體驗到數學抽象的本質，培養了學生的抽象思維能力，學生的思維水平達到一個新的層次。這個過程也讓學生充分地認識到，這里的一份數可以是一個，也可以是多個，甚至是無數個，這就為今后學習分數時，更準確地建立“單位1”的概念做了很好的鋪墊。

由此，我們的數學教學，要在抽象和直觀之間進行轉換。當學生理解有困難時，就要把抽象的概念直觀化，幫助學生理解數學。而當學生掌握了基本的概念之后，又必須對直觀進行適度的抽象，提升思維層次，感受數學的本質，這才是有意義的教學。

（作者單位：江西省南昌市鐵路第一小學 廣東省河源市源城區公園東小學）