等邊三角形案例分析

朱文洪

一、案例背景

人教版八年級(jí)上冊(cè)第13章《軸對(duì)稱(chēng)》是整個(gè)初中幾何至關(guān)重要的一章，等邊三角形的是《軸對(duì)稱(chēng)》第3節(jié)的內(nèi)容。本次上課的學(xué)生是昆明市第十中學(xué)初二年級(jí)的學(xué)生，該校學(xué)生平均水平在昆明地區(qū)是比較高的，上課班級(jí)已經(jīng)完整完成前兩節(jié)新課及習(xí)題課的學(xué)習(xí)。本次課由兩位來(lái)自?xún)蓚€(gè)名師工作室的老師用不同的班級(jí)上同一課，課后由名師工作室學(xué)員及負(fù)責(zé)人及時(shí)評(píng)課，之后請(qǐng)陳靜安教授看錄播課并進(jìn)行線(xiàn)上評(píng)課。

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）設(shè)計(jì)相關(guān)的探究活動(dòng)，并且就等邊三角形的性質(zhì)以及判定方法進(jìn)行深入的研究，以此來(lái)強(qiáng)化學(xué)生的探究意識(shí)，幫助他們養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

（二） 運(yùn)用之前學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決和等邊三角形相關(guān)的問(wèn)題。

三、教學(xué)過(guò)程

活動(dòng)引入：給每位同學(xué)發(fā)放一副三角板，請(qǐng)同桌進(jìn)行交換，使每位同學(xué)手上拿著相同的三角板。然后請(qǐng)同學(xué)們把自己手上兩個(gè)全等的直角三角形進(jìn)行拼搭，要求拼成三角形，每四人一小組進(jìn)行討論，說(shuō)說(shuō)共有幾種不同的拼搭結(jié)果，是什么三角形？

同學(xué)們展示了三種不同的結(jié)果，均為等腰三角形，其中，圖3中的三角形三邊似乎都相等，有同學(xué)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，他的三邊確實(shí)是相等的，也就是等邊三角形，如果不測(cè)量，我們能說(shuō)明它是等邊三角形嗎？這個(gè)圖形還有些什么特征呢？這就是咱們今天要學(xué)習(xí)的。.

（一）問(wèn)題導(dǎo)入

1.等邊三角形的具體特征是什么？它與等腰三角形之間存在著什么內(nèi)在的聯(lián)系？

等邊三角形最為明顯的特征就是三角形的三個(gè)邊相等。等邊三角形可以看作是一種比較特殊的等腰三角形;

2.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)回憶及剛才的拼搭發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生充分準(zhǔn)備好本節(jié)課學(xué)習(xí)所需要的基礎(chǔ)知識(shí)，利用問(wèn)題探索讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，并初步感悟等腰三角形與等邊三角形的聯(lián)系。

（二）探究新知

1.等腰三角形有哪些性質(zhì)呢？（請(qǐng)同學(xué)回答，并引導(dǎo)學(xué)生分類(lèi)整理）

從邊的角度：兩腰相等;

從角的角度：兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）;

從高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)的角度：三線(xiàn)合一

對(duì)稱(chēng)性：是軸對(duì)稱(chēng)圖形.

2.類(lèi)比等腰三角形的性質(zhì)，你能得到等邊三角形的什么性質(zhì)？

（1）等邊三角形的邊有什么特點(diǎn)？

邊：等邊三角形的三邊均相等.

幾何語(yǔ)言表示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC

（2）通過(guò)觀察和分析，嘗試去分析三角形的三個(gè)角有什么特點(diǎn)？（請(qǐng)同學(xué)們討論、得出結(jié)論并論證）嘗試去證明三角形的任意角為60度。

已知：△ABC是等邊三角形。求證：∠A=∠B=∠C=60°.

證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴BC=AC，BC=AB.

∴∠A=∠B，∠A=∠C.

∴∠A=∠B=∠C.

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=60°.

∴∠A=∠B=∠C=60°.

得到等邊三角形的性質(zhì)：

等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角是完全一樣的，而且每個(gè)角的度數(shù)都是60度

幾何語(yǔ)言表示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°.

（3）嘗試思考等邊三角形是否具有三線(xiàn)合一的特殊性質(zhì)

通過(guò)分析，就可以發(fā)現(xiàn)等邊三角形每條邊上的中線(xiàn)、高和所對(duì)應(yīng)頂角的平分線(xiàn)都三線(xiàn)合一。

3.學(xué)以致用

例1.如圖，等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)，則∠B=_____________，∠ADC=_______________，∠BAD=____________.

練習(xí)1.如上圖已知在等邊三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=8，則BD=_______.

4.探究等邊三角形的判定方法

（1）如何將等腰三角形轉(zhuǎn)換成為等邊三角形？

猜想：（1）對(duì)于一個(gè)三角形來(lái)講，它的三個(gè)角是完全一樣的，此時(shí)就可以將其看作是等邊三角形。

（2）對(duì)于一個(gè)等腰三角形來(lái)講如果，它的任何一個(gè)角存在60度的狀態(tài)，那么可以推斷該三角形為等邊三角形。

請(qǐng)你將這兩個(gè)命題進(jìn)行證明：

已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C.求證：△ABC是等邊三角形。

證明：∵∠A=∠B，∠B=∠C，

∴BC=AC，AC=AB.

∴AB=BC=AC.

∴△ABC是等邊三角形.

于是得到等邊三角形的判定1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

（3）對(duì)等邊三角形的判定方式進(jìn)行分析與總結(jié)

①如果一個(gè)三角形，它的三條邊相等，那么可以斷定該三角形為等邊三角形;

②如果一個(gè)三角形，它的三角內(nèi)容完全一樣，那么可以推斷出該三角形每個(gè)角度均為60度，此它為等邊三角形;

③如果有一個(gè)等腰三角形，其中它的一個(gè)角為六十度，那么可以推斷出它是等邊三角形.

（三）例題解析

如圖，△ABC是等邊三角形，DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.求證：△ADE是等邊三角形。

證明：△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C.

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.

∴∠A=∠ADE=∠AED.

∴△ADE是等邊三角形.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，鼓勵(lì)創(chuàng)新于多角度多方法思考問(wèn)題，活躍學(xué)生的思維，拓展創(chuàng)造性的能力與意識(shí)。

（四）課堂小結(jié)

1.等邊三角形的性質(zhì)：

三條邊都相等;

三個(gè)角都相等，且都為60°;

三線(xiàn)合一;

是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有三條對(duì)稱(chēng)軸.

2.等邊三角形的判定：

三條邊都相等的三角形是等邊三角形;

三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;

有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，理解等邊三角形的性質(zhì)和判定，掌握類(lèi)似學(xué)習(xí)、自主探究的學(xué)習(xí)方法。綜合運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定解決問(wèn)題。

四、教學(xué)反思及同課異構(gòu)對(duì)比

本次同課異構(gòu)是借班上課，提前了解了學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度，開(kāi)課就先讓學(xué)生們心情愉快自己動(dòng)手拼搭三角形，課堂氣氛很快活躍起來(lái)，借拼搭結(jié)論復(fù)習(xí)等腰三角形相關(guān)內(nèi)容過(guò)渡得也非常順暢，同學(xué)們積極參與課堂，認(rèn)真思考，大膽表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)和疑惑。

通過(guò)對(duì)整節(jié)課的回顧以及分析，可以發(fā)現(xiàn)該課程環(huán)節(jié)緊湊，思路清晰，做到以學(xué)生為教學(xué)主體，既放手讓學(xué)生自主探究，又在基本定理上強(qiáng)調(diào)表達(dá)規(guī)范。尤其是在例題講解方面，通過(guò)一個(gè)證明題書(shū)寫(xiě)了等邊三角形判定及性質(zhì)應(yīng)用的規(guī)范書(shū)寫(xiě)。在板書(shū)設(shè)計(jì)方面，為學(xué)生指出了重點(diǎn)內(nèi)容，可以讓學(xué)生準(zhǔn)確掌握相關(guān)知識(shí)。總體來(lái)說(shuō)，教學(xué)內(nèi)容充實(shí)，學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)和學(xué)習(xí)方法的掌握比較到位。