強化應用：走好數學學習“后半程”
——《“有余數的除法”綜合練習課》教學解析與思考

文｜葉 柱（特級教師）

什么是數學學習的“后半程”？或許，我們可以有兩種理解：其一，在立足教材編排體系而展開的數學學習中，“前半程”可以看作是蘊涵各種新概念、涉及各種新意義、關聯各種新思路的新授課，而“后半程”則是熟能生巧、融會貫通的練習（復習）課；其二，換個角度看，數學學習本質上是一個“抽象——推理——應用”的完整過程，即先從現實中“抽象”出數學，再通過“推理”促成數學體系的內部發展，最后在“應用”中回歸現實。所以，數學學習的“后半程”，也可視為“抽象”“推理”之后的“應用”階段。

金雪梅、章淵兩位青年教師執教的《“有余數的除法”綜合練習課》，是鞏固新知教學的練習課，也是解決實際問題的應用課，在數學學習中處于典型的“后半程”。那么，怎樣走好這段“后半程”呢？下面，我想重點圍繞上面所述的第二種理解，從“強化應用”的角度，來談談自己的思考。

一、強化應用，需要“瞻前顧后”

從促進學生發展的角度來看，“應用”不該是“搬用”“套用”，而該是帶著已有儲備、進入現實場景，并根據實際需求發掘自身潛能、調用所需資源，來解決問題、達成目的。整個過程，具有一定的靈活性與挑戰性。因此，在展開應用的前夕，重視已有經驗的激活，喚醒學生對于舊知“拿捏”的“手感”，為實際應用做好扎實鋪墊，便顯得很有必要。

在金老師的課中，通過“分礦泉水”的數學活動，學生對于平均分的含義、有余數除法的產生與意義、各部分名稱及關系進行了細致梳理。這個過程并不是機械刻板的，而是饒有趣味的。教師善于通過“猜一猜，每人分到幾瓶礦泉水”“如果想要每個人再多分1 瓶，還需要增加幾瓶礦泉水”等設問，讓整個環節具有探索味與新鮮感。在我看來，這段課堂時光是“瞻前顧后”的。所謂“瞻前”，自然是指回顧了舊知；而所謂“顧后”，是鑒于后續開展解決問題的需要，開啟了“學校派7 名同學去參加數學夏令營”的應用背景，成為了全課“情境串”的起點。再說章老師的課，通過學生自己舉例來復習舊知，這與接下來的“通過自主編題來促進應用”在總體風格上是一以貫之的，具有整體性。

二、強化應用，需要“眾里尋他”

兩節課里，我始終關注著學生對解題思路的闡述。金老師的課上，對于“22 名男生參加了本次夏令營活動，每間大房可以住6 人，每間小房可以住4 人。如果都住大房，最多住滿幾間？”學生回答：“22 個人，每6 人一間，可以住滿3 間，還剩4 人，也就是22÷6=3（間）……4（人）。”章老師的課上，直面“小旗按‘紅、紅、綠、藍’的顏色順序重復排列，第34 面小旗是什么顏色的？”學生回答：“34÷4=8（組）……2（面），‘紅、紅、綠、藍’4 面旗為一組，有8 組，還多2 面，也就是下一組的前2 面小旗，顏色為‘紅、紅’。”毋庸置疑，豐富多彩的情境外衣下，復雜多變的信息叢林里，藏著一顆純真的數學內核。而解說思路的兩位學生，顯然具備了一雙透視迷霧的“火眼金睛”。

很多學生之所以懼怕解決問題（應用題），根源在于“亂花漸欲迷人眼”，在陷入現實情境后，看不透、摸不著、理不清隱藏其中的數學原型，最終導致盲目列式、胡亂解答。所以，應用的過程中，無論基于何種場景，不管面對哪種任務，“眾里尋他”是最核心的環節。“眾”指豐富復雜的問題情境，“他”指純粹簡明的數學模型。前面描述思路的兩位學生，顯然已具有“眾里尋他”的基本能力。唯有不斷尋找、持續索求，學生才能逐漸擁有一雙數學慧眼。

當然，從更高要求看，兩位教師在“眾里尋他”的既定方向上，想得可以更深一些，教得可以更準一點。

1.洞察“除法模型”。

兩位教師都非常重視讓學生在列式解答后闡述思路、促進理解，這當然很重要。但另一方面，面對某個現實問題，我們在動筆列式前，怎么判定這個問題是否適合用有余數的除法來解決？從某種意義上講，“解前預判”比“解后詮釋”更重要。所以幫助學生從整體上把握現實問題的數學本質，兩節課都還有改進的空間。當然，“是否有余數”，算了才知道，所以，“解前預判”的核心指向便成為了：這個問題為什么是除法問題？像“礦泉水一共有25 瓶，平均分給7 名同學，能剛好分完嗎？”就是“把25 平均分成7 份，求每份數”，用除法；像“小旗按‘紅、紅、綠、藍’的顏色順序重復排列，第34面小旗是什么顏色的”就是“求34 里面包含著幾個4”，用除法……在遇見這些現實問題之初，盡管還未動筆解答，引領學生形成“解前預判”的意識，敏感分辨其中所含的“平均分成幾份”“包含幾個幾”的數學本質，進而萌生“用除法解決”的策略傾向，是“眾里尋他”的應有之義。

2.領悟“有余結構”。

兩節課都涉及到了一個綜合性很強的實際問題：“22 名男生參加了本次夏令營活動，每間大房可以住6 人，每間小房可以住4 人。怎樣安排房間，剛好能住滿？”很多學生在解答時，也會通過“湊數”來推進：假設大房住滿1 間，還要安排16 人，正好小房住滿4 間；假設大房住滿2 間……這個過程中，“有序思考”確實顯示了迷人魅力。那么，問題來了，在“用有余數的除法解決問題”的課時中，這道題的價值何在？金老師在教學過程中有一段引導：“觀察‘22÷6=3（間）……4（人）’這個算式，余數是4，剛好可以再住1 間小房；觀察‘22÷4=5（間）……2（人）’這個算式，余數是2，我們可以減少一間小房，多出的4 人加余下的2 人剛好6 人，加1 間大房。”從中，我們是否可以有此共識：“有余數的除法”并非解決這個問題的唯一方法，但是，明確了本題的“有余結構”，就能在解決問題時多一種思維模式、多一根研究拐棍、多一條推理路徑，學生也就多了一份實實在在的解題能力。事實上，很多小學階段的挑戰性問題都可以依托其中的“有余結構”、用除法模型來幫助思辨。因此，兩位教師應始終注意通過“點睛式”教學語言，引領學生感受到“有余數的除法”在解決問題過程中的重要價值。

三、強化應用，需要“留存經驗”

應用的歸宿在于解決問題，也在于“學會應用”。因此，不能只顧低頭解題、盲目操練，還需要適時停下來，望一望來路，悟一悟體會，理一理心得，不斷積蓄、豐富數學應用的主體經驗。這個過程中，尤其要重視以下經驗的留存：

1.梳理信息的經驗。

在一個實際問題中，信息通常是原生態的，且“披著情境外衣”，可能多余或不足。如何讀懂、看透這些信息，對于解決問題很重要，是一項不可或缺的基本功。上文提到，用有余數的除法解決問題的過程中，從整體上把握“除法模型”、敏銳而準確地實現“眾里尋他”是關鍵所在。而覺察到實際問題所包含的“除法模型”，必須建立在對每個信息的準確理解及相互關聯的有效把握上。因此，解讀信息時，教學節奏要適當放慢，有意放大“對照曾經解決過的相似問題來理解信息”“畫示意圖來理解信息”等鮮活經驗，并推而廣之，促進每位學生的經驗優化。

2.把握問題的經驗。

兩節課中，都有“題目的所有條件不變，換一個問題來解決”的環節。對于這樣的設計，個人深表贊同，有利于修煉學生對直面問題指向的敏感性。問題指明了解答的終極任務，聚焦了應用的核心焦點，所以，看懂、領會問題很重要。金老師、章老師都很重視讓學生用自己的語言來說明兩個問題的差異，呈現了一種“同伴分享，平等互教”的和諧氛圍。只不過，相對而言，教師的點撥跟進需要適當加強。比如，學生交流后，教師可以故作驚訝：“哦，我明白了，‘最多住滿幾間’關注的是房間，要做到‘每間都無空位’，可以不管余下的人；‘至少需要幾間’關注的是人，要做到‘每人都不落下’，所以余下的人要再加1 個房間。”有了這樣的適度提煉，“學”與“教”的匹配更緊密，更能促進學生認知水平的提升。

3.反思錯例的經驗。

兩個課例中，幾乎沒能看到“錯誤”的影子。而事實上，實際應用本身就是一件有難度的事兒，具有挑戰性，容易出現錯誤。且真正意義上的學習過程，是繞不開“錯誤”的。很多時候，“錯誤”是學生認知改造的重要起點。所以，教師要進一步樹立“錯誤是資源，錯例能育人”的意識，重視真實的錯誤，善用典型的錯例，引領學生解讀錯例、反思錯誤，進而改進理解、撥正思路。