無處安放的“蘋果” 各得其所的“思維”
——以特級教師潘小明執教《放蘋果》一課為例

文｜朱錦雯

《放蘋果》這一教學內容是滬教版三年級下冊最后一個單元中“數學廣場”的教學內容。滬教版教材中的“數學廣場”主要呈現一些重要且有趣的數學拓展內容，以此來激發學生學習數學的興趣，滲透數學思想方法，提高數學思維能力。

傳統的課堂中，教師以3 個蘋果放入2 個抽屜引導學生有序思考，再以有序地羅列4 個蘋果放入3 個抽屜中的情況作為課堂教學的重心，以此來概括歸納出“抽屜原理”，對于形象思維占主導的小學生而言，如此抽象的概念是難以理解的。那么究竟本課的教學目標是什么？教學重難點又該放在哪里呢？聽了特級教師潘小明的課，我認為，以核心問題“把4 個蘋果放入3 個盤子，無論怎么放，總存在一個盤子里至少放_____個蘋果”來引出學生不同的猜想，再用不同的方法驗證猜想是否正確，使學生能主動參與探究過程，在思辨的過程中發展其思維能力，可以真正體現學生在課堂中的主體性。

一、提出合理猜想，感受思維差異

教育家波利亞曾說：“讓我們教猜想吧！”猜想是數學發展的動力，猜想的誕生預示著數學的發現。合理猜想能幫助學生比較迅速地發現事物的規律，是培養學生思維能力的重要途徑。

教學片斷1：

板書呈現：把4 個蘋果放入3 個盤子，無論怎么放，總存在一個盤子里至少放_____個蘋果。

師：每位同學看著我的問題，思考答案是多少？

師：（停頓片刻）你覺得是幾個呢？

學生用手勢表示。

師：我看到了，有的同學出了1 個，有的同學出了2 個，也有同學出了3 個，還有一個同學出了4 個。

如果沒有調動學生的學習熱情就急于開展學習活動，那么這種學習是無效的。教學中潘老師利用在情境中提出合理猜想，使枯燥、抽象的數學課堂變得生動活潑，以此增添學生的學習興趣，活躍學生的思維。在反饋結果的過程中，潘老師并不是快速地直接將答案一一呈現在黑板上，而是把看到的結果一一陳述給學生聽，“有的同學出了1 個，有的同學出了2 個，也有同學出了3 個，還有一個同學出了4 個”，再進行板書?？此撇唤浺?、甚至有點浪費寶貴課堂時間的一個小細節，卻讓學生在經歷對核心問題的合理猜想之后，對自己和同伴之間不同的思維結果有了初步感受，極大地激活了學生自主學習的意識，充分調動了學生的探究熱情，拓展了學生的思維空間，讓學生充分感受到了與同伴之間思維的不同，也真正地讓學生的思維“飛”起來了。

二、構建知識網絡，發展思維能力

任何猜想都要經過驗證才能確定其價值，猜想驗證的過程就是學生主動參與并構建數學知識網絡的過程。只有猜想沒有驗證，那只能是空想，只有把猜想和驗證緊密結合，才可以形成猜想的良性循環、豐富學生的思維經驗、發展學生的思維能力。

教學片斷2：

師：“4”這個答案，你覺得怎么樣？

生1：我覺得是不可能的。

生2：我覺得是有可能的。（上臺擺放，甲盤4，乙盤0，丙盤0）

生3：我感覺是錯的，因為它說了“無論怎么放”。（上臺擺放，甲盤3，乙盤1，丙盤0）

追問生2：那么“4”這個結論是不是無論怎么放都存在？

生2：不是的。

師：真好！那么（指著黑板上的方法）我知道了“3”這個答案是對的。

生：錯的。（上臺擺放，甲盤2，乙盤1，丙盤1）

師：厲害！舉了一個反例就把這句話推翻了。所以2 個的答案是對的吧？

（學生舉手表決，部分學生認為對，部分學生認為錯）

師：認為2 個的答案是錯的話誰能舉個反例？

學生遲疑，舉不出反例。

生：（上臺拿起甲盤中的1 個蘋果演示）這個蘋果不論放在哪里，都有1 個盤子里有2個，我認為這個結論是對的。

師：無論怎么放，都對，那你有沒有找過這些方法？有幾種？

學生猜測，10 種、11 種、15 種以上……

教師引導學生在甲盤中依次放入4 個、3個、2 個、1 個、0 個，分為五類來考慮，有序地與學生一起板書羅列后驗證總存在1 個盤子里至少放2 個。

師：通過這樣的一番試驗，我們發現“2”這個結論對不對？

生：對。

師：那么“1”這個結論還要討論嗎？

生：不要。

師：對，否則蘋果總數1 個就可以滿足了，這件事情就沒有意義了。

枯燥單一的教師講解式教學往往容易使小學生產生厭學的情緒，在課堂中充分給予學生思考、表達、交流的機會，能促使其在說、聽、想的過程中主動參與課堂活動，清晰知識結構。但在數學活動中，光鼓勵學生大膽猜想還不夠，必須引導其進行細心驗證。通過潘老師循循善誘的引導，個別學生用舉反例的方法驗證4 個的結論不正確。一石激起千層浪，課堂瞬間被點燃，學生都用這種方法來推理3 個的結論不正確，“舉反例”的這一方法就此在學生心中埋下了種子。而當2 個的結論一出現時，學生卻發現舉反例的方法無法證明這句話是錯的，馬上有學生又發現了每個盤子如果都放1 個，那么還有1 個蘋果不管怎么放總有一個盤子里會有2 個蘋果，這個無處安放的“蘋果”是學生思維的展現，也使其他學生在傾聽的過程中有了思維能力的發展。學生在潘老師的不斷引導下有序地羅列出15 種方法，學生確實得到了驗證，結論2 個是正確的。在學生的觀察、操作、推理等活動中，潘老師并沒有淡化有序思考的重要性，但更想無聲地滲透“猜想—驗證”的數學思想方法。在驗證過程中，學生思維的出發點、方向和方法有了多種形式的呈現，有效地培養了思維的靈活性，在不斷完善知識結構的過程中使不同學生的思維都能在原有基礎上得到不同程度的發展。

三、立足數學思考，提升思維品質

在小學數學教學的課堂上，幾乎每一節課的知識學習對學生來說都是新鮮的，我們在保障數學基本教學目標達成的同時，還要對學生的邏輯分析能力進行培養，對教材中沒有涉及的知識點要進行適當的補充，這是檢驗學生是否理解數學知識的本質的途徑。

教學片斷3：

（板書呈現：把11 個蘋果放入10 個盤子，無論怎么放，總存在一個盤子里至少放_____個蘋果）

生：2 個。

師：你們是不是還要像剛才那樣去驗證？

生：不要。

師：那你有什么方法驗證2 個肯定是對的？

生1：每個盤子里先放1 個，10 個盤子放了10 個蘋果，那么還剩1 個蘋果，不管放在哪個盤子里，總有1 個盤子里放了2 個。

師：這種想法就是從最不利的情況考慮，以此來分析推理。繼續想。

（板書呈現：把12 個蘋果放入10 個盤子，無論怎么放，總存在一個盤子里至少放_____個蘋果）

學生的手勢有2 有3。

生2：先把每個盤子里放1 個，10 個盤子里一共放了10 個蘋果，還剩下2 個蘋果，放入任意一個盤子里，這個盤子里就肯定有3 個蘋果了。

生3：我覺得如果你把2 個蘋果分開放，那么每個盤子里最多還是2 個。

師：對啊，剛才你把10 個蘋果盡可能分開放，那么剩下的2 個蘋果還得怎么放??？

生：分開放。

師：那么每個盤子里最多還是幾個?。?/p>

生：2 個。

師：所以結論變不變？

生：不變。

愛因斯坦說過：“教育應當使所提供的東西讓學生作為一種寶貴的禮物來接受，而不是作為一種艱苦的任務要他去負擔。”一堂課，40 分鐘，在這樣一個有限的時間內，學生不僅能掌握教材中4 個蘋果放入3 個抽屜中的知識，還能了解更多與抽屜原理有關的知識，利用“最不利原則”分析解決11 個蘋果（甚至是12 個蘋果） 放在10 個盤子中的問題，學生不再通過有序羅列所有情況來驗證，而是通過數學邏輯分析來解決問題，這正是潘老師抓住的本課教材背后的知識暗線，不少學生還迫不及待地想繼續研究19 個蘋果放入10 個盤子、21 個蘋果放入10 個盤子的情況。新課改提倡的基于課程標準、基于教學基本要求究竟指什么，我想，理解為基于學生的學情和認知能力在這節課中更為合理。潘老師看似是把課本知識向課外延伸，實則是根據學生的能力靈活運用了數學教材這一載體來拓寬思維、開闊視野，提高課堂教學效率，擴大課堂教學容量，真正提升了數學思維品質。

總之，學生的數學思維能力發展是現代小學教學中的重要環節，數學思維能力的培養需要教師引導學生在問題情境中進行合理的猜想，運用不同的數學方法進行驗證，豐富知識結構，積累解決問題的方法與經驗，在不斷的質疑與釋疑中持續地獲得思維能力的發展，從而提高數學綜合素養。