代數思維在小學數學教學中的滲透與培養

文｜金群英

小學生在認識數量關系的過程中，從“算術思維”轉換到“代數思維”是一個質的飛躍。用代數方法解決數學問題，往往簡單便捷，不但能使復雜問題簡單化，還可使數學更貼近生活實際，體現其實用的特點，同時有利于加強中小學數學教學的銜接。在小學階段，教師應盡早有意識地根據教材內容讓學生接觸一些簡單的代數知識，逐步引導學生在解決問題時多運用代數的思維方式。這樣不但對算術方法能夠起到一定的鞏固和加深作用，提升學生解決實際問題的能力，而且還對發展學生的邏輯思維能力起到一定的促進作用。人教版五年級上冊的簡易方程單元，是學生在小學階段正式學習代數知識的單元，根據多年一線教學的經驗，筆者認為在實際教學中，可以從以下四個方面滲透代數知識，培養學生的代數思維能力。

一、領會數與式的相等關系，為代數思維做鋪墊

學生在還沒有形成代數思維時一直認為：算式就是算式，數字就是數字，凡是列出的算式就是要算出結果的，一定是有一個得數的。但實際上一個字母、一個式子或含有字母的式子都是可以用來表示一個數量的。

例如：有40 個餃子，如果每盤裝10 個，可以裝幾盤？

用40÷10=4（盤）來解答，結果是4 盤，這就是學生認為的正確答案。如果僅用式子“40÷10”來表示盤數，學生一定會認為是錯的，因為還沒有算出具體的得數。學生的潛意識中認為一個算式與一個數字是不一樣的，并沒有去思考算式和得數之間的關系。受思維定勢影響，學生在初步學習代數的知識時，對類似“有m 個餃子，如果每盤裝10 個，可以裝m÷10 盤”這樣的題中，用m÷10表示一個數量，覺得難以理解和接受。教學中經常碰到學生疑惑地問：m÷10 是表示幾呢？這說明學生一下子還不能接受用一個式子來表示一個數的思維方式。因此，在前期學生尚未學習用字母表示數的相關知識時，教師就需要根據教材內容逐步有意識地去建立“一個式子也能表示一個數”的意識，讓學生認識到式子和數之間的相等關系，一個算式經過計算后就能得到一個數，算式實際就是數的另一種形式，數和算式是相等的。

例如：簡便計算57×101。

在計算這道題目時，把101拆成了一個算式：100+1，這個算式其實就是數字101 的另一種形式。教學過程中有意識地去強調數和算式之間的相等關系，可以促進學生理解代數式。另外，在解決實際問題時，為了暴露學生的思維過程和方式，在開始時采用分步列式的書寫格式，也有利于學生建立“一個算式”就是“一個數”的認識，最后得到一個綜合算式。

例如：1 公頃松柏林每天分泌殺菌素30 千克，24.5 公頃松柏林31 天分泌殺菌素多少千克？

先讓學生分步列式24.5×30=735（千克），735×31=22 785（千克），然后指出這里的735 就是24.5×30 得到的，將735 改為24.5×30，得到一個綜合算式24.5×30×31=22 785（千克）。當學生真正意識到算式也能表示數量的時候，他們就可以直接用算式來代替數量，從而列出綜合算式解決問題了，同時也促進了學生抽象思維能力的發展。

二、滲透方程思維方式，為代數思維打基礎

算術思維方式和代數思維方式之間并不是互相割裂、獨立存在的，算術思維是代數思維的基礎，代數思維是算術思維的發展。這兩種思維方式是緊密聯系，互相依存的。但是在小學階段學生還沒有正式系統地學習方程知識之前，學生還只會用算術思維方式去解決數學問題，尚未真正接觸和理解代數思維方式。在前期的學習中學生已經接受并習慣了使用算術方法去思考、解決碰到的數學問題，形成了思維定勢。在這種情況下，要一下子讓學生采用代數的思維方式去思考數學問題，他們就會覺得既麻煩又不習慣，接受起來有一個過程。基于這種情況，在小學低段和中段的數學教學中，教師就應該有意識地滲透一些代數的思維方式，為高段方程的教學做鋪墊。比如，四則運算中的等號往往被小學生當作是計算的標志，在學生作業中會出現類似16÷4＝4×6＝24 的錯誤。筆者認為，遇到這種情況，教師要讓學生正確認識到等號實際上就是前后相等的標志，即：16÷4 和4之間是相等的關系，但16÷4 和4×6 之間卻是不相等的，正確書寫應該是：16÷4×6＝24。這樣就讓學生再次理解了等式的意義，也為后續學習方程做了鋪墊。當教材中出現例如（）+7=12、3×（）=24、（）-7=15 這樣的算式，可以有意識地滲透用字母表示數，也可以滲透一些方程的知識。教學中遇到這樣的題型，教師可以抓住機會提前對學生進行引導，讓學生意識到：未知的數也是可以和已知的數一起參加列式的。在這類問題的理解討論過程中，雖然沒有出現“等式”“方程”這樣的詞，但讓學生提前接觸、感受了代數的思維方式。

三、溝通算術與方程的聯系，為代數思維搭橋梁

《數學課程標準（2011年版）》頒布之前，在小學五年級解簡易方程的教學中，方程是根據四則運算中各部分間的關系變形的。實際上用這樣的思維方式來求未知數，還是借助了算術的思路，利用了學生已有的知識，學生容易理解接受，書寫過程也簡單，因而計算的正確率也高。筆者根據多年的小學數學教學經驗發現在每次測試中，計算題類型里正確率最高的就是解方程。大多數的期末測試該題型得分率是100%。但這樣的解題方式，與中學的代數教學并不能很好地銜接，到了七年級，學生還是要重新學習用等式的基本性質來理解方程和解方程。《數學課程標準（2011年版）》頒布后，在方程的教學中，教材就安排了直接認識等式的基本性質，并運用等式的基本性質來理解方程并解方程，從而規避了上述弊端。

筆者在實際教學中發現存在這樣的幾個問題：

1.天平平衡的原理學生是能理解的，但如果因此就認為學生已經深刻理解了等式的性質并能在一兩節課內就正確熟練運用等式的性質解各種類型的方程，那是高估了學生的認知水平了。

2.根據等式的性質來解方程，書寫格式復雜、等式忽長忽短、對齊困難，還出現了更多的抄寫、計算錯誤。根據教材要求熟練后可簡寫過程，又不利于暴露思考過程，正確率不高。

3.對于a-x=b 和a÷x=b 一類的方程，人教版在前一版本教材中刻意作了回避，但實際在用方程解決問題時，未知數不可避免地會出現在減數、除數的位置上。回避了a－x=b 或a÷x=b 類型的方程，會影響學生對方程解題優越性的認識，也會使學生運用性質的能力受挫。還會出現在用方程解決問題時，找到了等量關系，并據此列出了正確的方程，卻無法解此類方程，直接影響了學生運用方程解題的信心。2013 版人教版教材對這兩個類型的題目教學作出了調整，雖沒有回避，但例題呈現的用等式的性質來求解的解法繁雜、書寫步驟太多，相當一部分學生對解這類方程在需要方程左右兩邊同時去掉相同的未知數時經常判斷失誤，加之書本對該類型方程的練習量也安排不足，造成計算正確率低下，部分學生由此對解方程以及列方程解決問題產生畏難情緒。

4.等式基本性質中的相等關系的對稱性，即a=b 則b=a。關于這個知識點，教材中沒有安排內容進行鋪墊、滲透，當學生在列方程解決問題時，列出了等號右邊出現x 的方程時，無從下手，影響了學生解方程的技能。

筆者認為教學中出現的問題，并不是運用代數思路解方程造成的，運用等式的性質解方程的方向肯定是正確的。在小學階段接觸和學習一些代數知識，對學生的數學思維能力、解決實際問題的能力都有很大的幫助，也為學生初中階段的代數學習奠定了基礎。因此，在教學中可以根據學生的實際學情，靈活運用教材，畢竟對于用算術方法解方程，學生是有一定基礎的。比如低年級的學生就已經會算如15-（ ）=7和15÷（ ）=3 之類的題目了，到五年級學簡易方程就沒有必要刻意回避了，解答a－x=b 和a÷x=b類型的方程，用算術方法理解又何妨？而且對于這兩個類型的題目，用算術方法去解比用等式的性質去解更易于理解，書寫格式清楚，計算正確率更高。何況算術方法和代數方法本就是相通的，教學中只需溝通兩種思路，找到相同的地方即可。如解方程x－26＝15，學生自己做出了x＝15＋26，在學生理解了x－26＋26＝15＋26 之后，教師再引導學生去尋找兩種方法的相同點，學生會發現實際上方程左邊的－26＋26 抵消了，就剩下x＝15+26，這兩種方法確實是相通的。同理，對于其他幾種類型方程的求解過程，也可以進行解法上的溝通。（這樣，借助等式的性質，使學生對用各部分關系解方程有更深入的理解，不需要背關系式來解方程。還能讓學生體會到算術方法和代數之間的聯系）這樣處理后，不僅能把等式的基本性質及運用等式的基本性質解方程的代數思想潛移默化地滲透給學生，還強化了學生對用算術方法解方程的認知。

四、體驗順向思維方式，為代數思維導方向

筆者在學生時代學習數學時深有體會的是：學了代數，就覺得數學其實很簡單有趣，其中的奧妙就在于思維方式的變化。小學一直比較強調突出的是用算術方法解題，而到了中學則側重用代數方法思考問題。

小學階段的數學題，有時確實可以考倒大學生，主要倒不是題目難度高，而是要求用算術方法去解較復雜的逆向問題，推理列式是比較困難的。可見這些復雜的逆向思維題目對小學生來說要求是高了些，所以有一部分學生在小學階段對數學產生了畏難情緒。但是很多逆向思考的題目，一旦采用了方程的方法來解答，數量關系就清晰明了了，理解也就不困難了。

例如：雞和兔的數量相同，兩種動物的腿加起來共有48 條。雞和兔各有多少只？

如果不用代數的思想去思考，也不用方程的方式去解答，那推理起來就復雜困難多了，可是用方程的方法來解就簡單了。我國著名數學家吳文俊教授說：“四則難題用代數取而代之，這是完全正確的，對于數學教育是非常重要的。”因此，在小學數學教學中，一定要突出列方程解決問題的優越性，強化代數思維方式的訓練。

根據小學數學教學大綱，在小學階段對于代數思維方式的教學要求并不高，但這種思維方式是學生數學思維中不可或缺的，到中學階段它還將成為主要的思維方式。代數思維不僅為學生解決實際問題提供了不同的解題策略，還有利于學生抽象思維的發展，更能幫助學生解決用算術方法難以解決的問題。作為教師，要從低年級就開始根據教材內容和學生的接受能力，逐步有意識地去滲透代數思維方式，使學生能提前接觸這種思維方式直至真正接受并最終在解決實際問題時靈活應用。