多油箱飛行器飛行過(guò)程質(zhì)心變化機(jī)理研究

張斌，甘屹，李炳初，楊磊，姚正宇

（200093 上海市 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

飛行器在飛行過(guò)程中通過(guò)若干個(gè)油箱聯(lián)合供油以滿足飛行時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)的工作需求。在飛行過(guò)程中，隨著各個(gè)油箱由于供油而出現(xiàn)的油量變化及飛行器在執(zhí)行飛行任務(wù)時(shí)可能發(fā)生的姿態(tài)的變化，將使得飛行器的質(zhì)心位置發(fā)生變化，進(jìn)而影響到飛行器的控制。飛行器質(zhì)心的變化規(guī)律對(duì)制定飛行器供油策略和控制策略尤為重要，文獻(xiàn)[1-3]中雖然提出了針對(duì)運(yùn)動(dòng)容器中液體質(zhì)心變化的計(jì)算方法，但對(duì)于飛行器而言，其擁有多個(gè)油箱，各個(gè)姿態(tài)下油液與油箱所形成截面形狀并不一樣，而且在飛行過(guò)程中，油箱的油液的量會(huì)因供油而減少，所以上述方法對(duì)飛行器質(zhì)心在飛行過(guò)程的質(zhì)心計(jì)算并不完全適用。本文綜合現(xiàn)有的方法，對(duì)多油箱飛行器運(yùn)行過(guò)程中的質(zhì)心位置變化建立了數(shù)學(xué)模型。

1 問(wèn)題背景

假設(shè)所研究飛行器共n 個(gè)油箱，飛行器的結(jié)構(gòu)如油箱的位置、形狀、尺寸、供油關(guān)系和供油速度等因素將影響質(zhì)心變化，根據(jù)實(shí)際情況對(duì)飛行器的結(jié)構(gòu)和供油限制作以下假設(shè)：

（1）油箱為長(zhǎng)方體，固定于飛行器內(nèi)部，設(shè)第i 個(gè)油箱內(nèi)部長(zhǎng)、寬、高分別為ai，bi，ci，i=1，2，…，n；油箱長(zhǎng)、寬、高的3 個(gè)方向與飛行器坐標(biāo)系的x，y，z 軸3 個(gè)方向平行；

（3）本研究只討論飛行器俯仰時(shí)在重力作用下油箱姿態(tài)變化和油箱油量的變化引起飛行器質(zhì)心的變化。

2 建模

2.1 模型假設(shè)

約定兩個(gè)坐標(biāo)系如下：

（1）慣性坐標(biāo)系O-XYZ：飛行器不工作時(shí)，不載油飛行器質(zhì)心為原點(diǎn)O，飛行器在地面上水平方向?yàn)榭v向中心軸X 軸，以飛行器前方為正向，重力反向?yàn)閆 軸正向，以右手法則確定Y 軸。

（2）飛行器坐標(biāo)系O（t）-X（t）Y（t）Z（t）：t 時(shí)刻，不載油飛行器質(zhì)心位置為原點(diǎn)O（t），飛行器縱向中心軸為X（t）軸，以飛行器前方為正向，Y（t）軸垂直于X（t）軸所在的飛行器縱剖面，且O（t）-X（t）Y（t）組成右手坐標(biāo)系，通過(guò)右手法則確定Z（t）軸。

（3）飛行器t 時(shí)刻俯仰角θ（t）：飛行器坐標(biāo)系O（t）-X（t）Y（t）Z（t）中X（t）軸與慣性坐標(biāo)系O-XYZ 中O-XY 水平面的夾角，X（t）軸正方向在重力方向分量與重力方向相反時(shí)θ（t）為正。

（4）t=0 時(shí)（地面上）飛行器坐標(biāo)系O（t）-X（t）Y（t）Z（t）與慣性坐標(biāo)系O-XYZ 重合，不考慮滾轉(zhuǎn)飛行，則O（t）-X（t）Y（t）Z（t）中Y（t）正向與O-XYZ 中Y 軸正向始終保持一致。

（5）所求質(zhì)心變化的坐標(biāo)是相對(duì)于不載油飛行器質(zhì)心O（t）的坐標(biāo)。

2.2 建立模型

2.2.1 建模目標(biāo)及約束條件

根據(jù)飛行器在飛行過(guò)程中n 個(gè)油箱的供油速度及飛行過(guò)程中的變化數(shù)據(jù)，計(jì)算該過(guò)程中飛行器質(zhì)心坐標(biāo)的變化曲線，約束條件為飛行器在執(zhí)行任務(wù)中軌跡坐標(biāo)及問(wèn)題背景中的所有約束項(xiàng)。

2.2.2 油液狀態(tài)分析

飛行器飛行過(guò)程中質(zhì)心約束于t 時(shí)刻的θ（t）與各油箱油液體積Vi（t）。圖1 是油箱ZOX 截面。ZOX 截面坐標(biāo)原點(diǎn)相對(duì)于油箱中心的坐標(biāo)為，OO1X 是飛行器飛行時(shí)與地面平行的面，∠YOO1，∠ZOO1分別表示飛行器在俯沖、仰沖時(shí)油箱YOX 面與水平面的夾角θ（t）。

圖1 油箱ZOX 截面Fig.1 ZOX cross section of fuel tank

圖2 為飛行過(guò)程中油箱ZOX 截面上油液在俯、仰角兩種情況下的各個(gè)狀態(tài)，飛行器質(zhì)心隨油液ZOX 面的形狀而變化。

圖2 t 時(shí)刻θ（t）與油箱Vi共同影響下的油箱內(nèi)油液狀態(tài)Fig.2 Fuel state in the tank under the joint influence ofθ（t）and Vi at time t

2.2.3 臨界條件

從圖2 可知，ZOX 截面的主要狀態(tài)有直角三角形、梯形及五邊形。飛行器飛行過(guò)程中，在t時(shí)刻油量Vi（t）與θ（t）是確定值，此刻油液的狀態(tài)是圖2（a）中的某一個(gè)狀態(tài)（ZOY 截面）。此處引入2 個(gè)極限量Vi1與Vi2。其中，在θ（t）的情況下，若油液恰好在OO1X 面上，此時(shí)的油液體積為Vi0；若油液恰好在BO1X 面上，則油液體積為Vi1。如圖3 所示，OO1X 與BO1X 均與地面平行。

圖3 油液狀態(tài)Fig.3 State of fuel in tank

對(duì)于Vi1與Vi2，有以下幾個(gè)說(shuō)明：

（1）Vi1與Vi2的大小與油箱本身的長(zhǎng)寬高和飛行時(shí)θ（t）有關(guān)，在θ（t）角確定的情況下，2 個(gè)極限值則固定不變；

（2）根據(jù)t 時(shí)刻油箱內(nèi)剩余油量（或液面高度）與Vi1，Vi2做對(duì)比，即可得到Y(jié)OZ 截面的形狀，進(jìn)而可求得質(zhì)心坐標(biāo)。

（3）圖4 為各油液狀態(tài)下的Vi1，Vi2，θi0表示第i 個(gè)油箱在ZOX 截面的面對(duì)角線.

圖4 油箱油液狀態(tài)臨界條件Fig.4 Critical condition of fuel

2.3 質(zhì)心求解

2.3.1 質(zhì)心

質(zhì)心指物質(zhì)系統(tǒng)上被認(rèn)為質(zhì)量集中于此的一個(gè)假想點(diǎn)。t 時(shí)刻第i 油液質(zhì)心與油箱中油液的狀態(tài)有關(guān)，由于各油箱均為長(zhǎng)方體，則油液在油箱中的狀態(tài)為三棱柱、四棱柱或者五棱柱，油液的密度均勻。由質(zhì)心的定義可知，油液在俯仰的各個(gè)狀態(tài)下的質(zhì)心均在ZOX 截面上，油液在ZOX 截面的形心即為質(zhì)心。由此可得，t 時(shí)刻第i 個(gè)油箱中油液的質(zhì)點(diǎn)σi，與飛行器空載時(shí)質(zhì)心0聯(lián)合，即求得t 時(shí)刻飛行器的質(zhì)心。

2.3.2 油液狀態(tài)分類(lèi)及其質(zhì)心計(jì)算

根據(jù)油液在ZOX 截面的狀態(tài)，可以將其劃分為如圖5 所示的8 種情況。其中，狀態(tài)a，e，g 截面均為三角形；狀態(tài)e，d，h 截面均為四邊形；其余2 種情況則為五邊形.

圖5 臨界條件下油液在ZOX 截面的多種狀態(tài)Fig.5 Multiple states of fuel in ZOX section under critical conditions

不同截面的形心可通過(guò)下列方法得出，ZOX截面形心確定后，即可解得各油箱的質(zhì)心[5]，質(zhì)心關(guān)于油箱中心的Y 軸坐標(biāo)為0。

截面為三角形的情況，若其三點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，z1），（x2，z2），（x3，z3），則其形心（xs，ys）計(jì)算公式為

平面多邊形可被剖分為有限個(gè)簡(jiǎn)單圖形X，X2，…，Xn，這些簡(jiǎn)單圖形的質(zhì)心為C1，C2，…，Cn，面積為A1，A2，…，An，則此多邊形形心坐標(biāo)為（x，y）

此模型為四邊形時(shí)劃分為一個(gè)矩形和一個(gè)三角形，求出各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，得到兩個(gè)簡(jiǎn)單圖形的重心坐標(biāo)（x1，y1）和（x2，y2），面積為S1，S2，則此四邊形的形心坐標(biāo)為

同理，五邊形的形心為

則解得n 個(gè)油箱各自相對(duì)于油箱中心的質(zhì)心坐標(biāo)為（xi，0，zi）abc，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可得各油箱相對(duì)于飛行器原點(diǎn)的質(zhì)心坐標(biāo)為（xi，yi，zi），則油箱構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)為

然后計(jì)算飛行器整體與油箱構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)即為最終的質(zhì)心坐標(biāo)。M 為飛行器質(zhì)量，Mt為油箱質(zhì)點(diǎn)系坐標(biāo)：

2.4 算法設(shè)計(jì)

2.4.1 算法流程

Step1：初始化，油箱號(hào)i=0，時(shí)間t=0，循環(huán)次數(shù)N=0，最大循環(huán)次數(shù)Nmax.各飛行器初始油量Vi（0）。

Step2：準(zhǔn)備階段，i=i+1，求得第i 個(gè)油箱在ZOX 截面的面對(duì)角線關(guān)于X 軸傾角。

轉(zhuǎn)至step3。

Step3：根據(jù)油耗計(jì)算出t 時(shí)刻油液體積Vi（t）=Vi（t-1）-?V，轉(zhuǎn)至step4。

Step4：獲取t 時(shí)刻θ（t），若θ（t）<0，則轉(zhuǎn)至step5；否則轉(zhuǎn)至step8。

Step5：若|θ（t）|≤θio，則轉(zhuǎn)至step6，否則轉(zhuǎn)至step7。

Step6：計(jì)算此狀態(tài)的Vi1與Vi2，計(jì)算式分別為

比較Vi（t），Vi1與Vi2：

若Vi2≤Vi（t）≤Vim，則為狀態(tài)b，轉(zhuǎn)至step12；

若Vi1≤Vi（t）

若0≤Vi（t）

否則終止。

Step7：計(jì)算此狀態(tài)的Vi1與Vi2，計(jì)算式分別為

比較Vi（t），Vi1與Vi2：

若Vi2≤Vi（t）≤Vim，則為狀態(tài)b，轉(zhuǎn)至step12；

若Vi1≤Vi（t）

若0≤Vi（t）

否則終止。

Step8：若|θ（t）|≤θio，則轉(zhuǎn)至step9；否則轉(zhuǎn)至step10；

Step9：根據(jù)式（8）與式（9）計(jì)算此狀態(tài)的Vi1與Vi2，比較Vi（t）、Vi1與Vi2：

若Vi2≤Vi（t）≤Vim，則為狀態(tài)f，轉(zhuǎn)至step12；

若Vi1≤Vi（t）

若0≤Vi（t）

否則終止。

Step10：根據(jù)式（10）與式（11）計(jì)算此狀態(tài)的Vi1與Vi2，比較Vi（t），Vi1與Vi2：

若Vi2≤Vi（t）≤Vim，則為狀態(tài)f，轉(zhuǎn)至step12；

若Vi1≤Vi（t）

若0≤Vi（t）

否則終止。

Step11：油液在ZOX 截面為三角形，根據(jù)式（1）計(jì)算形心后轉(zhuǎn)換為油液截面質(zhì)心，轉(zhuǎn)至step13。

Step12：油液在ZOX 截面為多邊形，根據(jù)式式（3）、式（4）計(jì)算形心后轉(zhuǎn)換為油液質(zhì)心，轉(zhuǎn)至step13。

Step13：將i 油箱油液質(zhì)心坐標(biāo)保存，若i

Step14：根據(jù)式（5）、式（6）計(jì)算飛行器空載油的質(zhì)心與式n 個(gè)油箱質(zhì)點(diǎn)系在t 時(shí)刻質(zhì)心，并保存，轉(zhuǎn)至step15。

Step15：t=t+1，N=N+1,若N ≤Nmax，轉(zhuǎn) 至step1；否則轉(zhuǎn)至step16。

Step16：算法終止。

上述算法的流程如圖6 所示。

圖6 算法流程圖Fig.6 Algorithm flow chart

3 實(shí)例分析

3.1 實(shí)例數(shù)據(jù)

表1 為某飛行器6 個(gè)油箱的形狀及相對(duì)于飛行器坐標(biāo)的位置信息及初始油量。

表1 飛行器油箱形位尺寸及其他數(shù)據(jù)Tab.1 Aircraft tank shape and size and other data

飛行器俯仰角變化及各油箱供油速度數(shù)據(jù)選用2020 年“華為杯”第17 屆研究生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽F 題附件2 中數(shù)據(jù)，飛行器各時(shí)間俯仰角變化如圖7 所示，各油箱供油時(shí)間段及供油速度如圖8 所示。

圖7 飛行器俯仰角度Fig.7 Pitch angle of aircraft

圖8 各油箱供油速度Fig.8 Delivery rate of each fuel tank

3.2 計(jì)算結(jié)果

根據(jù)算法流程編輯程序,執(zhí)行源代碼后所得質(zhì)心變化曲線如圖9 所示。

圖9 質(zhì)心變化曲線Fig.9 Curve of centroid change

由計(jì)算結(jié)果可知，質(zhì)心在各個(gè)坐標(biāo)軸上均發(fā)生了連續(xù)的變化，以質(zhì)心X(t)軸方向的坐標(biāo)變化較大，其主要原因是相對(duì)于油量的變化，俯仰角對(duì)質(zhì)心的影響最大。結(jié)合圖7 所示，在5 000 s 附近，俯仰角逐漸趨于零，而質(zhì)心的X(t)坐標(biāo)也亦在此時(shí)間段快速趨于零。Y(t)坐標(biāo)的變動(dòng)較為平緩，主要原因是：當(dāng)飛行器俯仰飛行時(shí)，各油箱的質(zhì)心坐標(biāo)變化主要在ZOX 截面上，其在Y軸方向并未有變化，引起此刻飛行器Y(t)坐標(biāo)變化的原因主要是各油箱油量的變化。相對(duì)于飛行器俯仰飛行而言，各油箱油量變化帶來(lái)的質(zhì)心較小。質(zhì)心Z(t)軸方向的坐標(biāo)亦受俯仰角與油量的影響。在此實(shí)例中，其變化亦平緩，而其變化的趨勢(shì)與俯仰角變化的趨勢(shì)相似，先上升后下降，但變化的幅度小于X(t)軸方向坐標(biāo)的變化幅度，其原因是其受油量變化的影響.

以上實(shí)例可知，計(jì)算模型可有效地計(jì)算多油箱飛行器在飛行過(guò)程中的質(zhì)心變化曲線。

4 結(jié)論

本文綜合現(xiàn)有方法解決了多油箱飛行器在俯沖或仰沖時(shí)質(zhì)心變化的問(wèn)題，經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證，數(shù)學(xué)模型可有效得出飛行器飛行過(guò)程中質(zhì)心的變化曲線，且符合定性分析的趨勢(shì)，在獲知各油箱供油速度、油箱形狀尺寸及俯仰角的情況下應(yīng)用算法模型可有效地解決此類(lèi)問(wèn)題，且具備相應(yīng)的實(shí)用性。

研究中對(duì)油箱形狀、坐標(biāo)、運(yùn)行軌跡等方面進(jìn)行了簡(jiǎn)化，大大減小了運(yùn)算難度，在實(shí)際情況下，飛行器的飛行及油箱供油的過(guò)程則比較復(fù)雜；再者，計(jì)算模型只考慮了飛行器在俯仰狀態(tài)下的質(zhì)心變化，對(duì)更復(fù)雜的狀態(tài)如偏航和滾轉(zhuǎn)并未考慮，有待進(jìn)一步探索。