一種含n 層X 形結構隔振器動力學特性研究

朱冬梅，劉偉，劉海平?，史志遠，賀凱

（1.北京科技大學 機械工程學院，北京 100083；2.安標國家礦用產品安全標志中心有限公司，北京 100013）

為了解決傳統兩參數隔振器高頻隔振性能較差的問題，三參數隔振器（Zener 或Ruzicka 表征模型）應運而生.三參數隔振器系統可調性強，在高頻區域傳遞衰減率為－40 dB/dec，振動抑制效果更明顯[1-2].因此，具備良好隔振性能的三參數隔振器廣泛應用于振動工程隔振系統中[3-7].早期，Ruzicka[8]分別建立了包含黏性阻尼以及庫倫阻尼的三參數隔振器模型，研究了該隔振器模型在受迫振動下的動態響應；Jerome[9]給出三參數隔振器的傳遞率并討論了部分參數的相關性；Davis 等[10]將三參數阻尼器應用到衛星隔振平臺并介紹了其工作原理；樓京俊等[11]利用能量守恒定律建立了Ruzicka 抗沖系統模型并在某些參數域具備更加優良的抗沖擊性能；王超新等[12]設計了一種基于最優參數的三參數隔振器.

近年，國內外學者致力于探索可以改善三參數隔振器減隔振性能的方法，并提出許多新型的改進三參數隔振器模型.Shi 等[13]提出一種四參數Zener模型，極大地改善了高頻段的減隔振性能；Deharo silva 等[14]利用非線性立方剛度彈簧替換主彈簧，其傳遞率在諧振頻率以及高頻處得到了顯著改善；Wang 等[15]利用非線性立方剛度彈簧替換與阻尼元件串聯的輔助彈簧，其傳遞率在諧振頻率以及高頻處同樣得到了改善；從這兩種模型的分析結果可知，在三參數隔振器中引入非線性立方剛度可以改善該隔振器在諧振頻率以及高頻處的減隔振性能.

為了改善非線性隔振器的剛度與阻尼特性，越來越多的含X 形結構的隔振器相繼出現.Liu 等[16-17]提出一種混合型杠桿式隔離系統，可實現超低頻隔振，并具有可調反共振頻率和低頻傳遞率；Bian 等[18]提出一種含被動水平阻尼的X 形隔振系統模型，該系統可實現諧振頻率阻尼被放大，其他頻段阻尼未發生變化的效果；Jing 等[19]采用多層X 形結構提出一種新型隔振裝置，可以顯著減緩工程機械對操作人員的振動損傷.劉國勇等[20]首次提出一種基于嵌套式X 形結構的高阻尼隔振器，可大幅度提高系統輸出阻尼.Liu 等[21]基于傳統的三參數隔振器模型，建立了含1 層X 形結構隔振器模型，該隔振器有效抑制隔振系統諧振頻段的動態響應，且保證在高頻區域的隔振性能不變.

X 形結構可以進一步改善隔振系統的動態特性，但其諧振頻率會向高頻移動，由此，本文將多層X 形結構加入傳統三參數隔振器，提出一種含n 層X 形結構的隔振器模型.采用諧波平衡法獲得隔振系統穩態解的解析表達式，利用四階龍格-庫塔法對其進行數值驗證；隨后利用多體動力學軟件Adams建立該隔振系統仿真模型，進一步驗證所建理論模型的正確性.將含n 層X 形結構的隔振器與傳統兩參數隔振器、傳統三參數隔振器以及含1 層X 形結構隔振器進行分析對比.研究表明，含n 層X 形結構隔振器不僅可以降低諧振幅值，并且諧振頻率比向低頻發生移動，同時，保持高頻減隔振性能不變.本文研究為今后開展新型隔振器設計提供了參考.

1 含n 層X 形結構隔振器理論模型

圖1 給出含n 層X 形結構的隔振器模型.與傳統三參數隔振器模型相比，在輔助彈簧Kb與基礎之間安裝了n 層X 形結構，將輔助彈簧Kc并聯阻尼元件Ca沿水平軸y 方向安裝到最底層的X 形結構中.

圖1 含n 層X 形結構的隔振器模型Fig.1 Isolator model with n-layer X-shaped structure

模型中，分別給出隔振器受負載作用前后的狀態示意圖.其中，在負載重力作用下，隔振器處于靜平衡狀態用實線表示.n 層X 形結構由多根剛性桿鉸接而成；與輔助彈簧Kb下端以及基礎鉸接的是長度為l 的剛性桿，其余是長度為2l 的剛性桿；θi為剛性桿與水平軸y 的初始夾角；當隔振器受到外部激勵力Fe的作用時，將φ 定義為剛性桿與水平軸y 的夾角變化量；定義x 軸正方向為垂直向上，y 軸正方向為水平向右.由于本文的重點為運動機理研究，即考慮X 形結構、層數變化對隔振器動態特性的影響，故暫未考慮桿的質量、慣性和鉸接處的摩擦作用.

在圖1 所示力學模型中，受到外部激勵力時，得到系統沿x 軸方向的振動微分方程：

式中：m 為慣性質量；x1、x2分別為慣性質量和剛性桿活動鉸接點的縱向位移；y1和y2分別為剛性桿活動鉸接點的水平位移和則為相應的水平速度.

由X 形結構的幾何關系可得：

聯列式（1）和式（2），得到：

1.1 解析計算

對式（3）進行化簡：

通過定義函數f1（x）和f2（x）來簡化計算：

這里將函數f1（x2）和f2（x2）考慮為在x2=0 處連續，且在x2=0 處對式（5）進行二階泰勒級數展開，可得：

式中的系數可表示為：

將式（6）代入式（4），得到：

式中：f0為無量綱激勵力；ωn為隔振器固有頻率；τ 為無量綱時間；γ1和γ2分別為隔振器的水平、豎直剛度比；ζ 為水平阻尼比；Ω 為頻率比；u1和u2為無量綱長度.

將無量綱化處理的參數代入式（8）得：

式（9）的穩態響應近似解可通過諧波平衡法求解得出，并假設其穩態解為：

式中：u10、u20分別為慣性質量塊與剛性桿活動鉸接點的位移幅值.在這里，將系統的穩態響應頻率考慮為和外部激勵力頻率相同.在實際中，受外部激勵作用振動系統的響應中，除了基頻還存在其他頻率的諧波，但是，與外部激勵頻率相同的基頻為主要部分，故式（10）滿足系統的非線性特性.

將式（10）代入式（9），為了便于計算，將高次項略掉可得：

假設式（11）的展開式兩側一次諧波項系數相等，可得：

分離式（12a）中的cos ψ 和cos β，可得：

分離式（12b）中的sin ψ 和sin β，可得：

引入a、b、c 對公式進行簡化.

將式（13b）代入式（12c），得到：

將式（14b）代入式（12d）中，得到：

將式（13a）和式（14a）代入式（15），得到：

將式（13a）和式（14a）代入式（16），得到：

聯列式（15）和式（16），得到：

聯列式（17）和式（18），得到：

由式（19）和式（20），得到位移幅頻響應：

由式（15）和式（16），得到位移相頻響應：

將式（23）代入式（13b），得到：

1.2 隔振性能

為了評估含n 層X 形結構隔振器的隔振性能，并與傳統兩參數隔振器、傳統三參數隔振器、含1 層X 形結構隔振器進行對比研究，采用力傳遞率作為隔振器隔振性能的評價指標.力傳遞率定義為傳遞到基礎上的力幅值和外部激勵力幅值之比，即

式中：f0為外部激勵力；T 為含n 層X 形結構隔振器的力傳遞率；ftr為通過含n 層X 形結構隔振器傳遞到基礎上的力.

其中，通過含n 層X 形結構隔振器傳遞到基礎的力為：

2 驗證與對比分析

2.1 數值驗證

為了便于對比分析，選取水平、豎直剛度比分別為γ1=0.05，γ2=3，主彈簧剛度Ka=2 000 N/m，水平軸y 與剛性桿的初始夾角θi=60°，剛性桿長度l=0.1 m，負載質量m=1 kg，阻尼系數ζ=0.01，外部激勵力幅值F0=1 N，X 形結構層數n=3.

本文選取20 s 的計算時間，在定頻激勵下，利用四階龍格-庫塔法得到含n 層X 形結構隔振器的數值解，并選取穩態解的最大值為響應幅值并歸一化處理，得到位移響應幅頻曲線如圖2 所示.其中，“NS”表示數值解，“AS”表示解析解.可以看出，解析解與數值解結果曲線吻合良好，從而驗證了本文求解過程及穩態解的正確性.

圖2 數值解與解析解對比Fig.2 Comparison between numerical solution and analytical solution

2.2 Adams 仿真驗證

為了進一步驗證所建模型及解析解的正確性，在多體動力學軟件Adams 中建立含n 層X 形結構隔振器模型.計算結果如圖3 所示，可見，兩種方法所得計算結果曲線吻合良好.

圖3 Adams 仿真解與解析解對比Fig.3 Comparison between simulation solution by using Adams and analytical solution

由多體動力學軟件Adams 計算得到力傳遞率如圖4 所示，可以看出，由這兩種方法得到的結果曲線吻合非常好.

圖4 Adams 和解析模型對應力傳遞率曲線Fig.4 Force transmissibility curves corresponding to Adams and analytical model

2.3 等效阻尼系數分析

相比于線性隔振器，含n 層X 形結構隔振器的等效阻尼恢復力為：

式（27）對u20進行求導可得該隔振器的等效阻尼系數：

式中：C 為含n 層X 形結構隔振器的等效阻尼系數.由式（28）可知，等效阻尼系數是關于u20的二次函數，因此不再分析u20對等效阻尼系數的影響.僅對設計參數Ca和θi進行分析.暫定，阻尼系數Ca的取值為0～5 N·s/m，初始傾角的取值為45°～85°，由式（28）可得出這兩個參數對等效阻尼系數的影響規律.

由圖5 可知，含n 層X 形結構隔振器的等效阻尼系數隨著設計參數Ca和θi的增大呈非線性增大的規律，且當Ca和θi達到最大值時，等效阻尼系數也達到最大.

圖5 不同阻尼系數和初始傾角對應的等效阻尼系數Fig.5 Equivalent damping coefficient corresponding to different damping coefficients and initial inclination angles

2.4 與其他隔振器模型對比分析

在選用相同設計參數的條件下，將含n（n=3、5）層X 形結構隔振器與傳統兩參數隔振器、傳統三參數隔振器以及含1 層X 形結構隔振器的力傳遞率曲線進行對比.在這里，設計參數取Ka=2 000 N/m，γ1=0.05，γ2=3，θi=60°，l=0.1 m，m=1 kg，ζ=0.01，F0=1 N.

從圖6 中可以看出，傳統三參數隔振器和含X形結構隔振器在高頻區域的減隔振性能都比傳統兩參數隔振器好.三參數隔振器中引入具有幾何非線性的1 層X 形結構會增大諧振頻率處的阻尼且諧振幅值得到顯著降低，并且在高頻處其力傳遞率曲線不受影響.但是，受到X 形結構中水平輔助彈簧的影響，其諧振頻率比向高頻移動，表明系統剛度有所損失.考慮在三參數隔振器中添加n（n=3，5）層X 形結構，可以發現其諧振峰值會隨著層數的增加而減小，且諧振頻率比向低頻發生移動.這表明，含n 層X 形結構的隔振器具備更加優良的減隔振性能.其中，考慮到節約經濟成本且能滿足良好的減隔振性能原則，需要盡可能減少桿件的使用，由于含5 層X形結構隔振器與含3 層X 形結構隔振器的力傳遞率曲線相近，故X 形結構的層數為3 時存在最優值.

為了證明由圖6 所得結論的可靠性與穩定性，另外隨機取兩組設計參數比較這些隔振器的減隔振性能.

圖6 與其他隔振器模型對比Fig.6 Comparison with other isolator models

第1 組設計參數為Ka=1 500 N/m，γ1=0.01，γ2=0.5，θi=50°，l=0.2 m，m=1.5 kg，ζ=0.03，F0=1.5 N.含n（n=3、5）層X 形結構隔振器與傳統兩參數隔振器、傳統三參數隔振器以及含1 層X 形結構隔振器的力傳遞率曲線如圖7 所示.

圖7 與其他隔振器模型對比（第1 組）Fig.7 Comparison with other isolator models（first group）

第2 組設計參數為Ka=7 500 N/m，γ1=0.05，γ2=5，θi=70°，l=0.3 m，m=2 kg，ζ=0.02，F0=2 N.含n（n=3、5）層X 形結構隔振器與傳統兩參數隔振器、傳統三參數隔振器以及含1 層X 形結構隔振器的力傳遞率曲線如圖8 所示.

由圖7 和圖8 可知，通過隨機選取兩組設計參數，5 個隔振器的減隔振性能與圖6 得出的結果大致相同.由此可知，由圖6 得出的結論是可靠的.

圖8 與其他隔振器模型對比（第2組）Fig.8 Comparison with other isolator models（second group）

2.5 設計參數對新型隔振器性能影響

根據力傳遞率公式可知，影響含n 層X 形結構隔振器性能的主要設計參數為ζ、θi、γ1和γ2，而與激勵力幅值F0以及桿長l 無關.需要注意，輸入力激勵幅值f0和桿長l 對于隔振系統力傳遞率的影響較小，可忽略，所以并未討論.由于含3 層以上的X 形結構隔振器的力傳遞率曲線受層數影響較小，所以本節重點討論含3 層X 形結構隔振器動態特性受其他設計參數的影響.

2.5.1 阻尼比ζ 對隔振性能的影響

含3 層X 形結構隔振器在保持其他設計參數不變的條件下，對應不同阻尼比ζ（分別取值0.001、0.005、0.010、0.050）的力傳遞率曲線如圖9 所示.由圖9 可知，隨著阻尼比ζ 增加，諧振頻率處的力傳遞率峰值得到顯著降低；中頻段的傳遞率峰值略有變化；但是，諧振頻率基本沒有變化，這表明隔振系統剛度沒有損失.

圖9 不同阻尼比ζ 對應力傳遞率曲線（n=3）Fig.9 Force transmissibility with different damping ratios ζ（n=3）

2.5.2 初始夾角θi對隔振性能的影響

含3 層X 形結構的隔振器在保持其他設計參數不變的條件下，對應不同初始夾角θi（分別取值30°、45°、60°、70°）的力傳遞率曲線如圖10 所示.由圖可知，當初始夾角為30°時，隔振器在諧振頻率處的傳遞率幅值最大，顯然這不利于隔振器的減隔振性能.隨著初始夾角θi增大，隔振器在諧振頻率處的傳遞率幅值逐漸降低，當初始夾角為70°時，可以實現無諧振峰.但是，初始夾角的增大不利于中頻段的減隔振性能，而對于高頻段的減隔振性能則基本沒有影響.

圖10 不同初始夾角θi 對應力傳遞率曲線（n=3）Fig.10 Force transmissibility with different initial angle θi（n=3）

2.5.3 水平剛度比γ1對隔振性能的影響

在保持其他設計參數不變的條件下，對應不同水平剛度比γ1（分別取值-0.8、0、0.8、2.0）的含3 層X形結構隔振器力傳遞率曲線如圖11 所示.可見，γ1會顯著影響隔振器的諧振頻率及其對應傳遞率峰值.隨著γ1減小，隔振器的隔振性能得到明顯改善.當水平剛度比γ1大于0 且逐漸增大時，隔振器的諧振頻率和諧振峰值逐漸增大，但是對于高頻處的隔振性能沒有影響.當水平剛度比γ1小于0 時，隔振器力傳遞率曲線呈現無諧振峰特征且高頻處的隔振性能不受影響.因此，隔振器會隨著水平剛度比γ1的減小而呈現出良好的減隔振性能，并且選擇合適的水平剛度比γ1可實現“高阻尼、低剛度”的振動控制效果.

圖11 不同剛度比γ1 對應力傳遞率曲線（n=3）Fig.11 Force transmissibility with different stiffness ratio γ1（n=3）

2.5.4 豎直剛度比γ2對隔振性能的影響

含3 層X 形結構的隔振器在保持其他設計參數不變的條件下，對應不同豎直剛度比γ2（分別取-0.05、0.05、1.00、5.00）的力傳遞率曲線如圖12 所示.可見，當豎直剛度比γ2小于1 且為-0.05 時，隔振器對應諧振頻率減小但諧振峰值增大.當豎直剛度比大于0且逐漸增大時，隔振器的諧振頻率和諧振峰值逐漸減小.當γ2分別為1.00 和5.00 時，可以發現隔振器的諧振頻率和諧振峰值基本保持不變，但高頻段的隔振性能則隨著γ2的增大而變差.因此，合理選擇豎直剛度比參數可以對隔振器諧振頻率處的峰值實現最優控制，然而豎直剛度比γ2的增加導致隔振器在高頻的隔振效果變差.

圖12 不同剛度比γ2 對應力傳遞率曲線（γ1=0，n=3）Fig.12 Force transmissibility with different stiffness ratio γ2（γ1=0，n=3）

2.5.5 γ1和γ2組合參數對隔振性能的影響

為了進一步確認γ1、γ2組合參數對含3 層X 形結構隔振器的隔振性能的影響，這里分別對γ1和γ2參數選取不同的值來進行研究.根據前述分析結果，當水平剛度比γ1≤0 時，可以明顯降低諧振處峰值且不影響高頻段的減隔振性能.因此，接下來重點討論γ1≤0 和不同γ2對隔振器隔振性能的影響.在保持其他設計參數不變的條件下，γ1≤0 和不同γ2對應含3 層X 形結構隔振器力傳遞率曲線如圖13 所示.

圖13 不同剛度比γ2 對應力傳遞率曲線（γ1≤0，n=3）Fig.13 Force transmissibility with different stiffness ratio γ2（γ1≤0，n=3）

當不考慮水平剛度比（γ1=0）的影響時，豎直剛度比γ2的增大會減小諧振處的峰值，但是導致高頻段隔振性能變差；當分析水平剛度比γ1＜0 與γ2的組合剛度控制效果時，可知，γ1＜0 和γ2=1.00 時隔振器的力傳遞特性得到顯著改善，且在諧振頻率處實現無諧振峰的控制效果，然而高頻段的隔振效果會變差；但是，當γ1＜0 和0＜γ2＜1 時隔振器對諧振處峰值的控制效果較差，但是改善了高頻處的隔振效果.

另外，由文獻[22]可知，相比于負剛度以及準零剛度隔振器，含X 形結構隔振器不存在穩定性問題.

2.6 時域響應分析

為了進一步評估含n 層X 形結構隔振器的減隔振性能，重點針對隔振器受多頻穩態激勵條件下在時域的減隔振性能進行研究.其中，nX-M 表示含n（n=3）層X 形結構隔振器；X-M 表示含1 層X 形結構隔振器；R-M 表示傳統三參數隔振器.

將狀態變量引入隔振系統的運動微分方程中，并化簡為一階微分方程組；隨后，利用四階龍格-庫塔法得到隔振器各部分的時域響應位移和速度曲線；最后，根據隔振系統動力學運動方程得到傳遞到基礎的力的時域響應曲線.

實際中，環境激勵具有寬頻特性，為了便于對比，假設隔振器受外部力激勵.

式中：ωn為隔振系統的固有頻率.不同隔振器在多頻激勵下傳遞到基礎的力的曲線如圖14 所示.由圖14可以看出，在寬頻激勵下，含X 形結構隔振器明顯比傳統三參數隔振器的控制效果好，含n（n=3）層X 形結構隔振器比含1 層X 形結構隔振器的控制效果好.

圖14 3 種隔振器傳遞到基礎的力的時間歷程Fig.14 The time history of the force transmitted by the three types of vibration isolators to the foundation

3 結論

本文提出了一種含n 層X 形結構隔振器，采用諧波平衡法得到其幅頻、相頻響應的解析表達式.在此基礎上，分別采用四階龍格-庫塔法和多體動力學軟件Adams 對所建理論模型及解析解進行驗證.為了便于分析評價隔振器的減隔振性能，分別從頻率域和時間域展開討論.根據計算結果，可以得到如下結論：

1）設計參數中的阻尼比ζ、初始夾角θi、水平剛度比γ1、豎直剛度比γ2和X 形結構層數n 可以改善諧振頻率以及高頻處的減隔振性能.

2）在傳統三參數隔振器的基礎上，通過合理選擇設計參數，可使含1 層X 形結構隔振器在諧振頻率處的峰值減小，同時保持高頻處的隔振性能不變，但是諧振頻率向高頻發生移動；通過增加X 形結構層數n，隔振器的諧振峰值進一步減小，且諧振頻率向低頻發生移動.

3）通過對比時域響應特性，含n 層X 形結構隔振器比含單層X 形結構隔振器和傳統三參數隔振器的振動控制性能更好.