3-R(US&SPU)可折疊并聯機構的運動學研究

盧帥龍, 楊富富, 陳昆精

(福州大學機械工程及自動化學院， 福建 福州 350108)

0 引言

相較于串聯機構， 并聯機構具有累積誤差小[1]、 精度較好、 承載能力大等優點. 其中Gough-Stewart[2]平臺成為6自由度并聯機構的經典機構， 主要用于大負載的場合， 也是目前應用比較廣泛且結構簡單的一類并聯機構[3]. 1985年， 瑞士Clavel博士[4]發明了3 自由度平移并聯機器人， 即 Delta機械手. 因其具有高速、 靈活性強以及整體質量輕[5-6]的優點， 在快速分揀等領域發揮著重要的作用.

但工作空間小且本體占用空間大的特點在一定程度上也制約著并聯機構的應用[7]. 若在并聯機構中引入可折疊性能， 將會對這些性能進行改善并有利于工業應用[8]. 國內外已有一些學者在這方面做了嘗試. Chung等[9-10]利用剪叉機構的可折疊性研究了一種具有2R1T運動的新型三自由度可折疊機構， 在搬運大型玻璃板以及平板電視調姿等方面得到了較好的應用. Wang 等[11]提出一種新型的可折疊六自由度并聯機器人， 通過在每條支鏈上增加彈簧來獲得更大的驅動力， 具有較大的垂直折疊能力. Xu等[12]提出一種3UU-3URU可展開單元， 并利用其構建了可展開并聯機構. 房海蓉等[13]利用具有大縮放比的菱形機構作為并聯機構的支鏈， 提出一種新型四自由度可折疊并聯機構， 具有結構緊湊、 工作空間大的優點. 利用三重對稱Bricard 機構的折疊性能， 成棟良[14]設計一種可折疊的 3-UPU并聯機構， 極大減小了機構的空間占用， 便于運輸以及搬運. 耿明超等[15]為了實時調整衛星相機的位姿提出一種6-UPRRUS折疊式六自由度并聯機構， 并對其進行了動力學分析.

然而， 以上研究均通過增加一些機構單元(剪叉機構， 3UU-3URU可展開機構， 菱形機構， 三重對稱Bricard 機構等)來實現可展性能， 會使整個機構的機械本體結構復雜、 穩定性較差且工作空間較小. 若利用結構自身特點來實現折疊， 不僅便于運輸及存儲， 還將大大簡化機構的制造與裝配， 也因此有助于提升系統穩定性.

本研究提出一種全新的6自由度3-R(US&SPU)可折疊并聯機構， 并對其運動學進行研究. 首先利用螺旋理論對自由度進行分析. 其次， 通過建立運動學方程， 推導出其位置正逆解、 速度雅可比矩陣， 并對機構折疊性進行分析. 最后， 通過運動學仿真， 驗證了理論計算的正確性. 研究結果表明， 該機構具有良好的折疊性能， 且結構簡單， 可在一定程度上克服并聯機構占用空間大的缺點， 具有較好的工程應用優勢.

1 機構分析以及自由度計算

1.1 3-R(US&SPU)可折疊并聯機構

3-R(US&SPU)可折疊并聯機構如圖1所示， 由動平臺(H1H2H3)， 定平臺(A1A2A3)， 以及3組結構相同的混合支鏈構成.每組混合支鏈都由一個閉環子鏈和一個轉動副串聯而成， 如△D1H1H3與桿A1D1串聯成其中一組混合支鏈.該機構的定/動平臺坐標系如圖1所示， 取定平臺△A1A2A3中心為坐標原點O，Y軸平行于A3A1，Z軸豎直向上， 并按右手定則確定X軸， 建立定平臺坐標系O-XYZ(作為全局坐標系).取動平臺△H1H2H3中心為原點O′，Y′軸平行于H2H3方向，Z′軸豎直向上， 并按右手定則確定X′軸， 建立動平臺坐標系O′-X′Y′Z′.

3-R(US&SPU)可折疊并聯機構的輸入參數為θ1，θ2，θ3，l1，l2，l3， 其中：θi表示定平臺上的轉動副Ri的轉動角度(從過Ri軸線并垂直于OXY的平面轉動到Ak，Ai，Di點(i=1, 2, 3;j=2, 3, 1;k=3, 1, 2)形成的平面之間的夾角)， 并以圖1(a)箭頭方向為θi的正方向.li表示3個移動副所在桿DiHi的桿長.以動平臺的位姿參數X1，Y1，Z1，θ4，θ5，θ6作為輸出變量， 其中X1，Y1，Z1為動平臺中心點O′在全局坐標系中的位置坐標，θ4，θ5，θ6為動平臺的姿態參數.AiDi與轉動副Ri軸線的夾角(∠AkAiDi，i=1, 2, 3，j=2, 3, 1，k=3, 1, 2)均為π-σ.因機構由3組結構相同的混合支鏈構成以及△A1A2A3為正三角形， 故可令|AiDi|=b， |HiHj|=d， |DiHk|=c， |AiAj|=a，i=1, 2, 3;j=2, 3, 1;k=3, 1, 2.如圖1(c)所示， 取θ1=θ2=θ3=0，θ4=θ5=0，θ6=-π/3為該機構的初始位形.

圖1 3-R(US&SPU)可折疊并聯機構簡圖及模型圖Fig.1 Schematic and model diagrams for the 3-R(US&SPU) foldable parallel mechanism

1.2 機構自由度計算

采用螺旋理論[16]對3-R(US&SPU)可折疊并聯機構進行自由度分析. 因每組混合支鏈中均含有閉環子鏈， 故需先對其進行分析. 第I組混合支鏈中的閉環子鏈由U1S6支鏈和S1P1U4支鏈構成.因S1P1U4支鏈可視為無約束支鏈， 僅U1S6支鏈對整個閉環子鏈起到約束作用， 故以下自由度分析將去除S1P1U4支鏈上的運動副和構件.選取轉動副R1的中心為坐標系原點o1，y1軸和轉動副R1的軸線重合，z1軸豎直向上， 并按照右手定則確定x1軸， 建立第I組混合支鏈的分支坐標系o1-x1y1z1， 如圖1(c)所示.

在初始位形下，A1，D1，H3，H1在o1-x1y1z1坐標系的坐標矢量為：

(1)

可得到第I組混合支鏈的運動螺旋系：

(2)

其中: 分量r1，r2，r3，r4，r5，r6分別為：

(3)

由運動螺旋系的秩為6， 得知第一組混合支鏈對動平臺的約束螺旋系的秩為0. 因其它兩組混合支鏈與第一組結構參數完全相同， 故三個支鏈對動平臺的約束螺旋系的秩為0. 因此， 3-R(US&SPU)可折疊并聯機構具有6個自由度， 分別是沿X軸的移動及繞X軸的轉動， 沿Y軸的移動及繞Y軸的轉動， 沿Z軸的移動及繞Z軸的轉動.

為進一步驗證3-R(US&SPU)可折疊并聯機構的自由度， 根據修正的Kutzbach-Grübler公式[17]：

(4)

其中：M為機構的自由度數目； 階數d=6；n=8為機構總的構件數量；g=9為機構運動副的數量；fi為第i個運動副的自由度數量， 共18個； 因機構冗余約束以及局部自由度的數量均為0， 故ν=0，ξ=0. 結果顯示， 3-R(US&SPU)可折疊并聯機構具有6個自由度， 與螺旋理論分析結果一致.

2 運動學位置正逆解

2.1 位置逆解

運動學位置逆解是已知末端操作平臺的空間位姿， 反求出移動副所在桿的長度或者轉動副所轉動的角度. 對于3-R(US&SPU)可折疊并聯機構， 就是已知動平臺的空間位置和姿態， 求解3個移動副所在桿的桿長li(i=1, 2, 3)以及3個轉動副的旋轉角度θi(i=1, 2, 3).動平臺坐標系O′-X′Y′Z′最終的姿態矩陣[18]為：

(5)

式中： cθi=cosθi， sθi=sinθi，i=4, 5, 6.

通過坐標變換方法， 可將動平臺坐標系中的向量變換到全局坐標系中：

(6)

根據式(6)可得H1，H2，H3在全局坐標系中的表達， 同時根據機構的參數條件可知D1，D2，D3在全局坐標系中的坐標.因桿長|D1H3|=|D2H1|=|D3H2|=c， 故可得3個約束方程：

(7)

式中： cθi=cosθi， sθi=sinθi， cσ=cosσ， sσ=sinσ，i=1, 2, 3； 變量s1，s2，s3，s4，s5，s6分別為：

s1=cosθ4×sinθ6,s2=cosθ4×cosθ6,s3=sinθ4,s4=cosθ5×cosθ6-sinθ4×sinθ5×sinθ6

s5=cosθ5×sinθ6+sinθ4×sinθ5×cosθ6,s6=-cosθ4×sinθ5

求解式(7)即可得到3個轉動副的轉動量θi的兩組解， 如：

(8)

其中：

根據求解的θi， 可得Hi在全局坐標系的具體坐標值， 亦可得DiHi在全局坐標系表示為：

DiHi=OHi-ODi(i=1, 2, 3)

(9)

把Di，Hi，i=1, 2, 3的坐標帶入式(9)， 可得li(i=1, 2, 3)：

2.2 位置正解

運動學位置正解是已知機構移動副所在桿的長度或者轉動副所轉動的角度， 求解機構動平臺的空間位姿參數， 在3-R(US&SPU)可折疊并聯機構中就是已知θ1，θ2，θ3，l1，l2，l3， 求解動平臺中心點O′點的坐標X1，Y1，Z1以及動平臺的姿態θ4，θ5，θ6角度的大小.在前一節中， 已建立機構輸出變量θ4，θ5，θ6，X1，Y1，Z1和機構輸入變量θ1，θ2，θ3，l1，l2，l3間的6個約束方程， 如式(7)和(10)所示.它們組成含6個未知參數的高度非線性方程, 結合Matlab的fsolve函數可進行求解. 給定機構的設計參數如表1所示. 在Matlab中建立約束方程， 給定初始搜索值， 利用fsolve函數進行迭代搜索即可得到該機構的數值位置正解.任選兩組機構輸入參數θ1，θ2，θ3，l1，l2，l3， 得到動平臺的位姿參數X1，Y1，Z1，θ4，θ5，θ6的結果, 如表2所示.

表1 3-R(US&SPU)可折疊并聯機構設計尺寸參數

表2 位置正解數據

3 速度分析

(11)

(12)

對式(8)中的第二組和式(10)共6個方程兩端分別對時間求導， 可確定驅動副輸入的速度和動平臺輸出的速度之間的映射關系， 則

(13)

其中：

(14)

(15)

4 仿真分析

采用SolidWorks的Motion模塊進行運動學仿真， 并與運動學理論結果進行比對. 具體地， 設動平臺的初始位姿為(0， 0， 275， 0， 0， 0.349 0)T， 以5 mm·s-1的速度沿(0.6， 0.8， 0)T方向勻速運動. 經過5 s， 動平臺的位姿為(15， 20， 275， 0， 0， 0.349 0)T， 得到各驅動參數的位移曲線, 如圖2所示. 同時， 利用由理論分析得到的位置逆解， 在Matlab中計算得到各驅動參數的位移曲線, 如圖3所示.

圖2 仿真分析得出的驅動參數位移隨著時間的變化Fig.2 Curves of driving displacements vs time by the simulation analysis

圖3 理論計算得出的驅動參數位移隨著時間的變化Fig.3 Curves of driving displacement vs time by the theoretical study

通過比對發現， 仿真分析得出的桿長位移隨著時間的變化曲線與理論分析得出的曲線相差0.004%以內， 仿真分析得出的角位移隨著時間的變化曲線與理論分析得出的曲線相差0.01%以內. 驗證了位置逆解的正確性， 為之后的工作空間求解、 奇異性分析、 樣機制作奠定了理論基礎. 同時， 通過對位移曲線的觀察可知， 曲線連續且平緩， 也說明了機構具有良好的運動性能.

5 機構折疊性分析

3-R(US&SPU)并聯機構具有較好的折疊性能如圖4所示. 當3個移動副位移最大時， 同時3個轉動副的旋轉量為0時， 機構高度達到最大而處于最大工作狀態， 如圖4(a)所示. 當機構的3個移動副位移均為0， 即l1,l2,l3都處于最短， 且3個轉動副的旋轉量為-90°時， 機構高度達到最小從而處于折疊狀態， 如圖4(b)所示. 取表1所示的機構設計尺寸參數， 機構的最大工作高度可達352 mm， 機構處于折疊狀態時， 整個機構的高度為81 mm， 高度折展比約為4.35.

圖4 機構展開以及折疊時的狀態Fig.4 State at which the mechanism unfolds and folds

機構從完全展開變為折疊狀態，li值從最大的225 mm減小至155 mm，θi值從0°減小至-90°，Z值從最大的352.4 mm減小到81.14 mm, 整個變換過程連續運動， 如圖5所示， 故為工程應用提供了良好的運動性能.

圖5機構從完全展開變為折疊狀態時θi值和li值的變化Fig.5 Change of θi and li values when the mechanism changes from full expansion to folded state

6 結語

結合可展結構和并聯機構的優勢， 提出一種新型的可折疊并聯機構——3-R(US&SPU). 通過螺旋理論對其進行了自由度分析， 結果表明機構具有6個自由度. 進而分析了該機構的位置正逆解， 并得出機構的速度雅可比矩陣. 利用SolidWorks的Motion模塊進行運動仿真分析， 其分析結果與理論結果相差0.01%以內， 驗證了位置逆解的正確性， 為之后的性能研究奠定了基礎. 當機構處于工作狀態時， 可利用驅動副的連續運動， 讓機構快速達到需要的工作高度. 4.35倍的高度折展比可大幅度降低運輸以及維護成本， 并使機構適用于不同工作高度， 且可提高空間利用率. 同時， 該機構具有良好的運動性能， 有較好的工程應用潛力.