計及常用恒流工況的鋰離子電池建模方法

劉 偉 楊 耕 孟德越 李練兵 王炳章

計及常用恒流工況的鋰離子電池建模方法

劉 偉1楊 耕2孟德越1李練兵3王炳章1

（1. 滄州師范學院機械與電氣工程學院 滄州 061001 2. 清華大學自動化系 北京 100084 3. 河北工業大學人工智能與數據科學學院 天津 300130）

鋰離子電池（LiB）的開路電壓oc和內阻是對LiB進行特性評估的重要參數。由于兩者與LiB的荷電狀態（SOC）、電流及溫度呈非線性耦合關系，難以為工程應用建立一個參數（oc,）相對于這些變量的準確的解析模型。該文提出一種工程性建模方法，旨在建立參數（oc,）與LiB常用恒流工況范圍內的變量（SOC,,）之間的映射關系。該方法首先在LiB常用工況范圍內設計多個恒流工況實驗以獲取包含變量（SOC,,）典型信息的實驗數據；其次采用一套數據處理方法解決LiB運行中SOC與同時變化問題，并測算典型工作點{SOC,,}下的（oc,）；最后分析SOC、、到oc及的映射關系，并構建開路電壓模型oc(SOC,)和內阻模型(SOC,,)。與現有方法相比，該方法建立的模型涉及的工況全面、實驗時間短、參數估計精度高，適用于LiB工程應用和特性研究。實驗結果驗證了該方法的有效性。

鋰離子電池 開路電壓模型 內阻模型 溫度 荷電狀態 電流

0 引言

鋰離子電池（Lithium-ion Battery, LiB）的開路電壓和內阻是評估其性能的兩個重要參數，工程上可用來評估電極材料[1]、荷電狀態（Stage of Charge, SOC）[2-3]、健康狀態（Stage of Health, SOH）[4-6]、功率狀態（Stage of Power, SOP）[7]、一致性[8]等LiB狀態。目前，工程上一般基于圖1所示的直流內阻模型[8-12]描述LiB恒流工況，圖中，為工作電流、為LiB溫度、為電池端電壓、oc為開路電壓、為電池內阻，并據此模型估計LiB的oc和。oc和與LiB的SOC、、的關系[9-15]如圖2所示，圖中，A為電池所處的環境溫度，D為兩端的壓降，以上各量關系滿足

工程常用安時積分法[9, 12]描述SOC變化過程，有

圖2 LiB內部各量關系

式中，s、f分別為起始和終止時刻（h）；rated為LiB的額定容量（A·h），即以電池廠規定標準方式充入的容量。

本文將SOC、、的某個運行狀態組合{SOC,,}定義為運行工作點，簡稱工作點（即用“{ }”描述工作點）；此外，用“（）”描述變量名稱。文中，oc、為因變量，SOC、、為自變量。

由于參數（oc,）與變量（SOC,,）呈非線性和耦合（如在LiB運行中SOC和同時變化）關系，電池運行時不能在工作點準確地辨識參數（oc,），更難以給出oc和相對于（SOC,,）的解析模型。而從多數LiB工程應用出發，要求LiB模型應具有以下特征：①模型應能反映LiB的運行/工作的典型路徑，也即不同工作點{SOC,,}下的LiB特性；②模型具有（SOC,,）到oc和的映射關系，也即要給出子模型oc(SOC,)和(SOC,,)，以便基于式（1）進行工程應用。

為辨識參數（oc,），現有測試方法主要有：①電壓靜置法[2, 16]，僅能辨識oc，在工作點{SOC,}下靜置以消除極化過電壓，將此時端電壓作為oc{SOC,}，此方法每次僅能獲取單個工作點下的oc，并且因靜置時間長而十分耗時；②電壓平均 法[17-18]，僅能辨識oc，使用小電流進行充/放電并取電壓的平均值作為oc，此方法可獲得整條的oc- SOC曲線，但忽略LiB溫升且耗時嚴重；③電流階躍測試法[14, 19]，僅能辨識，基于恒流以及工作點{SOC}下電流階躍工作點{1,2}的實驗數據，辨識電流階躍點（考慮了對的影響）下的-SOC數據，實驗耗時隨工作點增多而加大，且未解決SOC與同時變化的問題；④電流脈沖測試法[7, 20-22]，同時辨識oc和，是常見的一種工程方法，在工作點{SOC,}下進行短時間的靜置以使LiB溫度等于環境溫度，取作為oc，然后施加數十秒的電流脈沖激勵，用基于公式的數據擬合辨識（未考慮對的影響），工作點增多將消耗大量實驗時間，當SOC或較低、激勵時間長、SOC估計偏差等情況出現時參數辨識誤差將變大；⑤未考慮的恒流實驗測試法[10-11]，僅能辨識，基于多個恒流實驗數據，將SOC進行歸一化處理，同時獲取不同（考慮了對的影響）下的-SOC數據且縮短實驗時間，因其未考慮溫升問題而降低辨識精度； ⑥考慮的恒流實驗測試法[9, 12]，同時辨識oc和，基于多個恒流工況實驗及數據處理，解決了SOC與同時變化的問題，并辨識出設定工作點{SOC,,}下的oc和，明顯縮短了實驗時間。

為建立參數解析模型，現有方法主要有：文獻[2, 16]用曲線擬合或插值方法僅建立模型oc(SOC)，未考慮到oc的映射；文獻[17-18]用插值方法僅建立模型oc(SOC,)，但未據oc-特性進行建模；文獻[14, 19]僅建立關于SOC、(1,2)的函數，對典型工作點{SOC}下的(1,2)數據進行曲面擬合，并同時對典型工作點{1,2}下的-SOC數據進行曲線擬合，建模所需實驗數據多且未考慮到的映射；文獻[20-22]用曲線擬合或插值方法僅建立模型oc(SOC)、(SOC)，未考慮、到oc及的映射；文獻[7]基于Arrhenius方程用曲線擬合方法僅建立模型()，未考慮SOC、到的映射；文獻[11]用曲線擬合方法僅建立模型(SOC,)，未考慮到的映射；文獻[9, 12]僅提出了一種考慮SOC、、的開路電壓和內阻測試方法，未建立參數模型，無法準確估計典型工作點以外的oc和。

綜上所述，迄今仍然缺少一種描述LiB常用恒流工況特性的面向工程的簡單實用方法。這里的常用恒流工況，指LiB正常使用時電流范圍、溫度范圍內的恒流工況；特性，指LiB的常用工作路徑變量（SOC,,）到參數（oc,）的映射關系；簡單實用，指采用簡單設備、有限實驗即可獲取該特性。

設計具有該特征方法的一個典型思路是，選取典型工況或工作路徑并求取這些路徑上變量（SOC,,）到參數（oc,）的映射關系，然后據此求得上述映射的完整表達。為此，本文提出一種具有上述特征的工程方法。其要點為：①根據LiB特性及需求，設計多個恒流工況的關鍵實驗并采集數據；②解決LiB運行中SOC與同時變化問題，估計典型工作點{SOC,,}（即對應于實驗設定條件）下LiB的，據電池-特性推算典型工作點{SOC,}下的oc，并據式（1）測算典型工作點{SOC,,}下的；③分析SOC、到oc的映射，據此用合適的方式及數據處理方法構建關于SOC、的解析模型oc(SOC,)；④分析SOC、、到的映射，據此用合適的方式及數據處理方法構建關于SOC、、的解析模型(SOC,,)。通過多個恒流工況下的實驗，從多方面對比LiB模型的輸出效果，驗證該方法的合理性、有效性、準確性。相較于其他方法，該方法能夠基于有限、關鍵的實驗數據同時獲取使用恒流工況范圍內任意工作點{SOC,,}下的oc和，具有實驗時間短、工況全面、參數估計精度高等優勢。

1 建模方法

本方法四個要點的關系及作用如圖3所示。圖中，{SOC,,}、oc{SOC,}、{SOC,,}分別表示在工作點{SOC,,}下LiB的端電壓、開路電壓和內阻，其值均為離散值；oc(SOC,)、(SOC,,)分別表示關于變量(SOC,,)的連續函數，即參數模型；“開路電壓特性”和“內阻特性”分別指oc和相對于各變量（SOC,,）的變化規律。LiB恒流工況運行中，因溫升和電荷積累而使與SOC同時變化，無法獲取特定工作點{SOC,,}下的端電壓數據，難以進一步測算oc{SOC,}及{SOC,,}，故需先解決此問題；而模型oc(SOC,)及(SOC,,)為涉及多個變量的函數，采用何種解析式及如何構造是本方法需要解決的重點問題。以下按圖示順序說明各部分內容。

圖3 方法的構架、要點以及關系

1.1 實驗設計

結合LiB特性及運行/工作路徑需求，設計有限、充足的關鍵實驗，以減少實驗時間。SOC與、oc及的映射關系呈非線性[9-11, 16-22]，實驗設計應密集選取工作點{SOC}以減少非線性誤差；到、oc及的映射呈非線性且單調[7, 9, 12, 15]，實驗設計可分散選取運行溫度范圍內的環境溫度工作點{A}；到及的映射也呈單調性[9-12]，且和對電流的敏感程度波動不大，故實驗設計可均勻分散覆蓋工作點{}。

因此，本方法分別在個環境溫度條件下進行個恒流工況實驗（本文僅以充電工況為例，放電工況類似，不再贅述），可獲取運行中SOC變化范圍內的全部實驗數據并減少實驗時間，實驗設定取值為

式中，“[ ]”為變量取值閉區間；各變量的下標L、H分別為最小值和最大值，其值應在電池廠規定范圍內；下標、為離散變量序號，據常用工況設定、的數量及分布，且相應變量值隨序號遞增。

實驗具體步驟如下：

（1）步驟E1：設計實驗環境溫度為{A1,A2, …,Am}、工作電流為{1,2, …,I}；定義ref為參考溫度，其值結合電池廠要求設定；將LiB近似為一個質點（不考慮其三維空間溫度場），因無法在其內部植入溫度傳感器，故用正極溫度近似代表電池溫度，即在LiB正極放置一個熱電偶[23]以采集LiB溫度。

（2）步驟E2：設置環境溫度為ref，靜置1h以使LiB的物理化學狀態達到穩態[12]，此時，LiB內外溫度近似相等[23]（即=ref），然后用標準電流0對LiB進行放電，直至達到放電截止電壓Dend（此值由電池廠規定），定義此時SOC=0，以保障每次充電開始時LiB的初始狀態一致。

（5）步驟E5：遍歷?A∈{A1,A2, …,Am}，重復步驟E4，完成所有{,A}下的充電實驗，即共進行×個恒流工況實驗并全程采集運行時間、A、、、等實驗數據，將實驗設定條件的組合{SOC,,}定義為LiB的典型工作點。

1.2 開路電壓建模方法

據式（1）可知，在任意工作點{SOC*,*}下，當電流無限小時，可近似認為LiB的=oc，然而這會增加大量實驗時間。本文采用求極限的方法測算開路電壓，該方法可減小LiB的電壓滯回現象對預測的影響[23]，有

式中，(SOC*,,*)為工作點{SOC*,*}下-函數（為自變量，為因變量）。

在恒流工況運行中，與SOC同時變化，無法通過實驗獲取工作點{SOC*,*}下的-數據，故不能基于式（4）測算oc{SOC*,*}。因-存在單調函數關系[12, 15]，故本方法用數據處理的方法解決此問題（此過程在本文被稱為“電壓的測算”）。

電壓的測算及開路電壓建模詳細步驟如下：

（1）步驟U1：基于*∈{1,2, …,I}、SOC*∈[SOCL, SOCH]下的實驗數據，可用曲線擬合方法獲得工作點{SOC*,*}下的-函數(SOC*,*,)，有

式中，1()為關于的多項式，其次數依數據特點及需要而定，因任何函數式按級數展開后均可近似為多項式，故采用特定次數的多項式近似表示某種函數是合理、可行的工程方法。

（2）步驟U2：據式（5），分別估計?∈{A1,A2, …,Am}時{SOC*,*}下{SOC*,*,}。

（3）步驟U3：遍歷?SOC∈[SOCL, SOCH]，重復步驟U1和步驟U2，可獲取工作點{*}下任意{SOC,*,}數據，即估計出“LiB恒溫恒流”時的-SOC曲線。

（4）步驟U4：遍歷?∈{1,2, …,I}，重復步驟U3，可獲取?SOC∈[SOCL, SOCH]、?∈{1,2, …,I}、?={A1,A2, …,Am}（即典型工作點）下的{SOC,,}，即解決了與SOC同時變化的問題，并獲取測算數據。

（5）步驟U5：基于任意工作點{SOC*,*}下的-數據，用曲線擬合方法獲取-函數(SOC*,,*)，有

式中，2()為關于的多項式，其次數依數據特點及需要而定。

（6）步驟U6：據式（6），求取=0處的，即可近似測算{SOC*,*}下的oc{SOC*,*}，有

（7）步驟U7：遍歷?SOC∈[SOCL, SOCH]、?∈{A1,A2, …,Am}，重復步驟U5和步驟U6，可測算典型工作點{SOC,}下的oc{SOC,}，即獲取條不同下的oc-SOC曲線，其中，SOC為[SOCL, SOCH]范圍內的任意值，僅為個離散值，oc也僅為典型工作點下的離散值，將其作為開路電壓建模工作的原始數據。

（8）步驟U8：用控制變量法分別分析SOC、到oc的映射，獲取開路電壓特性，據此開展建模工作。

（9）步驟U9：基于SOC*∈[SOCL, SOCH]下的oc-數據，因oc-是單調函數且變化率不大[15, 24]，可用曲線擬合方法構建工作點{SOC*}下的oc-函數oc(SOC*,)，有

式中，3()為次多項式，值據oc-特性及需要選定，以近似SOC、對oc的非線性關系，即

式中，a{SOC*}（=1, 2, …,,+1）為3()的擬合系數，其值與工作點{SOC*}有關。

（10）步驟U10：遍歷?SOC∈[SOCL, SOCH]，重復步驟U9，可獲取任意工作點{SOC}下的系數a，此時a為關于變量SOC的離散值。

（11）步驟U11：分別對a-SOC進行曲線擬合或插值運算，即可獲得系數函數1(SOC)、2(SOC)、…、a(SOC)、a+1(SOC)，因在[SOCL, SOCH]范圍內的原始數據較多，故各系數函數能在式（9）中準確反映SOC到oc的映射。

（12）步驟U12：將各系數函數回歸式（9），則完成模型oc(SOC,)的構建，該模型可表示變量（SOC,）到oc的映射。有

式中，SOC、均為連續變量。據式（10）可估計LiB使用范圍[SOCL, SOCH]、[A1,Am]內任意工作點{SOC,}下的oc。

1.3 內阻建模方法

1.3.1 內阻的測算

為有效、準確、全面地描述SOC、、到的映射，內阻建模需要充足的原始數據，故僅依靠實驗則需要消耗大量的時間。因LiB的-呈單調關系，在典型工作點{SOC,}下基于式（6）可獲取?∈[1,I]時的()數據，故可用-數據處理的方式減少恒流工況實驗數量，即獲取實驗設定以外的電流所對應的電壓數據，從而進一步減少實驗 時間。

基于1.2節方法，獲取?SOC∈[SOCL, SOCH]、?∈[1,I]、?={A1,A2, …,Am}下的{SOC,,}和oc{SOC,}數據，可據式（11）測算典型工作點{SOC,,}下的{SOC,,}（此過程在本文被稱為“內阻的測算”），該數據作為構建內阻解析模型的原始數據。

1.3.2 內阻建模

內阻建模的重點是構建關于SOC、、的連續變化模型(SOC,,)，以使其在LiB使用范圍[SOCL, SOCH]、[1,I]、[A1,Am]內準確估計任意工作點{SOC,,}下的內阻。

內阻建模具體步驟如下：

（1）步驟R1：采用控制變量法分別分析SOC、、到的映射，獲取內阻特性，據此開展建模工作。

（2）步驟R2：由于Butler-Volmer方程表明-關系單調遞減[15, 7]，基于SOC*∈[SOCL, SOCH]、*∈[1,I]時的-數據，可用曲線擬合構建工作點{SOC*,*}下的-函數(SOC*,*,)，有

式中，()為次多項式，值根據-特性及需要選定，以近似SOC、、對的非線性關系，即

式中，b{SOC*,*}（=1, 2, …,,+1）為()的擬合系數，其值與工作點{SOC*,*}有關。

（3）步驟R3：遍歷?SOC∈[SOCL, SOCH]、?∈[1,I]，重復步驟R2，可獲取典型工作點{SOC,}下的系數b{SOC,}，其中，b為關于SOC、的離散值。

（4）步驟R4：分別對各系數數據b{SOC,}進行曲面擬合或插值運算（b為因變量，SOC、為自變量），即可獲得系數函數1(SOC,)、2(SOC,)、…、b(SOC,)、b+1(SOC,)。

（5）步驟R5：將各系數函數回歸式（13），則構建了內阻模型(SOC,,)，該模型可表示變量（SOC,,）到的映射。有

綜上，本節用數據擬合構建了-函數式，并將SOC、對的定量影響體現于該式的系數，因[SOCL, SOCH]和[1,I]范圍內內阻原始數據（即測算數據）較多，故步驟R5中的各系數函數能夠在式（14）中準確反映SOC、到的映射。

2 建模實例

本節給出了一個磷酸鐵鋰電池的建模實例，并對建模結果進行討論，以說明該建模方法的準確性。

2.1 實驗設計及實施

LiB具體參數見表1，實驗設備包括充放電測試儀以及恒溫箱，測試條件見表2。

表1 LiB參數

Tab.1 LiB parameters

注：代表率，即對于該電池1=10A。

本節以正常使用溫度范圍（15～45℃）內電池恒流工況為例，描述本方法的實施過程，溫度設定值采用等間距設定。

表2 測試條件

Tab.2 Test conditions

結合LiB參數和測試條件，實驗設定取值為

說明：①在本節，工作點{SOC,,}表述中會出現具體數值及單位，其中，SOC為荷電狀態，無量綱；為工作電流（）；為LiB溫度（℃）；②溫度范圍為[A1,Am]=[15℃, 45℃]，電流范圍為[1,I]= [0.2, 1.0]；③在任意溫度下，經計算所有電流下的SOC均能達到94%以上，故本實例中選定SOC范圍為[SOCL, SOCH]=[0, 0.94]；④實驗實施過程按照1.1小節所述實驗具體步驟開展。

2.2 開路電壓模型

圖4 U-T測算結果

圖5僅以A=20℃、∈{0.2, 0.6, 1.0}時的測算電壓曲線為例，展示采用上述方法后獲取“LiB恒溫恒流”時的-SOC曲線，如圖中“測算”所示；圖中“原始”表示實驗中實測的包含了溫升影響的電池端電壓。

圖5 原始電壓與測算電壓對比

圖5表明電流越大，原始電壓與測算電壓差值越大，這是因為大電流造成上的電壓差較大，以及產生更大的LiB溫升而使電壓差值進一步增加，故采用式（5）對原始電壓進行測算是合理且必要的，這樣可以解決與SOC同時發生變化的問題，為開路電壓和內阻的測算提供準確的電壓數據。

基于任意工作點{SOC,}下的-數據，本實例選2()為2次多項式對-數據進行曲線擬合，獲取oc{SOC,}。為了說明本文方法測算的開路電壓的準確性，本節采用工程上常用的混合功率脈沖特性（Hybrid Pulse Power Characteristics, HPPC）方法獲取開路電壓（具體獲取過程請參考文獻[10, 12, 23]，將其結果作為真值），并將其與本文方法測算的開路電壓進行對比，結果如圖6所示。圖6僅以電池溫度為25℃條件下的開路電壓數據為例進行展示，其中，“HPPC方法”表示HPPC方法獲取的開路電壓，“本文方法”表示采用本文方法測算的開路電壓。結果表明，本文方法的相對誤差低于5‰。若此誤差在允許范圍內，則可用本文方法替代傳統開路電壓的測試方法，以避免擱置時間，進而減少實驗時間及快速測算內阻。由文獻[12]可知，若想進一步減少開路電壓測算誤差，可以給本文方法測算開路電壓的結果加上一個修正系數。

圖6 開路電壓對比

基于開路電壓測算數據及建模方法，本實例選用3()為3次多項式對oc-數據進行擬合（R- square均為1），并且3()的系數函數1(SOC)、2(SOC)、3(SOC)、4(SOC)采用插值的辦法獲取，即得到開路電壓與SOC的映射關系。模型oc(SOC,)為

系數函數ai(SOC)（i=1, 2, 3, 4）如圖7所示。

圖8 模型Uoc(SOC, T)

2.3 內阻模型

基于LiB的{SOC,,}和oc{SOC,}數據，用式（11）可測算

下的R{SOC, I, T}，這些均為內阻離散數值。據此，在任意工作點{SOC, I}下，本實例據式（12）選g(T)為3次多項式對R-T數據進行擬合，圖9僅以工作點{SOC=0.1, I=0.6C}下的R-T數據為例，描述該數據處理過程以及擬合結果，其中，“原始內阻”為內阻原始數據（即R測算數據，其為構建內阻解析模型的真值），“估計內阻”為擬合后的模型R(T)曲線。結果說明，R-T確實存在單調函數關系且擬合效果好（R-square為1），此時R(T)能準確描述R-T關系。此過程與2.2節U-T數據處理的過程類似（見圖4），其原因是U-R滿足式（1），并且Uoc相對T的變化率較小，故U-T關系與R-T關系本應一致。

系數函數bj(SOC, I)如圖10所示。

圖11～圖13僅以特定視域時為例展示內阻模型的結果及其反映原始數據的效果，其他視域時類似，不再贅述，故由圖11～圖13可知：

（1）當工作點{SOC,}固定時，-呈非線性關系且單調遞減，故用3次多項式()對-進行數據擬合（R-square均為1）可準確描述內阻關于溫度的變化規律。

（2）當工作點{,}固定時，-SOC呈非線性波動變化關系，且在SOC∈[0.6, 0.7]范圍內，內阻具有明顯上凸波形（由LiB機理決定，本文不作討論），本方法將SOC對的映射體現在()的系數中，且選取的工作點{SOC}數據較多并用插值方法構建，該數據處理過程具有一定的合理、有效性，能夠描述-SOC之間的非線性關系。

圖11 SOC=定值時模型R(I, T)

圖13 T=定值時模型R(SOC, I)

綜上所述，本內阻建模方法能夠在LiB使用范圍（SOC∈[SOCL, SOCH]、∈[1,I]、=[A1,Am]）內完整、詳細、準確地描述變量（SOC,,）到的映射，而無需額外增加實驗時間。

2.4 實驗驗證

為說明本文建模方法能夠在計及SOC、、的綜合影響后客觀、準確地估計LiB的開路電壓、內阻及端電壓，實驗驗證部分需要在多個環境溫度A、電流下分別驗證-SOC、端電壓-SOC曲線的模型輸出效果。由于在運行過程中LiB溫度在環境溫度A的基礎上實時變化，故本節采用Bernardi模型[23, 25-26]作為LiB的熱模型，用以實時估計，有

式中，為電池質量（kg）；c為比定壓熱容[J/(kg·℃)]；為熱傳遞系數[W/(m2·℃)]；為電池表面積（m2）。

因本文篇幅所限及主題所需，Bernardi模型的參數辨識等方面的內容不再展開敘述，具體辨識過程請參照文獻[23, 26]。將Bernardi模型估計的引入模型oc(SOC,)及(SOC,,)，即式（15）和式（16），進而根據變量（SOC,,）的實時值估計LiB的oc、及。

本節所述的“LiB模型”包括構建的開路電壓模型、內阻模型、Bernardi模型，本節假設Bernardi模型能夠準確估計，由其造成的誤差計入實驗誤差內。

鑒于篇幅限制，結合建模實例的實施條件，本節僅以A∈{23℃, 36℃}、∈{0.3, 0.5, 0.8}條件下的實驗結果為例，對本文構建的LiB模型進行綜合驗證，包括內阻驗證和電壓驗證。

2.4.1 內阻驗證與分析

圖14、圖15分別展示了當A=23℃、36℃時，分別為0.3、0.5、0.8時的-SOC曲線，其中，實測內阻為據LiB的實際端電壓測算的內阻（其中測算所需oc(SOC,)為LiB運行中開路電壓模型輸出值，前提假設其能準確反映真值）；仿真內阻為本文建模實例中LiB模型的輸出內阻；實測內阻和仿真內阻中的-SOC曲線均包含LiB溫升的影響。為表明本LiB模型能夠根據LiB的實時溫度估計內阻，本節以假定運行過程中LiB溫度恒定（即=A）時的模型輸出內阻作為對比，在圖中稱之為對比 內阻。

圖14 對內阻的驗證（TA=23℃）

圖15 對內阻的驗證（TA=36℃）

由圖14和圖15可知：

（1）在SOC＜0.1時，磷酸鐵鋰電池的電壓上升率較大，SOC、的非線性影響更加突出，故內阻估計誤差相對較大。

（2）除個別數據外，不同電流下的模型輸出內阻相對誤差均低于2%。

（3）環境溫度越高，模型輸出內阻精度越高，其原因是開路電壓和內阻隨LiB溫度升高而對溫度敏感度降低。

（4）在SOC∈[0.6, 0.7]且溫度較低時，雖然-具有一定的非線性波動性（2.3節已說明），但本方法也可準確地估計內阻。

（5）對比內阻表明LiB運行過程中溫升對oc及確實存在較大影響，且環境溫度越低、電流越大，該影響越大，而模型oc(SOC,)及模型(SOC,,)根據實時變量值可準確估計LiB參數。

2.4.2 電壓驗證與分析

為更加直觀地驗證本文建模方法，本節用LiB的端電壓驗證模型的準確性。據式（1）可知，在恒流工況下若oc和估計準確，則必然準確。

圖16～圖21分別展示了當A=23℃、36℃時，分別為0.3、0.5、0.8時LiB的-SOC曲線，其中，實測電壓為LiB實際測量的端電壓；仿真電壓為LiB模型的輸出電壓；本節同樣以假定運行過程中LiB溫度恒定（即=A）時的模型輸出電壓作為對比，在圖中稱之為對比電壓。

圖16 TA=23℃、I=0.3C時電壓驗證結果

圖17 TA=23℃、I=0.5C時電壓驗證結果

圖18 TA=23℃、I=0.8C時電壓驗證結果

圖19 TA=36℃、I=0.3C時電壓驗證結果

圖20 TA=36℃、I=0.5C時電壓驗證結果

圖21 TA=36℃、I=0.8C時電壓驗證結果

由圖16～圖21可知，在SOC＜0.1時，磷酸鐵鋰電池的電壓上升率較大；除個別數據外，模型輸出電壓相對誤差均低于0.4‰；LiB溫度越高，模型輸出電壓精度越高；對比電壓表明，LiB運行過程中溫升對電壓確實存在影響，其根本原因是溫升影響了開路電壓和內阻，進而影響了LiB端電壓。以上現象的原因與內阻驗證部分一致。

鑒于文獻[12]與本文均采用“考慮的恒流實驗測試法”，該測試方法相比較其他測試方法的優勢已詳述[12]，本文不再贅述。與文獻[12]方法相比，本方法主要優勢：①實驗時間更短，文獻[12]僅是一種基于實驗數據的“測試方法”，其無法準確估計實驗測試工作點以外的oc和，其所需實驗數量及時間隨著工作點遞增，而本方法屬于“建模方法”，所需實驗時間固定，不再額外增加；②參數估計精度高，文獻[12]對磷酸鐵鋰電池的端電壓估計精度低于1.7‰（電流為3.6A），而本方法估計精度低于0.4‰（電流為8A），實驗對象為同類型LiB，本實例所用電流大而誤差反而小，故說明本方法參數估計精度更高。

3 結論

本文提出的LiB建模方法由兩個內容組成：①考慮LiB運行/工作路徑的有限關鍵實驗設計；②一套準確描述參數（oc,）與變量（SOC,,）之間映射關系的數據處理方法。

本方法的特征為：①基于多個恒流工況實驗及數據處理，獲取了同時包含變量（SOC,,）等信息的實驗數據，解決了SOC和同時變化以及對參數的非線性影響問題；②通過數據擬合，新增了測算所需的()數據，減少了實驗時間；③將變量（SOC,,）到oc及的映射關系以解析模型的形式進行定量描述，可準確、全面、實時估計工作范圍內任意oc及；④無需特殊設備，數據處理過程簡單易行。因此，與其他方法相比，本方法主要優勢為：①實驗時間短；②可獲取詳細和全面的模型oc(SOC,)及(SOC,,)；③參數估計精度高，內阻估計誤差低于2%，端電壓估計誤差低于0.4‰。

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Modeling Method of Lithium-Ion Battery Considering Commonly Used Constant Current Conditions

12131

（1. College of Mechanical and Electrical Engineering Cangzhou Normal University Cangzhou 061001 China 2. Department of Automation Tsinghua University Beijing 100084 China 3. School of Artificial Intelligence Hebei University of Technology Tianjin 300130 China）

The open circuit voltageocand internal resistanceof Lithium-ion battery (LiB) are important parameters for the feature evaluation of LiB. Becauseocandare in non-linear and coupling relationships with the state of charge (SOC), currentand temperatureofaLiB, it is difficult to formulate an accurate mathematical model of the parameters (oc,) relative to the variables for engineering applications. This paper proposes an engineering modeling method to establish a mapping relationship between the parameters (oc,) and the variables (SOC,,) of LiB in the concerned application range. This method firstly designed multiple constant-current experiments within the range of LiB common operating conditions, and obtained experimental data containing typical information of variables (SOC,,). Secondly, a designed data process was used to solve the SOC simultaneous change problem with the temperatureduring operation and calculate (oc,) under the typical operating points {SOC,,}. Finally, the method gave the mapping of SOC,,to (oc,), and then established theocmodel andmodel, respectively. Compared with existed models, this model involves comprehensive working conditions, short experiment time and better parameter estimation accuracy, which is suitable for LiB engineering applications and characteristics research. The experimental results verify the effectiveness of the method.

Lithium-ion battery, open circuit voltage model, internal resistance model, temperature, state of charge (SOC), current

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210297

TM911

國家重點研發計劃（2016YFB0900302）、滄州師范學院校內科研基金（xnjjl1917）和滄州市重點研發計劃指導（192103005）資助項目。

2021-03-11

2021-08-23

劉 偉 男，1990年生，講師，研究方向為動力電池管理系統。E-mail: liuw0214@sina.com（通信作者）

楊 耕 男，1957年生，教授，博士生導師，研究方向為電力電子系統、可再生能源系統以及微電網的控制、動力電池的老化模型。E-mail: yanggeng@tsinghua.edu.cn

（編輯 崔文靜）