基于遺傳算法的大跨鋼管混凝土桁式拱肋多目標優化

涂 兵，劉來輝，鄧年春，江建文，李顥旭

(廣西大學 土木建筑工程學院，廣西 南寧 530004)

0 引言

鋼管混凝土拱橋具有受力合理、施工方便、剛度大等諸多優點，是近年來發展較快的橋型之一[1-2]。隨著鋼管混凝土拱橋在我國公路和鐵路工程中的不斷推廣應用，其經濟性也日益受到人們的廣泛關注。然而，現階段鋼管混凝土拱橋的設計主要參考已有同類工程的經驗，擬定的結構尺寸通常并非最優尺寸，未能充分發揮鋼管混凝土組合結構的優勢，造價也往往偏高[3]。特別是對于作為鋼管混凝土拱橋最主要受力構件的拱肋，其截面由鋼材和混凝土2種材料組成，且隨著拱橋跨度的增大，拱肋截面的構型趨于復雜，由此導致設計變量眾多，傳統基于經驗和試錯的設計方法更是難以精確獲取最合理的拱肋截面設計參數組合。因此，亟需將結構優化理論引入鋼管混凝土拱橋的拱肋截面設計中，以提高設計效率以及設計方案的合理性。

目前，鋼管混凝土組合結構截面優化的方法主要有數學規劃法、優化準則法和智能優化方法3類[4]。文獻[5-6]以造價最低為目標，分別應用序列二次規劃算法和約束非線性規劃算法對簡支鋼-混凝土組合梁進行了截面參數優化。文獻[7-8]基于滿應力準則，建立了鋼管混凝土拱橋拱肋截面的單目標優化模型，并借助有限元程序進行了求解。文獻[9]則利用粒子群算法對滿應力優化理論進行改進，用于鋼管混凝土拱橋啞鈴型拱肋的優化，得到了使得鋼管總重量最小的拱肋截面參數。文獻[10-11]將遺傳算法引入鋼管混凝土框架柱的截面優化，顯著提高了結構的經濟性。可以看出，當前階段鋼-混凝土組合結構的截面優化絕大部分都是以造價(或材料用量)最低為目標的單目標優化，對于這類問題，以上3類優化方法均不難求出最優解，但相較而言，以遺傳算法為代表的智能優化方法的適用性更強，計算效率更高。

值得注意的是，以造價為單目標的結構優化雖然能顯著降低成本，但優化后的截面參數也通常使得結構各項性能指標偏低，對實際工程設計的參考價值受到限制。與之相比，多目標優化可以在數學上實現成本、結構性能等多個相互沖突目標的最優協調，獲得一系列非劣解，進而為工程決策者和設計者提供更多的選擇[12]。在結構多目標優化領域，由于算法自身的并行性特點恰好與多目標優化問題的多解特征相吻合，遺傳算法等進化算法占據主導地位[13-14]。目前，遺傳算法已被成功應用于復合材料結構[15-19]、高層建筑[20]、混凝土梁橋[21-22]等工程結構的多目標優化，取得了良好的效果，但鮮見該方法在鋼管混凝土拱橋多目標優化中的相關研究報道。

基于此，本研究選取當前應用最廣泛的多目標優化遺傳算法NSGA-Ⅱ[23](Non-dominated Sorting Genetic Algorithm Ⅱ，帶精英策略的非支配排序遺傳算法)，探究遺傳算法在鋼管混凝土拱肋截面多目標設計優化中的可行性。首先，以造價最低和面內抗彎剛度最大為雙重優化目標，建立大跨鋼管混凝土拱橋桁式拱肋截面的通用性優化模型；然后，利用NSGA-Ⅱ算法對優化模型進行求解，得到造價與抗彎剛度的Pareto最優前沿(Pareto-optimal front)，以期為結構設計提供參考。之所以選取面內抗彎剛度最大作為另一個優化目標是考慮到隨著鋼管混凝土拱橋跨徑的不斷增大，面內穩定性逐漸成為控制結構設計的主要指標，而截面抗彎剛度是決定拱肋面內穩定性能的最主要因素之一。

1 NSGA-Ⅱ多目標優化遺傳算法

1.1 NSGA-Ⅱ算法簡述

遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)是一種通過模擬自然進化過程搜索數學模型最優解的方法。NSGA-Ⅱ是基于Pareto最優概念的遺傳算法，該算法既繼承了經典遺傳算法在全局搜索方面的優點，同時也提出了精英策略、快速非支配排序、擁擠比較算子等策略來提高最優解的收斂性、精確性和均勻性，具體如下[23]：

(1)帶精英機制的策略

提出將父代種群和子代種群合并，然后剔除被支配的子代個體之后繼續進行迭代操作，防止優秀基因的流失，從而提高優化結果的準確性。

(2)快速非支配排序

根據相互支配邏輯關系對種群進行支配等級分類。將所有的非支配解作為第1前沿面，等級為1;然后將剩余個體中的非支配解作為第2前沿面，等級為2，以此類推，加快了算法速度。

(3)保留多樣性

采用擁擠比較的方法替代共享函數方法，通過密度估計和利用擁擠比較算子計算擁擠距離，量化個體所在空間位置的擁擠程度，并將其作為該種群中個體之間的比較準則，解決了經典遺傳算法容易局部收斂的問題，使解集能均勻地分散到整個目標空間。

NSGA-Ⅱ優化算法最終給出的解稱為Pareto最優解，其定義為：

考察2個決策向量a，b∈X，a帕累托占優(Pareto Dominate)，記為a>b，當且僅當：

{?i∈{1, 2,…,n}fi(a)≤fi(b)}∧{?j∈{1, 2,…,n}fj(a)≤fj(b)}。

如果在整個參數空間內不存在任何決策向量帕累托占優某個決策向量，則稱該決策向量即是Pareto最優解。所有Pareto最優解組成了帕累托最優解集合(Pareto Optimal Set)，也稱為Pareto前沿(Pareto Front)。

1.2 NSGA-Ⅱ算法流程

NSGA-Ⅱ算法的基本流程如圖1所示[23]。

圖1 NSGA-Ⅱ算法流程[23]

2 4管桁式鋼管混凝土拱肋截面優化數學模型

2.1 設計變量

本研究以圖2所示的大跨鋼管混凝土拱橋最常用的4管桁式變截面拱肋作為優化對象，將其主管、平聯和腹桿3種桿件的外徑、壁厚以及拱頂和拱腳的桁高作為優化變量。此外，考慮到鋼管混凝土拱肋平聯長度的設置通常還受到橋面寬度、非機動車道、人行道等因素影響，暫不考慮將平聯長度作為變量，用常量l0表示。

圖2 4管桁式鋼管混凝土拱肋截面參數設置

2.2 目標函數

優化目標有：(1)拱肋總體造價最低；(2)拱肋截面面內抗彎剛度最大。

本研究選擇以單側拱肋單位長度的平均造價W為第一個目標函數，W主要包括主管的鋼管和混凝土的造價、平聯的鋼管造價以及腹桿的鋼管造價。其中，單位長度單根主管的鋼管造價為：

(1)

式中，A為每噸鋼管造價；ρ為鋼材的密度；D和T分別為主管的外徑和壁厚。

單位長度單根主管管內混凝土的造價為:

(2)

式中B為每立方米混凝土造價。

單位長度拱肋腹桿W3和平聯的鋼管平均造價W4可表示為：

(3)

(4)

式中,df和tf分別為腹桿的外徑和壁厚；dp和tp分別為平聯的外徑和壁厚；L1為柱肢間的節間距離；l0為平聯長度；l1為拱腳腹桿長度，l2為拱頂腹桿長度。

總造價函數其表達式為：

W=4(W1+W2)+W3+W4。

(5)

另一個目標函數截面抗彎剛度F的近似表達式為[24]：

F=EscIeq，

(6)

Esc=1.3kEfsc，

(7)

式中，Esc為鋼管混凝土的彈性模量，kE為軸壓彈性模量換算系數;fsc為鋼管混凝土的抗壓強度，kE和fsc的取值見文獻[24]；Ieq為等效截面慣性矩，可由式(8)～(9)計算得到。

(8)

(9)

式中,J為計算參數；Ij，Ik分別為變截面組合主拱拱頂、拱腳組合截面慣性矩。

(10)

(11)

式中，Di為第i根主管的外徑；Ai為第i根鋼管混凝土的截面面積。

2.3 約束條件

作為鋼管混凝土拱橋最主要的受力構件，拱肋需滿足構造和強度等基本要求，這些要求構成了優化模型的約束條件。

(1)構造要求

①根據《公路鋼管混凝土拱橋設計規范》(JTG/T D65-06—2015)[25]，管節點及連接件抗疲勞構造應滿足：

(12)

式中，d和t分別為支管(包括橫聯和腹桿)的外徑和壁厚。

②細長空管桿件長度與鋼管直徑之比不應大于40，即[25]：

(13)

③鋼管混凝土鋼管的外徑尺寸要求不宜小于300 mm，也不宜大于1 500 mm, 且主拱主管壁厚不應小于10 mm，即[25]：

300≤D≤1 500,T≥10,

(14)

④根據《鋼結構設計標準》(GB 50017—2017)[26]，壓彎構件允許長細比[λ]≤150，有：

λeq≤150,λf≤150,λp≤150,

(15)

式中，λeq，λf，λf分別主拱肋等效截面長細比、腹桿的長細比、平聯的長細比；λeq根據式(16)～(17)確定[25]：

(16)

(17)

式中,S0為主拱等效計算長度，對于無鉸拱取0.36S，S為拱軸線長度；ieq為主拱等效截面回轉半徑。

⑤對受壓為主的鋼管混凝土構件，圓形截面的外徑與壁厚之比應滿足[25]：

(18)

式中fy為主管鋼材屈服強度。

(2)強度要求

桁式拱肋整體截面偏心受壓承載力約束條件為[25]：

(19)

拱肋單管壓彎承載能力約束條件為[25]：

γNt≤φlφeKpKdfscAsc，

(20)

式中，Nt為單管軸力設計值；φl為組合構件長細比折減系數；φe為組合構件彎矩折減系數；kp為鋼管初應力折減系數。

腹桿受拉或受壓強度要求[25]：

(21)

式中，Nf為腹桿的軸拉力或軸壓力設計值；Asf為腹桿的鋼截面面積；[σf]為腹桿的鋼材強度設計值。

2.4 管桁式變截面拱肋的優化設計模型為：

findX=(D,T,df,tf,dp,tp,l1,l2)，

(22)

(23)

(24)

3 工程實例分析

3.1 工程概況

某特大橋位于廣西平南縣西江上游，其原設計情況如下：

主橋采用主跨575 m(計算跨徑560 m)的中承式鋼管混凝土拱橋，跨徑居全世界拱橋之首，主拱采用懸鏈線無鉸拱，計算矢跨比為1/4，拱軸系數為1.5。單側拱肋采用4管桁式截面，弦桿直徑為1.4 m，管內灌注C70自密實混凝土。弦桿之間通過φ850 mm橫聯鋼管和兩根φ700 mm豎向腹桿鋼管連接，單側拱肋截面如圖3所示。

圖3 原設計普通橫隔處單側拱肋截面示意圖(單位：mm)

主拱主管采用Q420qD高強鋼，其余桿件均采用Q345C鋼材。橋道梁為鋼格子梁上設置厚15 cm(含8 mm鋼底板)C40鋼纖維混凝土的鋼-混組合結構，吊桿采用整束擠壓成型的鋼絞線成品索，南北兩岸橋臺均為重力式抗推力結構。主拱桁和橋道梁節段均采用纜索吊運、斜拉扣掛安裝。

3.2 拱肋截面尺寸多目標優化

首先，根據第2節程序建立平南三橋拱肋截面尺寸的多目標優化模型，其中，鋼材和核心C70混凝土單價分別按4 500元/t和600元/m3計算。另外，綜合考慮結構安全性、施工水平和原設計的情況后，確定各尺寸變量的取值范圍，設置各變量的約束條件，具體見表1。

表1 拱肋各參數的優化范圍

利用NSGA-Ⅱ算法對該優化模型進行求解。根據已有研究[27]，算法的參數設置為：種群大小為100，變異系數取0.001，交叉概率為0.3。分別取進化代數10 000和20 000進行計算，得到10 000代和20 000代的優化結果Pareto前沿，如圖4所示。可以看出，10 000代與20 000代的Pareto前沿基本一致，因此可認為就本研究算例而言，10 000代的Pareto解集已經是收斂的。

圖4 10 000代與20 000代Pareto前沿對比

取10 000代的Pareto前沿作進一步分析，如圖5所示，根據多目標優化理論，該Pareto前沿上的每一點都代表了一個Pareto最優解。首先，將原設計方案在圖5中標識出來，可以看出，原設計方案點在Pareto前沿線的右上方，表明就本研究的2個優化目標而言，原設計方案并非最優化(合理)方案，存在優化的空間。在Pareto解集中選擇出3個代表性點即3個Pareto最優解進行分析，見圖5中的1、2、3點。這3個點分別代表了造價最低的方案(方案1)、剛度(結構性能)最大的方案(方案3)和中間方案(方案2)，相應的主拱截面參數見表2。可知，與原方案相比，方案1的單位長度造價降低46.2%，方案3的抗彎剛度增大8.8%，表明2個優化目標的改善幅度均較大，優化效果較明顯。

圖5 10 000代Pareto前沿

從多目標優化理論的角度來看，Pareto前沿上的所有點都可以被認為是最優的方案，實際設計時還應根據結構實際情況、業主需求和偏好等其他因素在Pareto最優解中進行選擇，最終確定設計方案。對于所分析的大橋跨徑位居世界拱橋之首，技術難度很大，且位于重要的交通樞紐，預測未來的交通量會比較大，因此其安全系數不宜太小，同時兼顧到橋梁的經濟性，本研究推薦選擇造價適中、剛度較大的優化組合，即優化方案2，并對其進行后續的結構受力性能分析。方案2這種位于Pareto前沿中間位置的方案也是大部分多目標優化設計最終方案的主要選擇。從表2可以看出，相比于原設計方案，優化方案2的拱肋截面面內抗彎剛度有所減小(減小12.1%)，同時，其造價大幅度降低至原方案的76.0%。

表2 優化前后主拱參數對比

3.3 優化前后結構性能對比

為說明選取拱肋截面面內抗彎剛度作為優化目標的合理性并驗證優化結果的可行性，利用MIDAS/Civil有限元軟件建立全橋三維桿系計算模型，以主拱豎向剛度和面內穩定性為評價標準，對優化方案2和原設計方案進行對比分析。有限元模型中，拱肋的每根主管均選用鋼管混凝土組合截面梁單元進行模擬，并利用施工階段聯合截面方法模擬拱肋的兩階段成型歷程，用只受拉的桁架單元建立吊桿，橋面鋼格子梁和行車道板分別采用梁單元和板單元。拱腳處設置固結約束，橋面端橫梁中間采用雙向支座，端橫梁兩邊采用單向支座，橋面格子梁與拱肋肋間橫梁和立柱橫梁之間均采用彈性連接，橋面格子梁與行車道板為共節點連接。汽車荷載等級為公路-Ⅰ級，按雙向4車道布載，汽車荷載的橫向和縱向折減系數分別取0.67和0.96[28]，人群荷載按設計要求取2.5 kN/m2。有限元模型見圖6。

圖6 平南三橋MIDAS/Civil全橋計算模型

3.3.1 優化方案主拱承載能力驗算

拱橋的設計荷載包括自重、汽車和人群活載、溫度荷載、風荷載和混凝土收縮徐變等，根據《公路橋涵設計通用規范》(JTG D60—2015)，取基本組合=1.2×恒載+1.4×汽車荷載+0.6×1.4×[人群荷載+升(降)溫30 ℃]+0.6×1.1×風荷載對拱肋整體和單管承載能力進行驗算[28]。在基本組合下,主拱整體桁式截面和單肢的最大軸力設計值分別為-154 445 kN和-51 605 kN，對應的彎矩設計值分別為-80 496 kN·m和-1 080 kN·m，代入式(19)、(20)進行驗算，結果均滿足承載能力要求。

3.3.2 優化前后成橋狀態主拱豎向撓度對比

根據所建立的全橋計算模型，計算主拱在車道荷載(不及沖擊力)作用下的最大豎向撓度(正負撓度絕對值之和)。選擇拱肋0，l/8，l/4，3l/8，l/2，5l/8，3l/4，7l/8，l共9個控制點繪制全橋豎向撓度曲線，如圖7所示。可以看出，在車道荷載作用下，方案2的豎向撓度比原設計方案大，這是因為方案2的截面面內抗彎剛度相比原設計方案有所減小(減小約12.1%)。其中，在車道荷載作用下，方案2的拱肋最大豎向撓度(l/4截面)為134 mm，比原設計大29 mm(約增大27.6%)，但仍遠小于拱肋的最大容許位移l/1 000(560 mm)，滿足《公路鋼管混凝土拱橋設計規范》(JTG/T D65-06—2015)[25]的要求。

圖7 車道荷載(不計沖擊力)作用下拱肋正負豎向撓度之和

3.3.3 成橋狀態穩定性分析

根據彈性穩定理論，結構考慮幾何初始剛度矩陣下的彈性穩定平衡方程為[3]：

(K+λS)δ=λF,

(25)

式中,K為結構整體彈性剛度矩陣；S為幾何剛度矩陣，與結構的應力水平相關；δ為荷載F作用下的位移；λ為彈性穩定特征值。

通過所建立的有限元模型分別對優化前后的結構在以下2種工況下進行使用階段線彈性穩定性分析：工況1：恒載+風荷載+4車道荷載(集中力在跨中)；工況2：恒載+風荷載+4車道荷載(集中力在l/4處)。分析時偏安全地將自重恒載和所有活荷載均視為可變荷載，即計算幾何剛度時同時考慮恒載和活荷載引起的應力。分析結果表明，對于優化前、后的結構以及2種荷載工況，一階整體彈性失穩模態均為面外反對稱屈曲，且前12階失穩模態均為面外失穩，第13階首次出現面內失穩。得到成橋狀態一階屈曲對應的彈性穩定特征值和首次出現面內整體失穩模態對應的彈性穩定特征值見表3。可以看出，優化組合2的兩類彈性穩定特征值(一階失穩和首次出現面內失穩)相對優化前均略有下降，但均大于4.0，同樣滿足規范要求[25]。

表3 優化前后成橋狀態下彈性穩定特征值對比

4 結論

(1)提出同時以造價和截面面內抗彎剛度作為優化目標的4管桁式鋼管混凝土拱肋多目標優化模型，相較于傳統以造價為單目標的優化模型更加科學、合理，可得到一系列Pareto最優解供設計者和決策者選擇。

(2)NSGA-Ⅱ遺傳算法應用于4管桁式鋼管混凝土拱肋的多目標優化時可快速、準確地得到優化解集，是該類組合結構多目標優化問題的一種高效求解手段。

(3)截面面內抗彎剛度與結構整體豎向剛度以及面內穩定性相關性強，選擇該參數作為表征桁式鋼管混凝土拱肋結構性能的優化目標具有一定的合理性。

(4)分析算例優化后結構的面內穩定性和剛度滿足規范要求，同時造價大幅度降低，優化效果良好。