基于拓撲優化的點陣-加筋板式結構設計方法

董偉, 李揚, 辛克浩, 殷德政, 宋龍龍, 高彤

1.北京航天長征飛行器研究所, 北京100076;2.西北工業大學 航宇材料結構一體化設計與增材制造裝備技術國際聯合研究中心, 陜西 西安710072

飛行器儀器艙中，設備安裝板是安裝和支承工作儀器的結構，往往也作為艙體的輔助承載結構。除結構減重需求外，為避免大過載機動飛行中產生過大變形，設備安裝板必須具備足夠的結構剛度。為此，必須通過結構優化方法實現設備安裝板的高承載性能和輕量化設計。

近年來，點陣結構因其輕質、高比剛度、減振吸能等優勢在飛行器結構設計領域受到了廣泛關注，發展了一系列宏微觀多尺度拓撲優化設計方法。拓撲優化設計方法是一種在給定的載荷條件、約束條件和性能指標下優化給定區域內材料分布的數學方法[1]，目前已廣泛應用于航空、航天等[2-3]領域。多尺度拓撲優化方法是指在宏觀層級和微(細)觀層級對多孔結構進行并行優化的方法。在宏觀層級優化上，優化整體結構的結構形式；在微(細)觀層級優化上，優化微結構的拓撲構型。多孔結構的微觀拓撲構型和宏觀結構形式在優化過程中相互影響，從而達到提高材料利用率、滿足周期性多孔結構在特定載荷工況下的力學性能的優化目標。在近年的多尺度拓撲優化研究成果中，Liu等[4]提出了一種宏觀結構與微結構多尺度設計的并發拓撲優化方法，Xia等[5]提出了基于非線性多尺度模型的雙尺度協同優化設計方法。此外，Yan和Guo等[6]提出了一種熱彈性耦合場下的多尺度優化方法；Zhang等[7]提出了基于梯度式分層模型的梯度點陣材料結構拓撲優化方法；為避免多尺度拓撲優化中的尺度分離問題，Fu和Wu等[8-9]基于子結構法對多層級結構拓撲優化方法展開了研究。 研究表明，純點陣結構的減振性能、面/體載荷承載效率優于傳統加筋結構，但傳遞集中載荷的性能不足。點陣-加筋結構則是能夠兼具二者優勢的新型結構方案。然而，目前點陣-加筋結構設計方法仍停留在先實體優化、再點陣填充的階段[10]，關于二者匹配設計的研究開展的較少，需尋求更合理的點陣-加筋結構設計方法。

為解決點陣-加筋結構的多尺度匹配設計問題，本文提出一種將點陣微結構等效為虛擬均質材料，通過多材料拓撲優化來求解點陣-加筋結構布局的優化設計方法。20世紀以來，國內外學者提出了各種多材料拓撲優化求解策略。Thomsen[11]在1992年首先提出多材料拓撲優化概念，并運用均勻化方法解決了雙材料結構拓撲優化問題。此后，在密度法框架下，Sigmund和Torquato[12]基于SIMP(solid isotropic material with penalization)插值模型利用遞歸思路構造了一種三材料插值模型，Stegmann和Lund[13]提出了一種更便于擴展的多材料插值模型(discrete material optimization,DMO)；高彤和張衛紅等[14]對上述2種方法進行了對比并提出了多材料結構拓撲優化的質量約束模型，實現了多種材料用量自動匹配。此外， Wang和Luo[15]發展出一種基于水平集方法的多材料結構形狀/拓撲優化方法。

本文以某高超聲速飛行器儀器艙設備安裝板為例，提出一種基于點陣結構宏觀力學性能等效和多材料拓撲優化的點陣-加筋結構多尺度匹配優化設計方法。通過與傳統加筋結構的比較，驗證點陣-加筋結構的性能優勢，同時為同類結構設計提供新思路與新方法。

1 設備安裝板模型及設計要求

本文研究的設備安裝板模型如圖1所示，通過螺栓安裝在飛行器儀器艙艙體中，具體結構包括三部分：與飛行器進行連接固定的上安裝板、用來搭載工作設備的下安裝板和連接上下板的連接部分。設備安裝板整體采用鋁合金材料(性能見表1)，原實心板方案總質量為9.962 kg。

表1 設備安裝板材料特性

圖1 設備安裝板模型

圖2 設備安裝板有限元模型

設備安裝板有限元模型如圖2所示。采用六面體單元對設備安裝板進行有限元網格劃分，在安裝孔處創建螺栓連接。設備在各自重心處等效為質量點(各20 kg)，分別為A,B,C；質量點通過剛性連接單元連接于設備安裝孔。設備安裝板主要載荷為高速機動導致的大慣性過載及艙體結構通過儀器艙安裝孔傳遞而來的載荷。本文主要考慮的設計載荷為沿安裝板y軸負方向25倍的重力加速度、沿x軸正方向35倍的重力加速度。同時，在艙體結構外表面施加0.1 MPa的均布壓力，模擬實際工作時的氣動載荷，艙體變形會在設備安裝板安裝孔處產生彎扭載荷。艙體后端施加固定約束。

為滿足輕量化要求，限定設備安裝板質量上限為4 kg。設備安裝板結構優化設計考核包括：最大結構應力不超過400 MPa，最大位移不超過20 mm。同時，需要對簡諧掃頻激勵下的結構響應進行校核。

2 設備安裝板結構優化設計

本節分別針對傳統加筋結構方案和新型點陣-加筋結構方案，采用密度法對設備安裝板進行結構優化設計。

2.1 加筋結構方案

2.1.1 優化模型

(1)

式中，p為懲罰因子,通過調整懲罰因子,可以使單元偽密度值聚集在0或1附近。當偽密度為1時,表示為單元材料存在;偽密度為0時,表示沒有單元材料。DS為實體材料自身的彈性矩陣,Dmin表示材料為空時的彈性矩陣,為防止計算時結構剛度矩陣出現奇異,通常取一個比較小的數值。

以質量約束下設備安裝板整體剛度最大(即整體柔順度最小)建立拓撲優化模型

(2)

ρ(xi)=xiρS

(3)

結構的整體柔順度C(x)定義為

C(x)=UTKU

(4)

式中,U為有限元平衡方程中的節點位移向量,整體剛度矩陣K可表示為

(5)

式中，Bi為單元i的應變矩陣。

Fa和Ft分別為與材料布局無關的外力載荷(如氣動壓力)和設計相關載荷(即慣性力)的載荷向量。設at為慣性過載向量,則相應的設計相關載荷向量為

(6)

式中，Mi表示單元i的質量矩陣;通常材料的質量矩陣與設計變量呈線性關系,如下所示

Mi=xiMS

(7)

式中，MS為填充實體材料時的單元質量矩陣。

結構柔順度對單元偽密度的靈敏度可表示為

(8)

2.1.2 優化結果與重構結果

本文采用GCMMA(globally convergent method of moving asymptotes)算法對優化問題進行求解,整體柔順度和安裝板質量的迭代曲線如圖3所示。最終得到設備安裝板加筋結構設計結果如圖4所示。根據拓撲優化結果中實體材料(紅色)的布局形式,重構得到的設備安裝板加筋結構方案如圖5所示,結構質量為3.996 kg。

圖3 加筋結構方案:整體柔順度和安裝板質量的優化迭代曲線

圖4 加筋結構方案:優化結果(偽密度)

圖5 加筋結構方案:重構設計

2.2 點陣-加筋結構方案

本文提出一種點陣-加筋結構匹配優化設計方法,主要思想是將點陣結構等效為一種虛擬的均質材料,通過多材料拓撲優化方法,尋找給定質量約束下虛擬材料與實體材料合理布局,從而確定點陣-加筋結構優化設計方案。

2.2.1 優化模型

本文選取如圖6所示的BCC型點陣結構,微結構等效密度ρL=140.5 kg/m3。采用與實體加筋結構相同的金屬材料,利用均勻化方法[16]計算得到的點陣結構等效彈性矩陣為

DL=

(9)

圖6 BCC單胞結構形式及尺寸

(10)

xi=1表示單元由實體材料構成,即加筋結構;xi=0表示單元完全由虛擬材料構成,即點陣結構。

以質量約束下點陣-加筋設備安裝板整體柔順度最小為目標建立拓撲優化列式

(11)

式中，ρ(xi)是虛擬材料單元密度ρL和加筋結構實體材料單元密度ρS的函數

ρ(xi)=xi(ρS-ρL)+ρL,xi∈[0,1]

(12)

此時,單元i的質量矩陣表示為

Mi=xi(MS-ML)+ML,xi∈[0,1]

(13)

式中：ML代表純點陣結構單元質量矩陣；MS代表加筋結構單元質量矩陣。

結構柔順度對單元偽密度的靈敏度可表示為

(14)

2.2.2 優化結果與重構結果

本文采用GCMMA算法對優化問題進行求解分析，安裝板整體柔順度和質量的迭代曲線如圖7所示。最終得到點陣-加筋結構布局優化結果如圖8所示，其中紅色部分代表加筋結構，青色部分代表點陣結構。根據優化結果，結合工程設計經驗(如板式結構在優化設計時多采用橫跨的連續筋條結構、需要考慮點陣結構和加筋結構的連接過度方式等)，對模型進行重構，所得設備安裝板點陣-加筋結構如圖9所示。重構完成的設備安裝板點陣-加筋結構質量為3.978 kg，滿足設計要求。

圖7 點陣-加筋結構方案：整體柔順度和安裝板質量的優化迭代曲線

圖8 點陣-加筋結構方案：優化結果(偽密度)

圖9 點陣-加筋結構方案：重構設計

3 設備安裝板結構設計方案仿真分析與對比

由于點陣結構的微結構較多，直接使用實體模型進行仿真計算效率極低；因此，本文采用常用的梁單元建立點陣結構模型。加筋結構全部采用六面體實體單元建模。

3.1 大過載下的力學性能對比

2種結構位移與應力仿真結果如表2所示。加筋結構最大位移為13.07 mm，最大應力為355 MPa；點陣-加筋結構最大位移為11.61 mm，最大應力為311 MPa。對比發現：由于點陣將各條加強筋連為一體，其最大變形降低11.17%、剛度更大，同時應力水平更低、應力分布更均勻。

表2 大過載下設備安裝板結構方案的力學性能對比

3.2 模態振型對比

加筋結構與點陣-加筋結構前6階固有頻率對比見圖10，相應振型見表3。對比發現：點陣-加筋結構方案前6階固有頻率均明顯高于加筋結構，二者振型具有較高的相似性。

表3 設備安裝板結構方案的前6階振型對比

3.3 加速度激勵下結構響應對比

分析2種結構的一階振型云圖可知，加筋結構與點陣-加筋結構方案的最大位移均出現在末端中心點處。因此，將此位置作為測量點提取位移響應。施加大小為20 m/s2、頻率為10～150 Hz的簡諧加速度掃頻激勵，2種結構測量點處沿y軸方向的位移響應幅值如圖11所示。加筋結構測量點處位移響應幅值的峰值為83.35 mm，而點陣-加筋結構方案相應數據僅為21.83 mm、降低73.81%，顯然后者抗振性能顯著提高。

圖11 簡諧加速度掃頻激勵下設備安裝板結構方案的位移響應對比

4 結 論

本文提出了一種點陣-加筋板式結構的拓撲優化方法。針對給定點陣單胞構型，通過均勻化等效方法將其等效為一種虛擬材料并計算其宏觀等效彈性性能；然后，利用多材料拓撲優化方法，實現整體質量約束條件下的結構剛度最大化設計。以某高超聲速飛行器設備安裝板為例分別完成了傳統加筋結構和點陣-加筋結構方案設計，靜動力學數值分析表明：

1) 基于拓撲優化方法，2種設計方案均能滿足設計要求。

2) 點陣-加筋結構方案的剛度和強度性能均顯著優于加筋結構方案，其原因在于點陣結構的引入將整個安裝板連為一體，能夠將載荷更均勻地分散至整個結構。

3) 點陣-加筋結構方案固有頻率顯著高于加筋結構方案、動響應顯著降低，表明在本文的設備安裝板設計中，結構動力學性能得到了提升。

本文提出的基于拓撲優化的點陣-加筋板結構優化設計方法具有普適性，為飛行器儀器艙設備安裝板及同類結構設計提供了一種新思路和新技術，在未來的研究中考慮引入結構動力學的影響，完善點陣-加筋結構優化設計方法。