恒模發射波形和非匹配濾波器的聯合設計

汪濤, 陳梓浩, 程志偉, 鄧曉波, 梁軍利, 白建超

1.西北工業大學 電子信息學院, 陜西 西安710072; 2.中航工業雷華電子技術研究所, 江蘇 無錫214063;3.西北工業大學 數學與統計學院, 陜西 西安710072

脈沖壓縮體制雷達的發射波形設計和接收濾波器優化是雷達信號處理領域中的熱點問題[1-3]。在復雜電磁環境中，雜波和噪聲分量會對雷達目標探測造成旁瓣升高等不良影響。眾所周知，匹配濾波器(matched filter,MF)是假設接收信號中只包含高斯白噪聲和單點反射信號時，基于最大信噪比準則所推導得出的最優濾波器。以線性調頻信號為例，在其匹配濾波器的脈壓輸出中，主瓣的臨近區域會出現較高的距離旁瓣，造成微弱目標淹沒。因此，有必要設計非匹配濾波器以抑制距離旁瓣來改善探測效果。

非匹配濾波器設計的研究大致分為如下2種：

1) 在固定雷達發射波形情況下的非匹配濾波器設計。常見的雷達發射波形有線性調頻波形、相位編碼波形等。在雷達發射機端配置固定的情況下，非匹配濾波器設計可以形成優于匹配濾波器的旁瓣抑制效果。例如，Cilliers和Smit[4]基于p-范數設計非匹配濾波器，最小化積分旁瓣水平(integrated sidelobe level,ISL)或者峰值旁瓣水平(peak sidelobe level,PSL)，并探究非匹配濾波器的長度和p-范數類型對探測效果的影響。De Maio和Rabaste等[5-6]使用二次約束二次規劃(quadratically constrained quadratic programming,QCQP)等凸優化方法進行非匹配濾波器設計，研究濾波器長度等因素對旁瓣抑制效果的影響。

2) 雷達發射波形和非匹配濾波器聯合設計。Stoica等[7]提出了多個迭代優化算法，通過構造與ISL相關的加權矩陣，設計出具有良好自相關特性的恒模波形；Jiu等[8]結合當前電磁環境中的干擾源先驗信息，通過開展發射波形和非匹配濾波器的聯合設計，實現信干噪比的極大提升；Zhou等[9]通過開展波形和濾波器的聯合設計，實現對間歇采樣轉發干擾的有效抑制。

現有方法[4-9]設計出的與波形長度相同的非匹配濾波器得到的旁瓣層未達到滿意的效果。為獲得良好的旁瓣抑制效果，往往采用超過信號長度2倍以上甚至更長的非匹配濾波器序列。為改善上述情況，本文研究恒模波形和非匹配濾波器聯合設計問題。在設計過程中，非匹配濾波器長度與波形長度相同，以最小化旁瓣層作為優化問題的目標函數，結合交替方向乘子法求解最優非匹配濾波器，將目標函數拆成多個子問題分開求解。此外，本文還將上述方法擴展用于給定波形時的非匹配濾波器設計問題。在實際應用中可以根據硬件平臺的自由度情況靈活選擇模型。

1 非匹配濾波器優化模型構造

1.1 恒模波形和非匹配濾波器聯合設計

令x=[x1,…,xM]T表示包含M個碼元的雷達發射信號,w=[w1,…,wM]T表示與之長度相同的非匹配濾波器序列。暫不考慮噪聲作用,采用非匹配濾波器脈壓后,長度為2M-1的輸出結果可表示為

rMMF=|wHScx|2,c∈Ω

(1)

式中:M×M的選擇矩陣Sc的u行v列的元素滿足Sc(u,v)δ(v-u-c+M),δ(·)為狄拉克函數;Ω={1,2,…,M,…,2M-1},[·]H表示共軛轉置,|·|表示絕對值。

設主瓣寬度為2N+1,[M-N,M+N]表示非匹配濾波器輸出的主瓣區域序號。把主瓣區域從Ω中去除即可得到旁瓣區域序號集合Υ。為最大限度地抑制旁瓣,本文考慮以最小化旁瓣峰值與主瓣峰值之比為目的,建立如下極小極大化優化模型

(2)

式中,b=[1,01×M-1]T,引入其可以保證解出的w首元素為α,便于在實際過程中實現對w的幅度調控。

1.2 針對固定發射波形的非匹配濾波器設計

當波形x給定的情況下,上述模型退化為非匹配濾波器設計問題

(3)

2 聯合設計優化模型求解

通過前述建模過程可以看出,公式(3)是公式(2)的簡化拓展,因此在本節將著重闡述公式(2)的求解。假設w′和x′為公式(2)的最優解,再令μ′=|(w′)Hx′|2,于是有下列歸一化過程

(4)

(5)

(6)

于是公式(5)被重新表示為

(7)

下面根據公式(7)構建出拉格朗日增廣函數

(8)

s.t. |zd|=1

wHb=α

η≥|yc|,c∈Υ

η∈[ηL,ηU]

基于ADMM算法框架[10],給出求解公式(8)的迭代算法步驟(其中t代表迭代次數):

(9)

(10)

于是公式(9)就轉化為

(11)

然后可以得出

(12)

式中：j表示虛數單位；∠表示取[*]的相位。下面定義以η,yc(t+1)為變量的階躍函數[10]

(13)

結合階躍函數的性質,公式(11)就轉換為關于η的單變量問題

(14)

fk(η)=Akη2+Bkη+Dk

(15)

式中,Ak,Bk,Dk的取值分別為

(16)

對于第k個子區間,將存在以下3種情況:

(17)

(18)

(19)

通過對各個子區間進行遍歷,可以得到K+1個Wk,設置We=min{Wk,k=1,…,K+1},e為最小值對應的索引,于是

η(t+1)=δe

(20)

(21)

(22)

s.t.wHb=α

(23)

將上述表達式簡化為

(24)

式中

結合約束條件構建拉格朗日增廣函數

(26)

通過對w求偏導數并令其為0可以得到

(27)

將其帶入到(24)式中的線性約束可以得出

(28)

(29)

易見公式(29)等價于下列形式

(30)

(31)

于是(30)式就變成關于k的單變量問題

(32)

可以解出

(33)

(34)

將公式(34)簡化成

(35)

式中

(36)

(37)

4) 更新拉格朗日乘子

λc(t+1)=λc(t)+ρ(yc(t+1)-

(38)

λd(t+1)=λd(t)+ρ(zd(t+1)-

(39)

(40)

(41)

針對計算復雜度的分析,側重每次迭代過程中比較耗費資源的乘法運算和矩陣求逆。假定序號集合Υ中元素個數為F,總迭代次數為T0,則總計算復雜度為:Ο(F2T0+2N3T0+(F+2)MT0);文獻[7]中對比算法的計算復雜度為Ο(NT0lg(N));文獻[13]中對比算法的計算復雜度為Ο(10NT0)。

3 仿真及分析

3.1 針對線性調頻信號的非匹配濾波器設計

線性調頻信號(linear frequency modulation,LFM)具有良好的脈壓性能和便捷的調制方式,其在雷達系統中得到廣泛的應用。帶寬B=10 MHz、時寬Tp=5 μs的LFM信號,采樣頻率fs=2.5B。同時設置N=3,ρ=2,α=1,[ηL,ηU]=[10-7,1],最大迭代次數T=20 000。

在本實驗中(實驗1),將采用4種方法:匹配濾波器、加Hamming窗、QCQP方法產生的非匹配濾波器[11]、本文方法(方法1)得到峰值旁瓣輸出情況、3 dB主瓣寬度進行對比。定義歸一化峰值旁瓣水平

(42)

通過圖1的實驗結果可以看出,在設定的旁瓣區域上,匹配濾波器、QCQP[11]、Hamming窗以及本文方法的峰值旁瓣表現分別為-14.13,-34.27,-36.18,-38.16 dB;結合反映3 dB主瓣寬度的子圖表明,QCQP方法[11]和本方法可以實現與匹配濾波器相同的主瓣寬度,而本方法獲得的旁瓣更低。

圖1 4種方法輸出情況對比(實驗1)

通過圖2迭代情況可以看出,本方法在1 000次迭代后就實現收斂,這說明本文方法具備較好的收斂性。

圖2 歸一化旁瓣隨迭代次數變化趨勢(實驗1)

根據前述采樣頻率計算出距離門ds=c/2fs,c為光速。以文獻[12]中擴展目標SR-71偵察機的散射特征為例,設置5個主散射點，距離分布和信噪比設置如表1所示(噪聲為高斯白噪聲)。

表1 主散射點時域特征

圖3結果表明:①匹配濾波器方法在散射點1和2的周圍出現很高的旁瓣,極易出現虛警;②加Hamming窗的方法雖然可以有效抑制旁瓣,但分辨率下降造成無法有效區分散射點1和2;③QCQP[11]方法雖實現旁瓣抑制和較高分辨率,但本文方法可以與之相比具有更低的旁瓣水平和同等的分辨率。④對于間距過近的散射點3和4,4種方法都無法分辨。

圖3 目標特征提取情況(實驗1)

3.2 恒模波形和非匹配濾波器的聯合設計

在本小節中(實驗2),匹配濾波器方法和LFM信號仍將會被納入到對比范圍中,在此控制待設計波形與LFM具有相同的帶寬。新LFM信號的帶寬B=50 MHz、時寬Tp=2 μs,采樣頻率fs=2B。本文設計出來的相位編碼信號,其帶寬為時寬的倒數,碼元數M=100,其余參數設置為N=0,ρ=2,α=0.001 6,[ηL,ηU]=[10-6,10-2]。

通過圖4的結果可以看出,匹配濾波器、文獻[7]方法、文獻[13]方法及本文聯合設計方法(方法2)在設定旁瓣區域內的峰值旁瓣分別為-13.49,-33.2,-39.09,-44.01 dB;同時說明,通過結合發射端自由度開展恒模波形設計,3 dB主瓣寬度將會得到顯著減小。從圖5迭代情況可以看出,在約1 000次迭代后,本方法基本達到收斂。圖7表明,設計出來的波形吻合恒模約束。

圖4 4種方法輸出情況對比(實驗2) 圖5 歸一化旁瓣隨迭代次數變化趨勢 圖6 目標特征提取情況(實驗2)(實驗2)

沿用表1散射點參數,通過圖6的仿真結果可以看出:①匹配濾波器仍然表現出較高的旁瓣,散射點周圍的旁瓣會形成虛警;②本方法的目標特征提取效果不僅具有超越實驗1的分辨率,還具有低于文獻[7]及文獻[13]方法的旁瓣。

圖7 波形幅度(實驗2)

4 結 論

根據雷達發射端可利用自由度情況，本文提出2種優化模型，其以設定旁瓣區域內峰值旁瓣水平最小化為目的實現旁瓣抑制。針對固定體制的發射端，本文設計出與發射波形等長的非匹配濾波器；針對可進行波形優化的發射端，本文提出恒模波形和非匹配濾波器的聯合設計。仿真實驗結果表明，本次提出的2種算法不僅具有良好的收斂性，而且在目標探測上具有良好的分辨率和干擾抑制效果。