含間隙的3K型行星減速器動力學仿真研究

李永聰，袁 森，2，樊戰軍

（1.貴州大學機械工程學院，貴州 貴陽 550025；2.貴州理工學院機械工程學院，貴州 貴陽 550003；3.貴州航天天馬機電科技有限公司，貴州遵義 563000）

1 引言

行星減速器是導彈發射車轉塔的重要組成部件，其傳動精度在大慣量、高轉速的情況下，對系統控制精度及穩定性有很大影響。

在行星齒輪傳動誤差影響因素及計算研究上，文獻[1]指出了主要影響因素的概率分布規律，基于理論方法對傳動誤差進行了計算和試驗驗證；文獻[2]對RV減速器傳動誤差影響因素進行了敏感性分析，得出上級間隙較下級對傳動誤差影響小，齒槽偏差與軸承間隙對傳動誤差影響較大；文獻[3]利用ADAMS軟件對RV減速器進行了動力學仿真，認為外形尺寸誤差與偏心誤差對傳動精度影響最大，且與影響程度傳動比直接相關，并進行光柵試驗進行了驗證。

但以上研究僅討論了不同間隙誤差對傳動精度的影響程度，均未從理論上分析不同間隙之間的耦合關系。文獻[4-5]提出了行星齒輪各間隙之間存在耦合關系，利用Newmark法進行了數值仿真，得到結果證明轉速、間隙和負載對傳動精度和穩定性有一定影響，但僅為定性分析，未給出定量區間或數值，且求解方法較為復雜，對實際工程問題的求解將更為困難。

在以上相關研究的基礎上，對導彈發射車轉塔的減速器進行了動力學建模，并利用ADAMS軟件進行了多組動力學仿真，分析了在不同間隙、轉速和負載下的減速器動力學響應特性，給出了相關參數取值區間，在工程實踐中效果較好。

2 含間隙減速器動力學建模

3k型行星齒輪減速器為研究對象，如圖1所示。

圖1 3K型行星減速器Fig.1 3K Planetary Reducer

其結構主要包括：太陽輪s、左側3個大行星齒輪Pi（i=1-3）、大內齒圈R、行星架c、右側3 個小行星齒輪Pj（j=1-3）小內齒圈R′。其中兩級行星輪通過焊接固連為一體，即轉速一致。

為建立多間隙耦合的齒輪系統動力學模型提出以下假設：

（1）齒輪系統為平面系統，不考慮軸向運動：

（2）減速器系統為剛性系統：

（3）太陽輪為輸入輪，不考慮徑向跳動。

在減速器中軸承處存在徑向間隙，輪齒間存在齒側間隙。在嚙合過程中，由于振動的存在，軸承處的徑向間隙變化會導致實際中心距的變化，進而導致齒側間隙發生變化。

因此，在考慮行星齒輪內部振動關系前，首先對齒輪的軸承間隙與齒側間隙耦合關系進行分析。

單對齒輪副的多間隙耦合模型，如圖2所示。

圖2 多間隙耦合模型Fig.2 Multi-Gap Coupling Model

包括主動齒輪p和從動齒輪g兩部分。圖中：Obp和Obg—主、從動輪的軸承中心，由于軸承徑向間隙的變化，使得主、從動輪的回轉中心Orp和Org偏離各自軸承中心。

此時中心距將發生變化，進而影響到齒側間隙bt的變化，由此體現兩種間隙耦合關系。

根據達朗貝爾原理，真實力系與慣性力系構成形式上的平衡力系。參考文獻[6]建立的多間隙耦合的單對齒輪動力學模型，即：

式中：I、θ、R、T、m、δ—轉動慣量、轉角、半徑、轉矩、質量和位移；F（t）—齒側嚙合力；f（t）—軸承處徑向沖擊力。

該減速器應用于重載工況，且水平安裝，故不考慮齒輪重力的影響。在此基礎上建立3K型行星減速器系統動力學模型，如式（2）所示。

式中：角標中s—太陽輪；Pi，j（i，j=1，2，3）—行星輪；r—固定的減速器大齒圈；r′—輸出動力的減速器小齒圈；x/y—在兩個方向上的分量。

3 虛擬樣機模型建立與驗證

利用三維建模軟件UG建立減速器及與轉塔相連的大齒圈（下簡稱大齒圈）簡化三維模型，相關參數，如表1所示。

表1 各齒輪參數表Tab.1 Table of Various Gear Parameters

大齒圈為模擬負載，不對其進行動力學分析。分析模型為簡化模型，不考慮外殼、潤滑油、減重孔等的影響：各軸承處簡化為軸孔配合。導入到ADAMS后，如圖3所示。

圖3 減速器及負載大齒圈虛擬樣機模型Fig.3 Reducer and Load Large Ring Gear Virtual Prototype Model

主要設置為：各齒輪材料均為steel，楊氏模量為（2.07×105）MPa，泊松比為0.29。太陽輪與大齒圈設轉動副使其繞各自幾何中心定軸轉動（無徑向跳動），減速器內齒圈r與大地固連，大小行星齒輪分別對應固連，其余各相鄰構件均設為力接觸，取消重力選項。參考文獻[7-9]在前處理中設定軸承徑向接觸剛度為（1.33×107）N/m，阻尼為50N·s/mm：行星齒輪副嚙合剛度為（7.72×107）N/m，阻尼為50N·s/mm，輸出端齒輪副嚙合剛度為（1.09×106）N/mm，阻尼為50N·s/mm。最大穿透量0.1mm，各齒輪副力指數e=1.3，靜摩擦系數0.08，動摩擦系數0.05，靜平移速度0.1mm/s，摩擦平移速度10mm/s。理論計算得到傳動比為69，設置太陽輪輸入轉速為50000deg/sec，理論輸出轉速應為724.64deg/sec。仿真數據，如圖4所示。得到輸出轉速均值為726.61deg/sec，計算得到相對誤差為0.27%，證明模型準確可靠，滿足仿真要求。

圖4 減速器輸入/輸出轉速Fig.4 Reducer Input/Output Speed

4 動力學仿真與結果分析

4.1 間隙對減速器動力學特性的影響

減速器系統內部間隙主要分為軸承處的徑向間隙和齒輪副間的齒側嚙合間隙。軸承處間隙可以通過調整軸孔直徑進行設置：由于行星齒輪同時存在外嚙合和內嚙合，無法通過改變中心距進行調整，故而對行星齒輪進行負變位以調整齒側間隙。分別設置A.無間隙：B.徑向間隙0.1mm、齒側間隙0.1mm：C.徑向間隙0.2mm、齒側間隙0.2mm共3組對照試驗。由于大齒圈與發射車轉塔通過螺栓連接為整體，故可在上一節模型的基礎之上，通過對大齒圈慣性負載進行調整以模擬大負載工況。設置輸入轉速為30000deg/s，大齒圈質量及轉動慣量調整為自身的10倍（下稱10倍負載），仿真結果如下。

4.1.1 角速度變化曲線

由圖5可知，間隙大小對減速器運轉穩定性影響非常明顯。隨著間隙的增大，輸出齒輪轉速收斂速度越慢參考圖2 及動力學方程（2），可以分析出隨著間隙逐漸加大，齒輪活動空間變大，接觸力為隨位移變化的函數（F=mX¨ +CX˙+KX），所以內部沖擊將增大，不規則碰撞次數增加，故而穩定速度隨之減慢。

圖5 不同間隙下輸出齒輪轉速變化曲線Fig.5 Output Gear Speed Variation Curve Under Different Clearances

4.1.2 齒側嚙合力變化曲線

不同間隙下輸出齒輪齒側嚙合力變化曲線，如圖6所示。由圖6中可知，間隙對嚙合力影響非常明顯，3種情況下嚙合力平均值分別為2524.91N、44717.36N、97573.40N。無間隙時減速器在0.1s左右進入穩定狀態：徑向及齒側間隙為0.1mm時在0.8s左右進入穩定狀態：間隙為0.2mm時，減去器在1s內未呈現收斂趨勢，顯然不能滿足實際要求，與（1）結論一致。在10倍慣性負載下，齒側嚙合力始終保持在較高數值，說明減速器內部持續存在高沖擊力，這對減速器壽命和精度影響很大，所以軸承徑向間隙和齒側間隙應嚴格控制在0.2mm以內。

圖6 不同間隙下輸出齒輪齒側嚙合力變化曲線Fig.6 Output Gear Meshing Force Variation Curve Under Different Clearances

4.2 慣性負載對減速器動力學特性的影響

通過對大齒圈的質量及轉動慣量進行調整，分析慣性負載大小對減速器系統動力學響應的影響規律。分別取大齒圈慣性負載為1倍負載（即空載）、5倍負載、10倍負載。其余設置為：軸承處設有0.1mm徑向間隙，0.1mm齒側間隙以模擬工作間隙，驅動為30000°/s恒轉速輸入、仿真時間1s、仿真步數500步，仿真結果如下。

4.2.1 角速度變化曲線

方向機末端輸出齒輪在不同慣性負載下，角速度隨時間的變化曲線，反映了其在回轉方向上的運動學特性，如圖7 所示。由圖中可以看出，隨著負載變大，啟動初始階段角速度幅值逐漸下降，但收斂速度也隨之下降。這說明慣性負載越大，雖然在啟動的短時間內會使輸出角速度跳動幅度降低，但減速器不平穩運轉時間將持續更長。

圖7 角速度變化曲線Fig.7 Angular Velocity Curve

4.2.2 齒側嚙合力變化曲線

末端輸出齒輪在不同慣性負載下，與大齒圈之間在Y方向上的齒側嚙合力變化曲線，如圖8所示。可以看到三種情況下，沖擊力均隨時間作周期變化，且負載越大周期越長。隨著負載加大，起步階段沖擊力明顯增加，且持續時間更長。由4.2.1、4.2.2可以得到結論：負載的增加將導致系統穩定性下降，且齒側嚙合力大幅增加。考慮到發射車轉塔對精度的要求，在總體設計階段應盡量減輕轉塔部分質量，以提高回轉穩定性及回轉精度。

圖8 齒側嚙合力變化曲線Fig.8 Flank Engagement Force Curve

4.2.3 徑向跳動曲線

輸出齒輪轉動中心相對于軸承中心的運動軌跡，如圖9 所示。用于描述齒輪在傳動過程中的徑向跳動，圖中橫、縱坐標分別為質心X、Y方向位移。從圖中可以看出，齒輪轉動中心在啟動時刻與軸承中心重合，啟動后轉子由于離心力的作用向間隙的邊緣運動，直到與軸承發生接觸碰撞。經過多次碰撞后，轉子逐漸穩定在徑向間隙的邊緣，與軸承處于連續接觸狀態，同時還會伴有小幅的跳動。隨著負載的加大，其轉動半徑在原有人為設置的間隙基礎上逐漸增大，同時逐漸趨近于貼合最大范圍運轉且更為順滑。分析原因可知，負載的增加會導致離心力增加，脫齒和齒背沖擊減少。變形量增加進而導致輸出齒輪振幅變大，但小幅不規則跳動減少，運轉趨于平順。

圖9 徑向跳動曲線Fig.9 Radial Runout Curve

4.3 轉速對減速器動力學特性的影響

發射車轉塔根據實際工況，需要在不同的轉速下進行方位回轉。輸入轉速分別設置為10000°/s、30000°/s和50000°/s，徑向間隙為0.1mm，齒側間隙為0.1mm、慣性負載為10倍負載，進一步分析轉速對減速器的影響。仿真結果如下：

4.3.1 角速度、質心位置變化曲線

不同轉速下，輸出齒輪轉速和質心位置的跳動幅值變化曲線，如圖10、圖11所示。由圖中可以看出，啟動階段角速度跳動幅值沒有明顯差異，且均在0.1s左右三進入平穩狀態：質心位置的跳動幅值也沒有明顯差異。

圖10 輸出齒輪角速度曲線Fig.10 Output Gear Angular Velocity with Input Speed Curve

圖11 輸出齒輪質心徑向跳動曲線Fig.11 Output Gear Centroid Radial Runout Curve

4.3.2 齒側嚙合力變化曲線

不同轉速下，輸出齒輪Y方向齒側動態嚙合力隨時間的變化曲線，如圖12所示。由圖中可以看出，轉速越大，啟動階段齒側動態嚙合力越大，但對收斂速度基本沒有影響，均在0.1s內進入平穩狀態。

圖12 輸出齒輪齒側嚙合力隨輸入轉速變化曲線Fig.12 Output Gear Side Gear Meshing Force as a Function of Input Speed

對穩定后（0.5～1.0）s內各采樣點數值進行對比分析，轉速分別為10000°/s、30000°/s、50000°/s時齒側嚙合力均方根值分別對應為2392.0543N、514.3786N、1867.6275N，由圖中可以看到穩定后為近似正弦曲線的小幅波動，數值相較于初始階段均較小，可認為平穩運轉階段轉速對齒側嚙合力影響作用很小。

由前文可以得到結論：整體來看，轉速變化對減速器系統穩定性及齒側嚙合力影響較小。減速器在高轉速時，啟動階段穩定性相對較差且齒側沖擊較大，但在進入平穩運轉階段后穩定性有一定改善，且好于低轉速工況。實際工況下減速器輸入轉速不大于50000°/s，所以在設計控制系統時，可不用著重考慮輸入轉速。

4.4 減速器工程應用實例

實際減速器內部構造圖，經實際測量，各處間隙均不大于0.2mm，如圖13所示。實車調試過程中發現，滿載工況較空載工況振動沖擊明顯，但均在可接受范圍內：在不同轉速工況下運轉均較為平穩，未出現明顯差別，與仿真結論基本一致。基于以上ADAMS模型與MATLAB進行機電聯合仿真調試，所得的控制系統應用到實車上效果良好，說明該含間隙虛擬樣機模型能較好地表征減速器動力學特性。

圖13 減速器內部構造Fig.13 Reducer Internal Structure

5 結論

（1）從理論上分析了多間隙的耦合關系，建立了考慮多間隙耦合的3K型行星減速器的動力學模型和虛擬樣機模型，并證明了準確性：

（2）間隙大小對減速器穩定性及輸出齒輪齒側嚙合力影響很大。間隙越大，系統啟動階段穩定性越差、沖擊力越大且持續時間越長。當徑向間隙和齒側間隙均達到0.2mm時，輸出齒輪的轉速及齒側嚙合力將不收斂，不能滿足實際要求，應對間隙嚴格控制：

（3）隨著慣性負載的增加，減速器穩定性下降，輸出齒輪齒側沖擊明顯增加，且對二者影響的時間持續越長。但不規則跳動減少，平順性有所改善：

（4）轉速變化對減速器系統穩定性及齒側沖擊影響較小。在工程運用中，轉速可調整范圍較大。