干擾觀測器與滑模控制結合的機械臂跟蹤控制

周名偵，廖志青

（1.廣東交通職業技術學院，廣東 廣州 510800；2.華南理工大學廣州學院，廣東 廣州 510800）

1 引言

當前機械臂越來越多地應用于高精密產品裝配、手術治療等方面，對機械臂末端定位和減小抖振提出了更高要求，但是由于設計公差、參數變化、建模誤差和外部擾動等原因使機械臂精確控制成為一個難點，具有重要的研究價值。總得來講，機械臂軌跡跟蹤控制方法可以分為PID控制、魯棒控制、模糊控制、神經網絡控制等。PID控制具有不依賴機械臂模型的優點，但是PID控制的啟動力矩過大，容易損傷機械臂，系統穩定后運動品質較差[1]。

魯棒控制對外部擾動、參數變化等有很好的控制效果，文獻[2]將自適應算法與魯棒控制相結合，有效減小了系統可變化參數對控制效果的影響；模糊控制主要依賴專家經驗設計模糊控制器，最大的優點是無需建立控制對象的數學模型，缺點是調節參數多、工作過程繁瑣，模糊邏輯要求專家經驗[3]。

神經網絡控制具有學習能力、容錯能力和魯棒性，在機械臂控制中應用較多，缺點是需要大量的訓練和學習樣本[4]，文獻[5]使用神經網絡逼近系統模型，使用魯棒控制削弱逼近誤差和外界干擾，取得了較好的控制效果。

研究機械臂軌跡跟蹤控制問題，對于系統存在的內部或外部擾動，設計了干擾觀測器和非線性滑模控制相結合的軌跡跟蹤方法，旨在提高機械臂軌跡跟蹤的精度和速度。

2 機械臂建模與控制方案

2.1 機械臂動力學模型

機械臂動力學模型建模方法包括牛頓-歐拉法和拉格朗日方程法兩種，其中拉格朗日方程法無需研究相互間的作用力，更加簡捷，因此使用拉格朗日方程法建立機械臂動力學模型，其表達式為：

式中：qi—各關節角位置；Ti—各連桿控制力矩；L—拉格朗日算子，

L=K-P；K—機械臂系統總動能；P—機械臂系統總勢能。

機械臂系統總動能K和總勢能P的計算方法可參考文獻[6-7]，這里不再贅述。將機械臂系統動能與勢能代入式（1），得機械臂動力學方程為：

式中：M(q)—機械臂慣量矩陣；C(q，q˙)—向心力和哥氏力矩陣之和；g(q)—重力矩陣；T—控制力矩；q—關節角位置矩陣。

2.2 控制方案

機械臂軌跡跟蹤誤差來源于以下幾個方面：（1）機械臂零部件的設計公差、裝配誤差等；（2）未建模動態的存在；（3）外部干擾的影響；（4）機械臂參數的變化。將以上擾動或誤差分為可觀測部分和不可觀測部分，對于可觀測部分擾動，通過設計干擾觀測器估計擾動大小，在控制器中進行補償；對于不可觀測部分，使用滑模變結構進行控制，達到提高控制精度的目的。本文設計的機械臂軌跡跟蹤控制方案，如圖1所示。

圖1 機械臂軌跡跟蹤控制方案Fig.1 Manipulator Trajectory Tracking Control Scheme

圖中：qd—機械臂期望角位置；x1—角位置誤差；T0—滑模控制器輸出控制量；T—擾動補償后控制量；d—可觀測擾動；d^—擾動觀測值；Td—補償力矩；q—機械臂實際角位置。

3 干擾觀測器設計

3.1 干擾觀測器設計原理

干擾觀測器設計原理是將系統擾動前狀態與擾動后狀態輸入到觀測器進行對比，將其差值作為擾動量的估計值，原理框圖，如圖2所示。

圖2 干擾觀測器原理圖Fig.2 Principle of Disturbance Observer

圖2中G(s)為機械臂系統傳遞函數，擾動觀測值為：

3.2 干擾觀測器實現方法

干擾控制器實現的基本思路是，使用擾動實際值與觀測值之間的誤差對觀測值進行調整，達到減小誤差的目的。基于此思路，將干擾觀測器初步設計為：

因此只要令L(q，q˙)=diag(c1，c2，…，cn)，且ci＞0，i=1，…，n，就能夠保證干擾觀測器的漸進穩定性，且觀測器的收斂速度通過改變ci值進行調整。

為了給出干擾觀測值的計算方法，定義二維輔助向量z∈R2為：

3.3 加入干擾觀測器的動力學模型

圖1中前饋補償模塊設置為單位矩陣，即Td=d^。當機械臂系統中存在擾動d時，若控制系統中不加入干擾觀測器，則機械臂系統動力學方程為：

對比式（10）與（11）可知，加入擾動觀測器后，系統的擾動力矩由d減小為觀測誤差e，由此可以看出，加入干擾觀測器可以有效減小擾動力矩。

4 非線性滑模控制器設計

機械臂系統為常見的非線性系統，且存在外部干擾和未建模動態等諸多不確定因素，第3節中使用干擾觀測器減小了可觀測擾動的影響，對于不可觀測擾動和其他不確定因素，這里設計非線性滑模控制器削弱其影響。

4.1 滑模面設計

滑模控制包括兩個關鍵內容：（1）滑模面的設計；（2）依據滑模面設計控制律[9]。滑模控制是指通過控制量的切換，使系統狀態在滑模面上滑動，直至運動到系統原點。對于任意一個系統，由系統狀態構造一個切換面s=0，此切換面將系統空間分為s＞0和s＜0兩個部分，在切換面s=0上存在A、B、C三類點，如圖3所示。點A稱為穿過點，點B稱為起點，點C稱為止點，若某個平面或某個區域全部為止點，則此平面或此區域稱為滑模面，系統狀態在滑模面上的運動稱為滑模運動[10]。

圖3 切換面示意圖Fig.3 Switching Surface Sketch

因此，式（13）設計的切換面s= 0 是滑模面，且具有漸進穩定性。

4.2 控制律設計

因為機械臂系統中存在不可觀測擾動和未建模動態等不確定因素，控制律設計為等效控制項和變結構控制項之和，等效控制項用于控制系統確定部分，變結構控制項用于控制系統不確定部分，即用于控制不確定因素對系統的影響，增加系統魯棒性，此時控制律為：

式中：Teq—等效控制項；

Tvss—變結構控制項。

（1）等效控制項Teq的設計方法。等效控制項用于控制系統的確定部分，當系統狀態進入滑模面后，能夠控制系統狀態在滑模面內運動，直至滑動到原點，此時要求s=0且s˙=0，將式（12）與（14）代入s˙=0，得：

（2）變結構控制項的設計方法。變結構控制項用于控制系統的不確定部分，鑒于準連續高階滑模控制具有收斂速度快、控制精度高、魯棒性好、抖振相對較小等優點，本文使用準連續高階滑模設計變結構控制項Tvss，參考文獻[11]可知，變結構控制項Tvss為：

式中：k^—自適應滑膜增益，要求自適應增益k^ ≥Δmax，Δmax-不確定因素的上界。

將式（18）和式（19）代入式（16），可以得到最終使用的非線性滑模控制律。

5 仿真驗證

這里設置三組仿真實驗，（1）在不加入干擾觀測器的情況下，使用傳統滑模控制對機械臂軌跡進行跟蹤；（2）在不加入干擾觀測器的情況下，使用非線性滑模控制進行軌跡跟蹤；（3）在加入干擾觀測器的情況下，使用非線性滑模控制進行軌跡跟蹤。通過比較一、二組實驗，可以比較傳統滑模控制與非線性滑模控制的跟蹤效果；通過比較二、三組實驗，可以看出干擾觀測器在軌跡跟蹤中的作用。

5.1 仿真初始條件設計

仿真實驗在Matlab/Simulink平臺上執行，對照圖1將Simulink軟件中各相應模塊連接，構造出機械臂軌跡跟蹤的Simulink圖。以兩連桿兩關節剛性機械臂為控制對象。對于式（10）給出的機械臂動力學方程，各矩陣為：

式中：g=9.8m/s2—重力加速度；

m1、m2—連桿1和連桿2的質量；

l1、l2—連桿1和連桿2的長度；

q1、q2—連桿1和連桿2轉動角度，如圖4所示。

圖4 兩連桿兩關節機械臂Fig.4 Manipulator with Two Linkages and Two Joints

式（10）中的擾動力矩d考慮庫倫摩擦和粘性摩擦，即兩連桿擾動均為d=zsgn(q˙)+kq˙，其中z=0.5、k=1。連桿1和連桿2初始轉動角度為q1=0、q2=0，期望軌跡為qd=[sint，sint]。

仿真用機械臂的參數為：m1=1kg，m2=1.5kg，l1=1.0m，l2=0.8m。

5.2 軌跡跟蹤結果及分析

在不加入干擾觀測器情況下，傳統滑模控制對機械臂軌跡跟蹤的結果如，如圖5所示。非線性滑模控制對機械臂軌跡的跟蹤效果，如圖6所示。

圖5 傳統滑模控制的軌跡跟蹤結果（不加入觀測器）Fig.5 Trajectory Tracking Result by Traditional Sliding Mode Control without Observer

圖6 非線滑模控制的跟蹤結果（不加入觀測器）Fig.6 Trajectory Tracking Result by Nonlinear Sliding Mode Control without Observer

對比圖5和圖6對機械臂軌跡的跟蹤效果，對于關節1的軌跡跟蹤，圖5使用傳統滑模控制，在2s時依然存在較大的抖振，3s時才逐漸穩定；圖6使用非線性滑模控制，在0.4s時就能夠穩定跟蹤期望軌跡，不存在長時間的抖振現象。對于關節2，傳統滑模控制和非線性滑模控制對軌跡的跟蹤均存在一定的滯后性，跟蹤誤差較大。總的來講，與傳統滑模控制相比，非線性滑模控制能夠有效減小抖振，具有更好的控制效果。這是因為非線性滑模控制律依據非線性滑模面設計，更加符合機械臂非線性系統的特點，同時非線性滑模控制律中考慮了不確定因素的影響，因此非線性滑模控制效果優于傳統滑模控制。

在加入干擾觀測器的情況下，使用非線性滑模控制跟蹤機械臂的期望軌跡，結果，如圖7所示。

圖7 非線性滑模控制的跟蹤結果（加入觀測器）Fig.7 Trajectory Tracking Result by Nonlinear Sliding Mode Control with Observer

對比圖6和圖7加入擾動觀測器前后的軌跡跟蹤效果，加入擾動觀測器后，關節1和關節2在0.2s后能夠精確跟蹤期望軌跡，跟蹤誤差幾乎為0；而未加入擾動觀測器時，關節1和關節2均存在一定的跟蹤幅值誤差和相位誤差。跟蹤效果的差別充分證明了擾動觀測器在軌跡跟蹤中的有效性，這是因為通過對擾動的觀測，進而對控制力矩進行補償，是一種消除擾動影響的主動措施，能夠有效抑制擾動產生的軌跡跟蹤誤差。

為了進一步比較傳統滑模控制、非線性滑模控制、加入干擾觀測器的非線性滑模控制結果，統計三種方法穩定跟蹤的時間和第一次到達期望軌跡后的最大跟蹤誤差，結果，如表1所示。

表1 不同方法的跟蹤結果Tab.1 Tracking Result by Different Method

由表1中數據可知，加入干擾觀測器的非線性滑模控制的軌跡跟蹤誤差比另外兩種方法減小了一個數量級以上，穩定跟蹤軌跡的時間也最短，這是因為系統中存在的可觀測擾動，使用觀測器進行觀測后及時調整控制力矩，主動消除可觀測擾動的影響；對于不可觀測擾動，使用非線性滑模控制減小其帶來的抖振和跟蹤誤差，因此取得了極高的控制精度和較好的控制效果。

6 結論

這里研究了機械臂的軌跡跟蹤控制問題，將擾動分為可觀測部分和不可觀測部分。對于可觀測擾動，設計了干擾觀測器，根據觀測值設計力矩補償值，減小可觀測噪聲影響；對于不可觀測擾動，設計了非線性滑模控制器，用于減小不可觀測擾動引起的抖振和跟蹤誤差，最終取得了較高的跟蹤精度和較好的跟蹤效果。