解決倍比問題 經歷分數產生

朱紅利 邵漢民

摘要：“倍”是小學階段重要的概念，又是比較抽象的概念。倍是通過兩個量的比較而產生的，它的本質是用分數表示兩個數量倍比的結果。本課試圖打破傳統教學慣性，以分數是怎樣產生的為路徑，大膽而科學地對教材進行重新組織，讓學生經歷分數的產生過程;并與第一課時進行比較，感知分數產生的異同，從而拓展和加深對分數意義的理解

關鍵詞：分數的意義;倍比;分數的產生

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A

人教版“分數的意義和性質”教學線索是“分物”→“平均分除法→”“除法比較”這樣的順序安排的。但回溯分數產生的歷史背景，它的產生可以分成三方面，分別是“分物”“測量”“除法比較”。從分數產生與形成的過程來看，教材這樣的教學設計雖然也關注到了分數產生的背景，但沒有充分地加以展示。

基于此，本課例試圖從單元整體設計的角度出發，以分數產生和形成的三種路徑組織教學，本節課教學順序調整為第二課時，是在學生掌握了分數的產生之一--“分物”中產生分數為前提進行的實踐研究。因此，分數的意義2--解決倍比問題，并不僅僅是讓學生掌握解題方法，更重要的是讓學生經歷分數產生的過程，感受到分數產生的必要性，體會分數意義建構的多元性。

一、創設情境，探討問題并歸類

（一）閱讀信息，提出數學問題

新課標指出：“數學學習，要緊密聯系學生的生活環境，從學生的經驗和已有知識出發，創設有助于學生自主學習、合作交流的情景?！苯滩睦?提供的教學情境已充分滿足學情，于是我們在單元整體設計的前提下，又對它進行了增刪--刪去2個問題：“鵝的只數是鴨的幾分之幾？”、“雞的只數是鴨的幾倍？”同時增加一個問題導向：“根據以上信息，請你選擇其中2個條件來提出相應的數學問題”。

于是，在短暫的討論后進行分組落實，要求每個學生把提出的問題寫到作

業紙上，并嘗試著寫出答案。如第一組解決雞和鴨的問題;第二組解決雞和鵝的問題;第三組解決鴨和鵝的問題;還有一組自由選擇提問。

（二）比較類別，體會問題差異

學生在充分的思考后，每組提出了各自的問題，整理如下：

1、雞和鴨（或雞和鵝、鴨和鵝）一共有多少只？

2、雞比鴨（或雞比鵝、鴨比鵝）多幾只？

3、雞是鴨（或雞是鵝、鴨是鵝）的幾倍？或者鴨是雞的幾分之幾？

集體交流反饋階段，有組員提出某一類問題時，教師要及時引導其他組員反饋同類型的問題，這樣學生很容易找到各自問題的歸屬，體會到問題的差異。

運用所學，解決舊有問題

教師根據課堂討論的結果，每類問題選擇一個進行板書，并詢問解決此類問

題的方法和答案。很明顯，學生很快能解決第一類和第二類問題，分別是求和（用加法）如：10+20=30（只）;求差（用減法）如：20-10=10（只）。特別是第二類求兩個數的差，同一個算式同一個得數可以解決兩個不同表達方式的問題，如雞比鴨多10只，反過來可以說鴨比雞少10只。這與第三類問題兩種表達方式的對比，雞是鴨的幾倍？反過來可以說鴨是雞的幾倍一樣嗎？這里為下面解決倍比問題理解單位“一”的不同埋下伏筆。

二、幾何直觀，解決問題并歸納

（一）自主嘗試，經歷探究過程

經過第一階段的問題歸類，學生初步感知到了第三類問題的表述方式：“一個數是另一個數的幾分之幾（幾倍）”，它與求和、求差是不同類型的問題，確定它就是本節課的研究重點，從而進入新課的探究過程。

選定范例，探求結果。

“雞是鴨的（ ）倍？”，這個問題，學生在三年級學過用除法求倍數，所以以它作為教學的切入口，確定范例。大部分學生都能說清楚，比如：雞和鴨比，把鴨作為標準量，也就是20是10的2倍。20÷10=2

反向推導，探究方法。

有了2倍的基礎，老師順勢提問，“雞是鴨的（2 ）倍，”反過來可以怎么說？學生很快就能說出鴨是雞的二分之一，很自然地能感受到二分之一也可以表示兩個數量比較的結果，接著結合圖示解釋二分之一的意義;最后小結計算的方法：10÷20=或（）。讓學生結合圖示說明兩個分數的異同，這無意中滲透了分數的基本性質，又讓學生明確了比表達更簡潔方便的優勢。

對比減法，確定單位。

減法可以用同一個結果同一個算式表示2個不同表述的問題，那“雞是鴨的2倍”，可以說成“鴨是雞的2倍”嗎？為什么不可以？引導學生結合圖示找準單位一，明確因為單位一的不同，所以兩者正反用除法比較結果是不同的。

“雞是鴨的（ ）倍？”，鴨的只數是單位一，雞和它比，也就是20是10的2倍。 “鴨是雞的（ ）”，雞的只數是單位一，鴨和雞比，只有雞的一半，也就是10是20的。

（二）依據圖示，表達分數轉化

小學高年級學生的思維特點是他們的抽象思維在很大程度上還需要直觀形象思維的支撐，所以在具體教學中要幫助學生化抽象為直觀，在探究環節反饋交流時，就是讓學生自主選擇并運用直觀的圖示，通過圈一圈，劃一劃等的方法來說明分數的具體含義，這對于順利開展教學是十分必要的。

下面是“鴨的只數是鵝的（ ?）”這一環節的課堂實錄：

師：“鴨的只數是鵝的（ ?）？”，請你結合圖示進行解釋。

生：鴨有10只，鵝7只，把鵝當作單位一，平均分成7份，鴨有這樣的10份，也就是10÷7=

師：這個得數有不一樣的表示嗎？

生：有，還可以用來表示。鴨有10只，鵝7只，把鵝看作單位一，平均分成7份，鴨有同樣多的一個單位（同樣多的部分用了虛線上下對應），還比鵝多了3份，也就是多了，所以10÷7=。

（三）整體感知，提煉內在聯系

師：回顧今天所研究的內容，你有什么發現？

引導學生觀察板書的4個問題和算式，進一步發現了倍比問題兩個量（劃橫線的是單位一的量）的內在聯系，并抽象得到了概括性的表達方式：

一個數a是另一個數b的（ ）？ ? → ? ?a÷b=（b≠0）

學生經歷了分數這樣的產生過程，知道了分數不僅可以用來表示兩個量倍比的關系，還知道了求一個數是另一個數的幾分之幾或者幾倍本質上是一樣的，都可以用除法來計算，用分數來表示倍比的結果。

三、設計題組，感知相同與差異

（一）比較分析，體會相同之處

分數的意義第一課時，學生經歷了分數產生的過程之一，通過“分物”得到分數;第二課時學生又經歷了分數產生的另一個過程，通過兩個數的倍比來得到。為了讓學生對兩者有更深入的了解，教師在練習環節設計了一個題組，讓學生來進行對比發現。

題組：六一節501班有5個男生，6個女生表演節目;張老師買了5米的紅綢帶分給表演的女生。①平均每個女生分到幾米紅綢帶？②男生人數是女生的幾分之幾？

經過獨立計算，大部分學生得到了兩個這樣的算式：

①5÷6=（米） ?②5÷6=

教師進一步引導學生：請你再對比下這兩道題目，發現它們有什么相同點：

生：都可以用除法計算，而且這兩個問題的得數都與分數有關。

（二）深入研究，發現不同之處

教師繼續拋磚引玉：請你再深入思考，發現它們有什么不同？

經過小組討論，交流匯報，總結了3處不同：

組1：第一個算式的得數是帶數量單位的，表示具體長度。第二個得數沒有單位，表示一種關系。

組2：兩個分數的意義不同：第一個分數表示把5米的紅綢帶平均分成6份，每人分到米;第二個分數表示男生人數是女生的六分之五。

組3：這兩個分數的產生不同：第一個米是分物得到的;第二個是兩個量的比較（教師強調補充：倍比）得到的。

這個環節教師放手讓學生觀察、比較、分析，進一步強化了分數產生的兩種方式，鞏固了在不同情境下分數可以表示不同的意義，為后續更加全面地認識分數和應用分數打下扎實的基礎。

（三）自主創編，形成分數結構

在練習環節，要求學生根據下面的算式創編兩道不同類型的應用題：5÷3=。學生對分數的產生和意義有了足夠的感知，已經能用除法解決不同情景的分數應用題。但是否還有部分學生對分數的兩種來歷還模糊，于是設計了反向創編，以檢驗學生是否真的掌握。

這樣的單元整體設計，既是對分數認識的拓展——從以前表示部分與整體的關系，拓展到表示兩個不同數量之間的關系，又為六年級學習分數應用題的打下基礎，意義重大。

參考文獻

[1 ] 教師教學用書五年級下冊，人民教育出版社，2017年

[2 ] 戴曙光，?數學，究竟怎么教?：華東師范大學出版社，2017年