基于等周定理的探究及其應用

龍媛

摘要：等周定理在數學發展史上占有重要地位，是一個古典幾何問題，本論文主要從笛卡爾的論證，等周定理的發現、內容、證明方法，在數學幾何證明中的推廣及在實際生活中的應用。發現等周定理主要通過三種方法：觀察法、泡沫實驗法和笛卡爾的數據驗證;等周定理的內容主要有兩種表述：第一種表述形式，在周長一定的所有封閉平面曲線中，圓所圍的面積最大;第二種表述形式，在面積一定的所有封閉平面曲線中，圓所圍的周長最小。

關鍵詞：等周定理;海角問題;紀塔娜問題

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A

1.等周定理

1.1等周定理的發現

1.1.1笛卡爾的論證

實際上十六世紀以前，還沒有任何數學家真正證明等周定理，但有意思的是，沒有任何數學家以及其他科學家懷疑過它的正確性，而且只要在需要的時候就毫不遲疑地使用它，同時期這幫人的舉動，我們可通過笛卡爾的話得到理解，在《思想的法則》一書里，笛卡爾談到“為了用列舉法證明圓的周長比任何具有相問面積的其它圖形的周長都小，我們不必全部考察所有可能的圖形，只需對幾個特殊的圖形進行證明，結合運用歸納法，就可以得到與對所有其它圖形都進行證明得出的同樣結論”。

1.1.2現象

向日葵的子盤，千萬種美麗的花朵，水管等管道都是接近于圓形的，大自然如此偏愛圓

形，這是為什么呢？

寒夜，一只貓鉆進干草垛，把自己的身體盡可能蜷伏成球形，這是為什么呢？

如果你懂得一些物理知識，就會用表面張力予以解釋。再看看人或哺乳動物，頭蓋骨都近于球形。

面積這些自然現象，容易使人們想到表面積和體積。當體積一定時，球的表面積最小嗎？同樣地，當表面積一定時，球的體積最大嗎？

大自然也偏愛圓形，當我們用柔軟的細繩捆一束細桿時，這捆細桿總是近于圓形。

1.2等周定理的內容

等周定理的內容：

第一種表述形式：在周長一定的所有封閉平面曲線中，圓所圍的面積最大。

第二種表述形式：在面積一定的所有封閉平面曲線中，圓所圍的周長最小。

1.3等周定理的證明

以下是施坦納提出的一種方法。

證明：設K是周長一定而面積最大的圖形，只要證K是一個圓即可。以下三步完成。

第一步：用反證法證明K是凸多邊形。若K是一個凹圖形，那就一定可以在它上面找到兩點A，B，其連線落在圖形K的外部。以AB為軸，把曲線AmB對稱到另一側，稱為曲線Am/M. 圖形AmBC與圖形A m/BC的周長相等，而后者面積更大，這與K有最大面積矛盾。故K只能是凸圖形。

第二步：用反證法證明平分K的周長的弦也一定平分其面積。設凸圖形K有最大面積，AB平分它的周長，且弦AB把K分成兩部分，。若，不妨設>，以AB為軸把ACB對稱到另一側AC/B處，則周長ACBC/A等于K的周長，但面積ACBC/A>K的面積，這與K有最大面積矛盾。所以，平分K的周長的弦也一定平分其面積。

第三步：證明平分周長、面積的弦是直徑，從而K為圓。

用反證法。設AB平分K的周長和面積，在K地邊界上任取一點C，只需證ACB為半圓。若不然， ACB，將下圖1-5中的，剪下來，貼成另一個圖形，其中A/C/=AC，B/C/=BC， A/C/ B/=。這兩個圖形中，曲線ACB的長等于曲線A/C/ B/的長，但后者面積較大，與K有最大面積矛盾。故ACB為半圓，從而K使圓。

于是，證得了等周定理：在所有等周的平面封閉圖形中，以圓的面積為最大。

2.等周定理的推廣

2.1等周定理的推廣（一）

周長相等的多邊形中，正多邊形的面積最大。

證明：在所有周長相等的圖形中，正多邊形與圓形最接近，由等周定理的第一種表述知，正多邊形的面積最大。

因此，周長相等的多邊形中，正多邊形的面積最大。

2.2等周定理的推廣（二）

周長相等的正多邊形中，邊數越多，其面積越大。

證明：在周長相等的正多邊形中，邊數越多，這個正多邊形就越接近與圓，由等周定理的第一種表述知，其面積越大。

因此，周長相等的正多邊形中，邊數越多，其面積越大。

2.3等周定理的推廣（三）

圓的面積比同樣周長的正多邊形面積大。

證明：在周長相等時，由等周定理的第一中表述知，圓的面積比正多邊形的面積大。

因此，圓的面積比同樣周長的正多邊形面積大。

3.等周定理的應用

3.1紀塔娜問題

紀塔娜是神話中的人物，傳說古代非洲北部沿海地區某部落酋長曾答應給紀塔娜一塊“用灰鼠皮能包住”的土地。一塊灰鼠皮能圍多大的土地呢？聰明而美麗的紀塔娜想出一個巧妙地辦法。她把灰鼠皮很細很細的線，再把這些線結成一條長帶，用這條長帶在海岸邊劃出了一塊意想不到的、非常大的土地這塊土地是一個半圓，海岸線（近似地看成直線）的一段是它的直徑。試證：紀塔娜所圍成的半圓形土地面積最大。

3.2海角問題

將紀塔娜問題稍作推廣，改為“在一個半島”（假定半島由一個角構成，即所謂“海角”），那么問題變為：給定一個角，求已知長度的一條線和角的兩邊所圍出的最大面積，即已知角（海角）為YMX，線長為L，要求曲邊三角形XMY面積達到最大時，X，Y的位置和曲線XY的形狀應是怎樣的？

先來看幾個特殊情形。若M=180o，則回到紀塔娜的原問題。又如M=90o，仍可用鏡面反射來求解：首先關于一邊，然后再關于另一邊作鏡面反射，這時，曲線連同它的鏡像一起，構成了長為4L的封閉曲線。要想求出它圍出的最大面積，按等周定理，要求的圖形自然是圓。這個圓有兩條給定的對稱軸XY/和Y Y/，中心在兩軸的交點M處，兩軸把圓面積和圓周同時分成四等分。因此，原問題的解就是象限角形：中心在已知角頂點的圓的1/4。

4.用等周定理解釋實際生活中的現象

寒夜，一只貓鉆進干草垛，把自己的身體盡可能蜷伏成球形，由等周定理的推廣知，表面積相等的所有立體圖形中，以球的體積最大，它是為了減少散熱面積，以保持自己體溫。 人在冬天天冷的時候，會把自己的身體盡可能蜷伏成球形，也是這個原因。

參考文獻

[1]張江華. 等周定理證明史[J]. 廣西民族大學學報：自然科學版， 1995（1）：111-116.

[2]王三寶. 等周定理及其應用[J]. 數學通訊， 1998（7）.

[3]魏明志. 從皇后紀塔娜圍地談談"等周問題"[J]. 數學教學， 2007， 000（005）：13-16.