多采樣率牽引傳動控制系統中的電流環建模

田 鑫，王琛琛，周明磊，王 劍

（北京交通大學電氣工程學院，北京 100044）

0 引言

數字控制系統是一個內部既含有連續時間信號又含有離散時間信號的混合系統，系統中的連續時間信號與離散時間信號分別通過采樣器與保持器進行互相轉換。如果系統中所有采樣器、保持器都以相同的周期同時動作，則稱這樣的系統為單采樣率系統，簡稱為單率系統。如果系統中含有兩個及以上有著不同工作周期的采樣器與保持器，稱這樣的系統為多采樣率控制系統，簡稱為多率系統[1]。

隨著數字控制技術的發展，多采樣率控制已被廣泛應用于自動化制造、信號處理、航天航空以及機器人控制等領域。對于多采樣率控制的研究也已經持續多年，并且產生了一系列成果：Kranc[2]提出了開關分解法，在頻域獲得了多采樣率系統的等效脈沖傳遞函數模型；Jury等[3]證明了對于周期時變的離散時間系統，如果從那些等于其周期整數倍的采樣時刻來看，是時不變的；Kalman等[4]采用狀態空間方法描述了多采樣率系統。在此基礎上經Araki等[5]、Godbout等[6]的逐漸發展，利用 “提升”技術獲得多率系統的等效單采樣率狀態空間模型漸漸成為對多率系統的主要分析方法。

在大功率的牽引傳動控制系統中，為了提升電流環的動態性能，已有文獻結合多采樣率控制提出了一些高性能的控制算法[7-10]。然而，大多數文獻只是將單采樣率控制下的控制算法拓展到多采樣率下，對多采樣率控制下系統的數學模型、特性等理論分析不足，多采樣率控制下電流環的設計存在較大挑戰。

本文對多采樣率牽引傳動控制系統中的電流環進行了分析。首先介紹了多采樣率控制下的系統結構，然后運用 “提升（Lifting）”技術分別獲得了理想情況下多采樣率控制下負載與電流調節器的狀態空間模型，進而建立了系統電流環的等效單采樣率閉環狀態空間模型。為了使理論模型更加準確，分析了多采樣率下系統電流閉環中的延時以及延時的影響并完善了系統模型。最后，利用Matlab／Simulink仿真驗證了本文所建立理論模型的正確性。

1 多采樣率系統結構

1.1 永磁同步電機連續時間狀態空間方程

在兩相同步旋轉坐標系下，可以得到永磁同步電機的電壓方程

式（1）中，ud、 uq分別為定子 d軸、q軸的電壓，id、iq分別為定子d軸、q軸的電流，Rs為定子電阻，ωs為電角速度，Ls為電機的定子電感，ψf為永磁體磁鏈，ωsψf為永磁體反電勢。由于永磁體產生的反電勢ωsψf與定子電流無關，在磁鏈估計準確時可以被完全補償，因此將式（1）中永磁體反電勢項ωsψf忽略，可以得到狀態方程

由式（2）可以獲得永磁同步電機的連續時間狀態空間模型

1.2 電流環結構

考慮到忽略永磁體反電勢項后的永磁同步電機狀態空間模型與三相對稱阻感負載的狀態空間模型是相同的，因此本文所研究的多采樣率牽引控制系統中的電流環結構如圖1所示。

圖1 電流環結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of current loop structure

圖2 系統框圖Fig.2 Block diagram of system

圖2中，r（t）為參考輸入， 在本系統中對應d軸、 q 軸指令電流； GPI（s）、 G（s）分別為同步旋轉坐標系下PI控制器與負載的連續時間傳遞函數。對于上述系統而言，從負載的角度分析，系統屬于輸出多采樣率系統，N為系統的輸出采樣重數[10]。

2 多采樣率下電流環建模

對于一般的多采樣率數字控制系統，為了簡化分析，常常使用兩個假設：一是假定系統中存在一個基本采樣周期T，系統中各采樣點的采樣周期都是T的整數倍；二是同時性假定，即假定系統中所有采樣開關在同一起始時刻開始采樣。在這兩個假設下，可以利用 “提升”技術得出系統的線性時不變模型[1]。為了獲得多采樣率下牽引傳動系統的電流環模型，本節利用 “提升”技術先分別獲得負載與電流調節器的狀態空間模型，進而推導出電流環的閉環模型。

2.1 多采樣率下負載狀態空間模型

對于多采樣率系統，定義系統中所有周期的最小公倍數T0為系統幀周期，以幀周期分析系統，系統可以看作是線性時不變的。在本文研究的系統中，易知系統幀周期T0=Ts，并且系統基本采樣周期為ΔT=T0／N。

對于連續時間狀態空間方程，可以使用零階保持器對其進行離散化。結合式（3）所表示的負載連續時間狀態空間模型，以幀周期T0進行離散化，可以得到單采樣率下系統狀態空間模型

考慮多采樣率控制下負載的離散狀態空間模型，由于在一個幀周期內負載的輸入電壓u保持不變，因此多采樣率下負載的狀態方程與式（4）中相同。但是對于負載的輸出方程而言，由于多采樣率控制，系統在一個幀周期內進行了N次等間隔采樣，獲得了更多時刻的電流采樣值。為了獲得此時的負載輸出方程，對于這N次采樣而言，根據線性系統理論，可以先得到如下所示的狀態轉移方程

結合式（4）中負載的輸出方程與多采樣率下的狀態轉移方程（式（5）），并消除中間采樣時刻的狀態，可以獲得多采樣率控制下的輸出方程，有

觀察式（6），等號左側為對負載輸出N次采樣的結果，等號右側為負載在kT0時刻的輸入u（kT0）與狀態x（kT0）的線性組合。此時利用 “提升”技術，定義擴展輸出變量

則負載的輸出方程可以寫為

綜上，負載在多采樣率控制下的狀態空間模型可以表示為

式（9）中，所有變量的采樣周期都是幀周期T0。換言之，通過這樣的方式獲得了負載的等效單采樣率狀態空間模型。

2.2 多采樣率下電流調節器狀態空間方程

在本系統中，電流調節器選擇PI控制器?？紤]到由于數字實現，實際電流調節器的輸出存在ΔT的采樣計算延時[7]，則在連續域下的PI控制器如圖3所示。

圖3 PI控制器Fig.3 Diagram of PI controller

圖3中， e（s）、 u（s）為 PI控制器輸入、 輸出的拉氏變換，Kp、Ki分別為控制器參數。為獲得在多采樣率下控制器的狀態空間模型，先將如圖3所示的PI控制器以基本采樣周期ΔT進行離散化，可以獲得離散的狀態空間方程

2.3 系統閉環模型

結合式（9）、 式（15）， 可以獲得多采樣率控制下系統電流環的閉環模型

3 電流環延時分析

數字延時在同步旋轉坐標系下可以分為角度延時與時間延時兩部分[11]。在前一節的推導中，本文只考慮到了數字延時的時間延時部分，而沒有考慮到角度延時的影響，這使得理論模型不夠準確。在本節中，首先詳細分析了多采樣率下電流環中的延時環節，然后分析了角度延時對電流環的影響，進而獲得準確的多采樣率下的電流環模型。

3.1 電流環延時分析

在本文所應用的多采樣率控制中，電流采樣模式如圖4所示。在一個開關周期Ts內進行多次采樣、計算，PWM環節每次更新占空比信號都采用最近的一次計算結果。

圖4 采樣模式示意圖Fig.4 Schematic diagram of sampling mode

在圖4所示的采樣模式下，電流環的采樣延時為

同時，PWM環節等效為零階保持器，PWM輸出延時為

因此在多采樣率控制下，系統電流環總延時為

3.2 延時影響分析

由前述可知，在多采樣率控制下系統電流環總延時為Td，本節考慮在延遲時間Td內角度延時對實際輸出電壓的影響。根據復矢量理論，可以將靜止坐標系下和旋轉坐標系下的電壓矢量用復矢量的形式表示[12]，相應的兩相旋轉與三相靜止坐標系之間的坐標變換可以表示成（θe為電壓矢量角度）

假定在一個完整的開關周期Ts內同步旋轉速度ωs保持不變，在t0時刻電流調節器輸出電壓指令為此時的電壓矢量角度為 θe， 則有

圖5為同步旋轉坐標系示意圖，t0時刻的同步旋轉坐標系位置為圖5中的紅色線。由于采樣更新延時，經過Ts／N長的時間后，PWM占空比信號才更新，此時的同步旋轉坐標系位置為圖5中的藍色線。在接下來的一個開關周期Ts內，占空比信號轉換為實際電壓發出。則在[t0+Ts／N，t0+Ts／N+Ts]時間段內，實際作用到同步旋轉坐標系的坐標軸上的電壓矢量與電壓指令之間有如下關系

圖5 同步旋轉坐標系示意圖Fig.5 Schematic diagram of synchronous rotation coordinate system

實際作用電壓的平均值可以由下式求得[13]

考慮到上述分析，實際作用到負載d軸、q軸上的電壓與指令電壓滿足

4 仿真驗證

為了驗證上述建立的系統理論模型的正確性，利用Matlab／Simulink建立三相對稱阻感負載電流環控制仿真。其中，仿真參數如表1所示。

表1 仿真參數設置Table 1 Setting of simulation parameters

0時刻給定d軸電流指令1A、q軸電流指令0A，給定輸出采樣重數N=2。 比較仿真負載輸出電流與理論模型的動態響應過程，可以得到如圖6、圖7所示的仿真結果。

由圖6、圖7可知，理論波形與仿真波形基本吻合。圖6、圖7表明，本文所建立的多采樣率狀態空間模型是準確的，能夠反映實際系統情況。

圖6 N=2時d軸的電流響應圖Fig.6 Diagram of d-axis current response when N=2

圖7 N=2時 q軸的電流響應圖Fig.7 Diagram of q-axis current response when N=2

5 結論

針對多采樣率牽引傳動控制中的電流環，本文詳細分析了多采樣率控制下電流環的結構以及多采樣率下電流環數字延時與延時的影響，結合多采樣率 “提升”方法，建立了系統電流閉環的等效單采樣率狀態空間模型。最后，通過Matlab／Simulink仿真驗證了本文所建立的數學模型的準確性。仿真結果表明，本文所建立的多采樣率控制電流環數學模型是分析多采樣率問題的一種有效方法，為進一步分析多采樣率系統奠定了基礎。