補(bǔ)償法解題初探

云南 王子謙

補(bǔ)償法是一種有效的解題方法，但高中物理對(duì)補(bǔ)償法的介紹卻比較少，學(xué)生對(duì)微元法、整體法、隔離法了解和應(yīng)用得較多。由于補(bǔ)償法本身具有靈動(dòng)跳躍、思維敏捷的特點(diǎn)，學(xué)生較難掌握，因此在高中階段介紹不多，教師在課堂上慢慢道來卻另有一番風(fēng)味，下面我們作一些有益的嘗試。

1.力學(xué)中的補(bǔ)償法

伽利略的很多實(shí)驗(yàn)都是“天才”之作，最美麗的十大物理實(shí)驗(yàn)伽利略就占了兩個(gè)：“伽利略的自由落體實(shí)驗(yàn)”和“伽利略的加速度實(shí)驗(yàn)”，這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)都是神來之筆，其中“伽利略的自由落體實(shí)驗(yàn)”就是以上所說的補(bǔ)償法的具體表現(xiàn)。

具體內(nèi)容是這樣的：當(dāng)時(shí)人們普遍認(rèn)為從同一高度自由下落的重球先落地，輕球后落地。伽利略就設(shè)想把輕球和重球連在一起，此時(shí)連接體變成一個(gè)更重的球，這個(gè)球應(yīng)比原來兩個(gè)球更快落地，但連接體中輕球會(huì)牽扯重球，重球的速度將減慢，這樣連接體下落的反而比重球還慢。伽利略利用這一矛盾駁斥重球先落地、輕球后落地的結(jié)論。從這一論證過程看，伽利略是做了一個(gè)條件補(bǔ)償后得到另一結(jié)論來否定原結(jié)論的。

補(bǔ)償法在力學(xué)中的應(yīng)用還有：求被挖掉一個(gè)小圓的大圓薄板的質(zhì)心；求不規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；求重力矩；求不規(guī)則物體之間的萬(wàn)有引力等。

2.電學(xué)實(shí)驗(yàn)中的補(bǔ)償法

采用伏安法測(cè)未知電阻時(shí)，通常的實(shí)驗(yàn)方法會(huì)因電壓表分流給測(cè)量結(jié)果帶來誤差。在伏安法測(cè)電阻中要想進(jìn)一步減小電壓表內(nèi)阻對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，可采用電流補(bǔ)償法。假設(shè)增加一個(gè)電源并組成如圖1虛線框中的電路，Rx與電壓表V有一端直接連在一起，另一端通過開關(guān)K2和檢流計(jì)G連在一起。調(diào)節(jié)R1使電壓表中電壓值恰與待測(cè)電阻Rx兩端的電壓相等時(shí)，流過檢流計(jì)G的電流為零，這時(shí)無論電壓表內(nèi)阻大小如何，都不會(huì)影響被測(cè)量電路中的電流，從而達(dá)到精確測(cè)量的目的，這種方法就叫電流補(bǔ)償法。

圖1

3.交變電流中的補(bǔ)償法

假設(shè)有兩個(gè)交變電流，其電壓變化規(guī)律如圖2所示，它們的最大值與周期都相同，它們的瞬時(shí)表達(dá)式分別為u1=Umsinωt、u2=Umcosωt，把它們分別加在兩個(gè)阻值相同的電阻上，設(shè)電阻的阻值為R，在一個(gè)周期內(nèi)兩個(gè)交流電產(chǎn)生的焦耳熱相同，都為Q，產(chǎn)生的總的焦耳熱Q總=2Q。設(shè)它們交流電壓的有效值為U，則有：

另外，在任一時(shí)刻t，這兩個(gè)電阻上的熱功率分別為：

兩個(gè)電阻上總的發(fā)熱功率為：

可以看出，兩個(gè)電阻上發(fā)熱的總功率是定值，與時(shí)刻t無關(guān)，所以在一個(gè)周期內(nèi)兩個(gè)電阻上總的發(fā)熱量為：

把正弦交流電和余弦交流電巧妙地結(jié)合在一起，起到一個(gè)化變?yōu)椴蛔兊男Ч言瓉硇枰呱顢?shù)學(xué)知識(shí)才能解決的問題化解為簡(jiǎn)單問題。

4.在物理競(jìng)賽中使用補(bǔ)償法

在物理競(jìng)賽試題中利用補(bǔ)償法能取得意想不到的效果，能讓學(xué)生感受到巧妙的構(gòu)思。

【例2】如圖3所示，A1A2是面積很大、互相平行又相距較遠(yuǎn)的帶電金屬板，相距為d，兩板間的電勢(shì)差為U。同時(shí)，在兩板間還有方向與勻強(qiáng)電場(chǎng)正交且垂直紙面向外的均勻磁場(chǎng)。一束電子通過左側(cè)帶負(fù)電的板A1上的小孔，沿垂直于金屬板的方向射入，為使該電子束不碰到右側(cè)帶正電的板A2，問所加磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度至少多大?設(shè)電子所受重力及從小孔進(jìn)入時(shí)的初速度均可不計(jì)。

圖3

【分析】電子在復(fù)合場(chǎng)中僅受兩個(gè)力，即電場(chǎng)力和洛倫茲力，由于洛倫茲力為變力，故合力亦為變力。該變力大小及方向均在隨時(shí)間變化，故運(yùn)動(dòng)既非勻變速運(yùn)動(dòng)，也不是勻速圓周運(yùn)動(dòng)或簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。這里我們就可用補(bǔ)償法解題，首先設(shè)想一個(gè)力F1來平衡電場(chǎng)力以消除電場(chǎng)力F2引起的電子速率變化，將問題簡(jiǎn)化，然而添加一個(gè)力后必須要另加一個(gè)反向的力才能和原來的運(yùn)動(dòng)效果完全相同，我們可以設(shè)電子沿y軸有大小相等方向相反的初速度，其合速度仍為0，其中一個(gè)分速度對(duì)應(yīng)的洛倫茲力平衡掉電場(chǎng)力，運(yùn)動(dòng)情境就變?yōu)橛谐跛俣惹覂H受一個(gè)洛倫茲力的情況了。

圖4

圖5

5.應(yīng)用補(bǔ)償法的易錯(cuò)點(diǎn)

雖然補(bǔ)償法能夠?qū)?fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單，但不是所有情況都能使用補(bǔ)償法來解決，如在電磁感應(yīng)問題中，如果在分析問題時(shí)考慮的不夠全面，就很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

【例3】一正方形線框以速度v1進(jìn)入一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，線框邊長(zhǎng)L，磁場(chǎng)寬度也為L(zhǎng)。線框電阻R，磁感強(qiáng)度為B，求線框離開磁場(chǎng)時(shí)的速度v2。

圖6

【錯(cuò)解】這道題中的線框通過勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)受變力作用而做非勻變速運(yùn)動(dòng)。如果采用補(bǔ)償法解題，假設(shè)線框進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)受一恰與此時(shí)安培力相等的恒定外力作用，線框就可勻速通過該磁場(chǎng)區(qū)域。在此過程中F做功W=2FL，這一過程跟不受F力作用時(shí)差異在于F力的功保證了動(dòng)能不變，所以有如下解答。

造成錯(cuò)解的原因是對(duì)問題的分析不夠全面，造成補(bǔ)償后運(yùn)動(dòng)過程中的安培力變大，產(chǎn)生的焦耳熱增加，補(bǔ)償之后條件已經(jīng)改變，所以由此計(jì)算出的結(jié)論是錯(cuò)誤的。因此使用補(bǔ)償法時(shí)要謹(jǐn)慎。