海洋湍流對光子軌道角動量量子通信的影響

劉瑞熙 馬磊

(成都理工大學地球物理與空間科學系,成都 070801)

本文研究了基于光子軌道角動量的量子通信在水下量子信道中受海洋湍流運動的影響.基于Elamassie等提出的海洋湍流功率譜模型,本文建立了不同海洋湍流參數與光子軌道角動量量子通信的單光子探測概率、信道容量、密鑰產生率以及雙光子共生糾纏度的定量關系,并利用糾纏光子對的共生糾纏度在海洋湍流中的普適衰減特性進一步研究了軌道角動量糾纏光子對在海洋湍流中的最大糾纏距離.研究結果表明:水下量子通信性能和糾纏光子對的共生糾纏度都隨海洋湍流的湍流動能耗散率的增大或溫度方差耗散率的減小而降低;溫度和鹽度因素對海洋湍流貢獻的比值對水下量子通信的影響在海水是否穩定分層的條件下具有顯著的區別;在通過海洋湍流進行量子通信時,增加信號光子的初始軌道角動量量子數可以提高量子密鑰分發的密鑰產生率和糾纏光子的糾纏衰減抵抗性.

1 引言

量子通信是一種應用量子疊加態和量子糾纏等量子特性進行信息傳輸的通信方式,與傳統通信技術相比,其最大的優勢是由量子力學原理保證的安全性.2010年,潘建偉團隊[1]實現了16 km 的量子隱形傳態實驗,首次證實了在自由空間進行遠距離量子態隱形傳輸的可行性.2017年,金賢敏團隊[2]完成了基于海水信道的量子通信實驗,首次驗證了水下量子通信的可行性,對進一步開拓包括水下量子信道在內的全球化量子通信系統具有重要意義.量子信號在傳輸過程中會不可避免地受到外界環境因素的影響導致量子退相干,使得量子通信性能下降甚至中斷.在自由大氣中進行量子通信時,光子的傳輸會受到天氣、空氣污染等自然環境因素的影響.聶敏等[3-6]對基于單光子傳輸的量子通信性能在降雨[3]、降雪[4]、沙塵暴[5]和大氣污染[6]等具體自然環境因素影響下的衰減做了大量的研究.與自由空間量子通信類似,水下量子通信的性能也會受到海水的吸收、散射和復雜的湍流運動等環境因素的影響.嵇玲等[2]進行了室內海水管道中的偏振光子傳輸實驗,發現光子的偏振特性在通過海水通道時能夠得到保持.已有的理論和實驗研究表明,在海水通道的吸收和散射作用的影響下利用偏振光子進行短距離的水下量子密鑰分發是可行的[7,8].

渦旋光束可以攜帶具有任意整數形式的量子數l=0,±1,±2···的軌道角動量光子(Orbital-angularmomentum photons,OAM 光子)進行量子態傳輸[9].不同于偏振光子只能用于編碼二維量子信息,OAM 光子可以運用任意數量的特征態編碼高維度的量子信息[10],同時確保更高的信道容量[11,12]并增強量子通信信道的安全性[13].此外,由于OAM態在傳輸方向上具有旋轉不變性,采用OAM 編碼可以避免通信雙方對參考系的實時校準[14].然而當渦旋光束在湍流介質中傳播時,由于介質折射率的隨機波動,渦旋光束的波前相位結構將會遭到破壞而產生相位畸變,造成OAM 信號光子的丟失.對于自由空間中的OAM 量子通信,國內外學者就大氣湍流影響下的OAM 單光子以及糾纏 OAM光子對的傳輸開展了大量研究.Paterson[15]推導了OAM 光子在大氣湍流影響下的探測概率公式,并且從理論上分析了大氣湍流對量子信道容量的影響;Ibrahim 等[16]通過數值和實驗研究了糾纏OAM 單光子和雙光子在大氣湍流中的糾纏衰減,證明了量子糾纏態在大氣湍流中隨著OAM 量子數的增加而變得更加穩定.

對于水下OAM 量子通信,Bouchard 等[17]完成了基于光子軌道角動量的水下量子通信實驗,并對水下量子信道中不同的量子密碼協議進行比較,證明了水下高維編碼方案的可行性;胡濤等[18]基于Nikishov 提出的海水折射率功率譜模型,計算了拉蓋爾-高斯(Laguerre-Gaussian,LG)光束在不同水下湍流因素和不同傳輸距離條件下的OAM量子信道容量;Cheng 等[19]用Rytov 近似理論給出了海洋湍流因素對軌道角動量螺旋譜的影響,結果表明不同模式的OAM 信號光子在海洋湍流作用下會發生串擾;Elamassie 等[20]提出了新的海洋湍流功率譜模型,考慮了海水分層的不穩定性以及溫度與鹽度的渦流擴散率的差異,為研究更接近真實海洋環境下的海洋湍流運動特性奠定了基礎.目前,國內外學者針對海洋湍流對OAM 量子通信性能的影響的研究基于簡單地假設海水穩定分層的Nikishov 海洋湍流模型,而采用Elamassie 海洋湍流模型能夠反映OAM 光子在更復雜的海洋湍流中的傳輸情況.此外,研究海洋湍流中的光子糾纏特性對于提高水下量子通信性能具有重要意義,然而對于糾纏OAM 光子對在海洋湍流背景下的糾纏衰減特性的研究還未見報道.

本文基于Elamassie 等提出的海洋湍流功率譜模型,針對LG 光束在海洋湍流中傳播的波前相位畸變所導致的OAM 量子態串擾,通過分別計算不同海洋湍流參數下的OAM 單光子探測率、信道容量、密鑰產生率和糾纏OAM 光子對的共生糾纏度,分析研究了OAM 量子通信性能以及糾纏OAM光子對的糾纏特性在海水量子信道中受各海洋湍流因素的影響,并且提出了糾纏OAM 光子在海洋湍流中的最大糾纏距離與各海洋湍流參數的關系,為進一步研究基于光子軌道角動量的水下高維量子通信系統提供了理論依據.

2 理論模型

Elamassie 等[20]基于Nikishov 提出的海水折射率功率譜模型,考慮了溫度和鹽度的渦旋擴散率彼此不同而導致海水分層的不穩定,提出了更符合實際海洋環境的海洋湍流功率譜模型,即

式中:κ是海洋湍流功率譜空間波數;η是Kolmogorov 內尺度;χT是溫度方差耗散率,χT∈[10-4,10-10]K2·s-1;ε是湍流 動能耗散率,ε ∈[10-1,10-10]m2·s-3;w∈[-5,0]是溫度和鹽度對折射率變化貢獻的比率,當其取值為—5 和0 時分別代表由溫度和鹽度起伏引起的海洋湍流;溫度因子為AT=1.863×10-2,鹽度因子為AS=1.9×10-4,綜合影 響因子ATS=9.41×10-3,中間變量為δ=8.284(κη)4/3+12.978(κη)2;α是熱膨 脹系數;常數C0=0.72,C1=2.35 ;dr為渦流擴散率,當海水穩定分層時,dr取值為1,當海水不穩定分層時,dr表達式為關于w的分段函數[20]

在Rytov 近似下,各向同性海水介質中球面波的波結構函數為[21]

其中ρ為光束波陣面上兩點間距,L為傳播距離,ξ=1-z/L為歸一化距離變量,z是可變距離.由此可以推導出在慣性范圍內即(ρ?η)的海洋湍流中球面波的波結構函數的解析表達式為[22]

根據空間相干長度ρ0的定義式D(ρ0,L)=2,得到海洋湍流中球面波的空間相干長度為

由(4)式、(5)式可以得到

由Fried 參數的定義[23]可得海洋湍流中的球面波Fried 參數r0的表達式

引入Fried 參數r0,再由(5)式、(6)式可得到由海洋湍流導致渦旋光束波前相位畸變的相位結構函數表達式為

(8)式表明基于Elamassie 海洋湍流功率譜得到的在慣性范圍內的海洋湍流中傳播的球面波相位結構函數仍滿足大氣湍流中的Kolmogorov 三分之五冪律.

3 數值仿真

3.1 海洋湍流對OAM 單光子探測率的影響

根據LG 光束在湍流中傳播的Rytov 近似理論,可以設初始OAM 量子數為l0,徑向量子數為p0的LG 光束在湍流中傳播距離z處的波函數復振幅為

其中,LG 光束的徑向分量Rl0,p0(r,z)的表達式為[24]

定義半徑為r處的相位畸變的旋轉場相干函數為

其中,D?(r)是海洋湍流中的球面波相位結構函數.

由此得到OAM 量子數為l的光子的探測概率[15]為

式中,Θ(r,l-l0) 是旋轉相干函數的圓諧波變換,其表達式為

下面根據(2)式、(6)式、(8)式和(12)式,對初 始OAM 量子數l0=1,徑向量子數p0=0的OAM 單光子探測概率與不同海洋湍流因素的關系進行仿真.

圖1(a)分別給出了dr=1和對應的兩種海洋湍流功率譜模型下的單光子探測概率隨溫度-鹽度貢獻比變化的曲線.計算參數為λ=417 nm,ω0=0.01 m,z=10 m,α=2.6×10-41/deg,ε=10-5m2/s3,χT=10-7K2/s.從圖1(a)可以看出:當dr=1時,對應于海水穩定分層的情況,單光子探測概率隨溫度-鹽度貢獻比的絕對值|w|的減小而單調遞減,由鹽度因素主導的湍流對單光子傳輸的影響更加顯著.當時,對應于海水不穩定分層的情況,在1＜|w|≤5的范圍內,單光子探測概率隨溫度-鹽度貢獻比的絕對值|w|的減小而降低并且始終滿足,表明海水不穩定分層時的海洋湍流對單光子探測的干擾更加顯著;值得注意的是在|w|=1時,滿足,此時兩種情況下的海洋湍流對單光子探測的干擾相等;而在0.5 ≤|w|≤1的范圍內,隨|w|減小而逐漸增大,并在|w|=0.5處取得最大值之后隨|w|減小而訊速降低;以上結果表明海水是否穩定分層對單光子探測概率的影響具有較大的差異.

圖1 單光子探測概率與w 的關系Fig.1.Relationship between single photon detection probability and w.

圖2 給出了單光子探測概率隨湍流動能耗散率χT和溫度方差耗散率ε變化的關系.計算參數為λ=417 nm,ω0=0.01 m,z=10 m,α=2.6×10-41/deg,w=-5,dr=1.可以看出:當湍流動能耗散率χT增大或溫度方差耗散率ε減小時,海洋湍流隨之增強,導致單光子探測概率降低.

圖2 單光子探測概率與 χ T 和ε 的關系Fig.2.The relationship between single photon detection probability and χ T and ε.

3.2 海洋湍流對OAM 量子信道容量的影響

信道容量可以通過單光子探測概率量化,從而評價海洋湍流對通信鏈路的影響,信道容量的定義為

其中,H(x)是信號原始信息的熵,H(x|y)給定接收信息為y 時的條件熵,二者分別定義為[15]

式中,P(xi) 是傳輸信號為{xi}的概率,P(yj|xi)是給定發射信號為{xi}的條件下所接受到的信號為{yj}的條件概率.假設信道中傳輸的LG 光束具有OAM 量子數的范圍為l0=-L0,···,L0,則每種信號的概率為Pxi=1/(2L0+1),信號源的熵為H(x)=log(2L0+1).經過海洋湍流傳輸后,探測器接收到具有不同OAM 量子數的光子的概率可以通過(12)式得到.

下面通過對不同初始OAM 量子數范圍的LG光束在不同程度的海洋湍流環境中的信道容量進行數值計算,研究在不同海洋湍流環境下的OAM量子信道衰減特性.

圖3 為不同初始OAM 量子數范圍的LG 光束在海洋湍流背景下的信道容量隨不同海洋湍流參數的變化曲線.計算參數分別為λ=417 nm,ω0=0.01 m,α=2.6×10-41/deg.由 圖3(a)、圖3(b)可知:信道容量隨湍流動能耗散率χT增大或溫度方差耗散率ε減小而不斷衰減;圖3(c)表明:隨著傳輸距離的增加,信道容量迅速衰減;圖3(d)表明:溫度-鹽度貢獻比對信道衰減的影響與對單光子探測概率的影響在變化趨勢上是相似的,即在海水是否穩定分層的條件下具有顯著的差異.以上結果表明:在海洋湍流強度相同的條件下,初始OAM量子數范圍越大的LG 光束具有數量更多的量子編碼態,其對應的信道容量就越大.

圖3 信道容量隨各海洋湍流參數的變化關系Fig.3.The relationship of channel capacity with the ocean turbulence parameters.

3.3 海洋湍流對OAM 量子密鑰分發的密鑰產生率的影響

基于Lo 等[25]提出的測量設備無關量子密鑰分發(measurement-device-independent quantum key distribution,MDI-QKD)協議的OAM 量子密鑰分發系統,其安全密鑰產生率的計算公式為[26]

式中,μ、υ分別為Alice、Bob 每次脈沖發射的平均光子數;為在OAM 基下發射單光子的計數率;為疊加基下的單光子誤碼率;是平均光子數分別為μ、υ時的總接收率(總誤碼率);f為糾錯效率;H(x)為二元香農熵函數.

采用Wang 等[26]提出的方法計算,設為接收光子與發射光子具有相同(不同)OAM 狀態的概率,η0和可以利用(12)式計算得到,即密鑰分發系統的仿真參數值如表1 所列,其中Pd為探測器的暗計數率,ed為基未對準概率.

表1 密鑰分發系統的仿真參數值Table 1.Simulation parameters of key distribution system.

圖4 給出了不同初始OAM 量子數下的密鑰產生率隨傳輸距離的變化關系.計算參數為λ=417 nm,ω0=0.01 m,α=2.6×10-41/deg,w=-5,dr=1,χT=10-7K2·s-1,ε=10-5m2·s-3.結果表明:在海洋湍流的影響下,量子密鑰分發系統的密鑰產生率隨傳輸距離的增加而迅速減小;OAM 編碼光子的最大傳輸距離隨初始OAM 量子數的增大而增加.

圖4 密鑰產生率隨傳輸距離的變化關系Fig.4.The relationship of key generation rate with transmission distance.

3.4 海洋湍流對OAM 光子對糾纏衰減的影響

下面考慮一對由束腰半徑為ω0的LG 光束傳輸的糾纏光子,它們具有相同的徑向量子數p0=0,以及相反的OAM 量子數l0和-l0.設初始狀態下的糾纏光子處于可以通過實驗制備的Bell 態[27],定義為

若僅考慮海洋湍流對LG 光束的相位畸變效應,則糾纏光子穿過的海洋湍流層可以等效為一個隨機相位屏.將海洋湍流對光子的作用視為一個線性算符Λ,則探測器接收到光子的量子態表示為[28]

其中,Λ1和Λ2分別表示這兩個光子所處信道中的海洋湍流對光子的作用.假設海洋湍流對兩個光子的相位干擾具有相同的統計特性,則有Λ1=Λ2=Λ.算符Λ的矩陣元表示為

定義初始量子態的基矢為{|l0,l0〉,|l0,-l0〉,|-l0,l0〉,|-l0,-l0〉},根據Wootters 提出的雙量子混合態的共生糾纏度公式[29],可以得到輸出量子態共生糾纏度的解析表達式為

其中,c=b/a,a和b分別定義為OAM 光子信號的生存振幅和串擾振幅

下面根據(20)—(23)式,對初始OAM 量子數l0=1,徑向量子數p0=0的OAM 雙光子共生糾纏度與不同海洋湍流因素的關系進行仿真.

圖5 給出了共生糾纏度隨湍流動能耗散率χT和溫度方差耗散率ε變化的關系.計算參數為λ=417 nm,ω0=0.01 m,z=1000 m,α=2.6×10-41/deg,dr=1.由圖5 可知:共生糾纏度隨湍流動能耗散率χT增大或溫度方差耗散率ε減小而降低,對應于海洋湍流隨湍流動能耗散率χT增大或溫度方差耗散率ε減小而增強,導致信號光子的串擾振幅增大直至糾纏完全消失,即糾纏猝死現象[30].

圖5 共生糾纏度與 χ T 和ε 的關系Fig.5.The relationship between output state concurrence and χ T and ε.

圖6 給出了共生糾纏度隨傳播距離z和溫度-鹽度貢獻比w變化的關系.計算參數分別為λ=417 nm,ω0=0.01 m,χT=10-7K2·s-1,ε=10-5m2·s-3,α=2.6×10-41/deg,dr=1.由圖6可知:在相同傳播距離的條件下,共生糾纏度隨溫度-鹽度貢獻比的增大而降低,表明由鹽度起伏引起的湍流對共生糾纏度的影響更加顯著.

圖6 共生糾纏度與z 和w 的關系Fig.6.The relationship between output state concurrence and z and w.

為了探究不同初始OAM 量子數的糾纏光子在海洋湍流中的糾纏衰減特性,在應用Fried 參數r0表征的特定湍流強度下,計算了不同初始OAM量子數l0的共生糾纏度衰減曲線,結果如圖7 所示.計算參數為λ=417 nm,ω0=0.01 m,χT=10-7K2·s-1,ε=10-5m2·s-3,α=2.6×10-41/deg,dr=1.由圖7 可知:在海洋湍流強度相同且糾纏未完全消失的條件下,初始量子數l0越大則共生糾纏度越高,表明具有更高初始OAM 量子數的糾纏光子對在湍流中的糾纏衰減更緩慢.

圖7 共生糾纏度與 l0 和 r0 的關系Fig.7.The relationship between output state concurrence and l0 and r0.

為了研究不同初始OAM 量子數的糾纏光子對的共生糾纏度在海洋湍流中的普適衰減特性,按照文獻[28]中的方法引入相位相干長度,定義為

其中,ω0為LG 光束的束腰半徑,Γ (x)為伽瑪函數.

對共生糾纏度C(ρ)、相位相干長度與Fried參數的特征比值x=ξ(l0)/r0之間的關系進行仿真,結果如圖8 所示.

圖8 給出了不同初始OAM 量子數l0的糾纏光子對應的共生糾纏度衰減曲線.當r0?ξ(l0)時,海洋湍流對雙光子態的共生糾纏度幾乎沒有影響,隨著r0逐漸趨近于ξ(l0),海洋湍流對光波波前的相位擾動效果增強,導致不同量子態之間的串擾加劇,從而使共生糾纏度快速衰減至0.此外,不同初始OAM 量子數l0＞1的糾纏光子的糾纏衰減與一條指數型函數曲線擬合得很好,由此可以得到不同OAM 量子數l0＞1的糾纏光子的普遍糾纏衰減特性,其擬合曲線的表達式為f(x)=exp(-3.54x2.93).為了驗證計算結果的可靠性,圖8 還畫出了Leonhard 等[28]提出的OAM 糾纏光子對在大氣湍流中傳播的普遍糾纏衰減曲線,其表達式為g(x)=exp(-4.16x3.24),可以看出兩條擬合曲線的結果基本一致.

圖8 共生糾纏度與 ξ (l0)/r0 的關系Fig.8.The relationship between output state concurrence and ξ (l0)/r0.

3.5 海洋湍流中的最大糾纏距離

為了表征在大氣湍流中傳輸的糾纏光子發生糾纏衰退的空間尺度,Ibrahim 等[16]將退相干距離Ldec被定義為共生糾纏度衰減至0.5 所對應的傳播距離,并且退相干距離與量子數滿足關系Ldec∝(l0)5/6.糾纏光子對在海洋湍流中的共生糾纏度隨特征比值ξ(l0)/r0的衰減規律對于不同量子數的糾纏光子具有普適性,因此可以將特征比值ξ(l0)/r0作為判斷糾纏衰減程度的依據.定義共生糾纏度衰減至0 所對應的傳輸距離為最大糾纏距離,將ξ(l0)/r0=1作為糾纏完全消失的判別依據,根據(6)式、(8)式、(20)式、(21)式可以得到海洋湍流中的最大糾纏距離的表達式:

下面根據(24)式、(25)式,對不同初始OAM量子數的糾纏光子在海洋中的最大糾纏距離與各海洋湍流因素的關系進行仿真.

圖9 為不同初始OAM 量子數的糾纏光子對在海洋湍流背景下的最大糾纏距離隨不同海洋湍流因素的變化曲線.計算參數分別為λ=417 nm,ω0=0.01 m,α=2.6×10-41/deg.由 圖9(a)、圖9(b)可知:最大糾纏距離隨湍流動能耗散率χT增大或溫度方差耗散率ε減小而迅速降低;圖9(c)表明:溫度-鹽度貢獻比對最大糾纏距離衰減的影響在海水是否穩定分層的條件下具有顯著的區別,與圖1(a)中的不同海洋湍流模型下的單光子探測概率隨溫度-鹽度貢獻比變化的曲線具有相似的變化趨勢;圖9(d)給出了最大糾纏距離與初始OAM 量子數的關系:在海洋湍流強度相同的條件下,初始OAM量子數越大則對應的最大糾纏距離越遠,并且最大糾纏距離與初始OAM 量子數滿足關系L∝(l0)5/6,圖中給出的擬合曲線表達式 為L(l0)=62.2l05/6,與Ibrahim 等[16]定義的大氣湍流中的退相干距離Ldec隨l0變化的指數關系一致.

圖9 共生糾纏度隨各海洋湍流參數的變化關系Fig.9.The relationship between concurrence and the ocean turbulence parameters.

4 結論

本文基于Elamassie 海洋湍流功率譜模型,建立了OAM 單光子探測概率、信道容量、密鑰生成率和糾纏OAM 光子對的共生糾纏度與各海洋湍流參數之間的定量關系,研究了海洋湍流運動對基于光子軌道角動量的水下量子通信性能和糾纏特性的影響.仿真結果表明:當湍流動能耗散率χT增大或溫度方差耗散率ε減小時,海洋湍流隨之增強,引起OAM 信號光子在不同模式之間的串擾加劇,從而導致OAM 量子通信的信道容量、密鑰產生率和糾纏光子對共生糾纏度的降低;對于Nikishov海洋湍流功率譜,信道容量、密鑰生成率和糾纏光子對共生糾纏度隨溫度-鹽度貢獻比的絕對值|w|的減小而單調遞減,由鹽度因素主導的湍流對水下量子通信的干擾更加顯著;而Elamassie 提出的海洋湍流功率譜考慮了更合理的海水不穩定分層的情況,即渦流擴散率dr的取值不再恒等于1 而是隨溫度-鹽度貢獻比w變化,因此溫度-鹽度貢獻比w對水下量子通信性能和糾纏特性的影響在海水是否穩定分層的條件下具有顯著的區別;在海洋湍流強度相同的條件下,初始OAM 量子數l0越大則對應的最大密鑰分發距離和最大光子對糾纏距離越遠.因此,在進行基于光子軌道角動量的水下量子通信時,可根據實際情況適當提高信號光子的初始OAM 量子數以降低海洋湍流對量子通信的影響.本文的研究結果對于海洋湍流環境下的某些實用性的量子密碼協議,如量子保密查詢[31]等,也具有重要的參考價值.