三體里德堡超級原子的關(guān)聯(lián)動力學研究*

白文杰 嚴冬? 韓海燕 華碩 谷開慧

1)(長春大學理學院,材料設計與量子模擬實驗室,長春 130022)

2)(東北師范大學,量子科學中心,長春 130117)

3)(吉林化工學院理學院,吉林 130000)

4)(吉林工程技術(shù)師范學院應用理學院,長春 130052)

因為壽命長,并且原子間相互作用容易操控,所以里德堡原子在量子信息與量子光學領(lǐng)域具有極大的吸引力.特別地,偶極阻塞效應成為執(zhí)行很多量子信息處理任務的物理資源.本文基于嚴格的偶極阻塞效應,將捕獲在三個磁光阱中的二能級里德堡原子系綜看作超級原子,在此基礎上研究原子數(shù)目可調(diào)控的三體里德堡超級原子的同相和反相動力學行為,同時實現(xiàn)W 態(tài)和兩種最大糾纏態(tài)的制備.本工作在量子操控和量子信息處理方面具有潛在的應用前景.

1 引言

中性里德堡原子之所以成為極具吸引力的物理平臺,原因就在于原子壽命長,原子間相互作用靈活可控等特性.相關(guān)研究在量子信息和量子光學領(lǐng)域得到廣泛關(guān)注,例如:在此平臺上,人們可以執(zhí)行量子邏輯操作[1-4],模擬多體量子行為[5]以及觀察等離子體現(xiàn)象[6]等.

基于偶極-偶極相互作用的偶極阻塞效應,在量子信息[2,7,8]與量子模擬[9-11]研究中有著非常普遍而又重要的應用.所謂偶極阻塞效應[12,13],指的是一定空間分布(阻塞區(qū)域)的原子系綜最多只共享一個里德堡原子激發(fā),這是因為偶極-偶極相互作用使得單個原子里德堡態(tài)激發(fā)產(chǎn)生的能級移動強烈地抑制了周圍其他原子的共振激發(fā).本質(zhì)上,偶極阻塞效應使得單量子水平上操縱原子和光子[14]成為可能.目前已經(jīng)實現(xiàn)的單量子操作或單量子元器件有:單原子過濾器[15]、單原子源[16]、單光子源[17]、單光子過濾器[18]、單光子減法器[19]、單光子晶體管[20]、單光子全光開關(guān)[21]、單光子吸收器[22]以及單光子發(fā)射器[23].

里德堡原子的這種強關(guān)聯(lián)屬性在相干控制方面也表現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢[24,25].對少體系統(tǒng),精確控制里德堡原子間的相互作用還可以實現(xiàn)兩個里德堡原子的激發(fā)同相和反相[26]以及兩對糾纏態(tài)的同相和反相控制[27];對多體系統(tǒng)不用精確控制里德堡原子之間的相互作用,就可以實現(xiàn)單個原子對原子系綜的控制從而執(zhí)行介觀里德堡邏輯門操作[24].本文在偶極阻塞效應的基礎上,不失一般性地將三個具有明顯空間分離的子系綜看作三個里德堡超級原子[28,29](簡稱:超級原子),而超級原子以及集體態(tài)的方法,可以規(guī)避量子系統(tǒng)隨原子數(shù)目指數(shù)增長帶來的計算困難[24].這樣,通過調(diào)整原子數(shù)目等參數(shù)來操控超級原子間的同相與反相行為,進而借助同相與反相行為來判斷系統(tǒng)量子態(tài)類型以及制備介觀糾纏態(tài).

2 系統(tǒng)哈密頓與動力學演化方程

如圖1(a)和圖1(b)所示,捕獲在三個磁光阱中,總數(shù)為n的二能級里德堡原子被一束頻率為ωd,拉比頻率為Ω的單模激光驅(qū)動,激發(fā)的原子間存在強烈的范德瓦爾斯(van der Waals)相互作用,系統(tǒng)哈密頓為

由于強烈的范德瓦爾斯相互作用,原子的里德堡激發(fā)會得到抑制,在偶極阻塞區(qū)域內(nèi)最多只有一個原子被激發(fā)到里德堡態(tài)上.通過合理的實驗參數(shù)選擇,完全可以使偶極阻塞區(qū)域覆蓋三個磁光阱所在的空間.實驗上選擇超冷的87Rb原子,基態(tài) |g〉=|5S1/2,F=2〉,里德堡態(tài) |r〉=|90S〉,則范德瓦爾斯系數(shù)C6=2π×1.67×1013s-1·μm6,自發(fā)弛豫速率保持激光場拉比頻率Ω=2 MHz 不變,通過計算可知偶極阻塞半徑Rb ?(C6/Ω)1/6=19.3 μm.如圖1(a)所示的磁光阱鏈式排布,中間磁光阱位居阻塞半徑中心,如果磁光阱半徑為 1.5 μm,磁光阱中心距離為d=6.0 μm即可滿足.這樣,原子系綜(包括三個磁光阱中的所有原子)成為強關(guān)聯(lián)的一個整體,完全可以用超級原子來代替(見圖1(b)),它的基態(tài)和激發(fā)態(tài)分別為 |這樣,系統(tǒng)的哈密頓(1)式完全可以用有效哈密頓來代替[29,32-34],即:

圖1 (a)同一阻塞區(qū)域中捕獲在三個磁光阱中的原子系綜;(b)二能級單個里德堡原子能級圖,兩個里德堡原子相互作用表現(xiàn)為范德瓦爾斯(vdW)勢;(c)超級原子的能級結(jié)構(gòu):在嚴格偶極阻塞條件下,超級原子(原子系綜)可以分為三個較小的超級原子,每個較小的超級原子由各自光阱中的原子組成Fig.1.(a)Schematic diagram of an ensemble of Rydberg atoms trapped in three magneto-optical traps but in the same blockade region;(b)energy structure of the two-level Rydberg atom,two Rydberg atoms interact mediated by vdW potential;(c)energy structure of the superatoms:a superatom representing the ensemble can be divided into three smaller superatoms which are make up of atoms in respective magneto-optical traps.

因為三個磁光阱具有明顯的空間分離,所以原子系綜可以分為三個子系綜,即每個磁光阱中的所有原子仍然可以看作是超級原子,只不過包含的原子數(shù)目較少.在下面的討論中,稱謂包含原子數(shù)目少(多)的超級原子叫做較小(大)的超級原子,原子數(shù)目相同的為等大的超級原子,與原子分布無關(guān).注意,原子數(shù)目為1 的是最小的超級原子.若捕獲的原子數(shù)目分別為n1,n2和n3(原子總數(shù)n=n1+n2+n3),則對應的集體態(tài)為[29,32-34]

很容易得到表征原子系綜的集體態(tài)與子集體態(tài)的關(guān)系:

在此基礎上,可以得到三個子超級原子滿足的哈密頓:

需要指出的是,上式中已經(jīng)在原子系綜的集體算符Σμ,v,w(μ,υ,w={Gl,Rl};l=1,2,3)中提取出來表示第一(二、三)個超級原子的子集體算符Σμ,υ(μ,υ={G,R}).

系統(tǒng)的動力學演化是由密度算符的主方程來描述:

其中L(ρ)=LρL?-1/2(ρL?L+L?Lρ)描述由里德堡衰減率Γ引起的耗散過程,其中

給定系統(tǒng)初態(tài),求解方程(5)得到超級原子的含時密度矩陣,然后求跡,通過里德堡激發(fā)概率來研究三體超級原子的同相與反相動力學行為以及量子糾纏.

3 超級原子間的同相與反相量度以及集體態(tài)的量子糾纏度量

同相(反相)概念是物理學中的基本術(shù)語,表明復合系統(tǒng)中的兩個子系統(tǒng)具有相同(相反)的動態(tài)相位.最早的反相同步可以追溯到17 世紀,克里斯蒂安·惠更斯(Christian Huygens)觀察到安裝在同一根木條上的一對鐘擺以相同的頻率沿相反方向振動[35].同相和反相現(xiàn)象已經(jīng)在自然科學的大多領(lǐng)域中普遍存在[36].即使在社會科學領(lǐng)域,也可以找到它們的身影[37].到目前為止,關(guān)于同相與反相的研究已經(jīng)從經(jīng)典物理學[38]延伸到量子科學[39]的各種物理平臺上.

本文采用皮爾森關(guān)聯(lián)系數(shù)來判斷同相與反相運動[40,41].對于兩個離散變量x和y,皮爾森關(guān)聯(lián)系數(shù)可以刻畫它們之間的線性關(guān)聯(lián):

代入上式即可用皮爾森關(guān)聯(lián)系數(shù)Cp來刻畫兩個超級原子的關(guān)聯(lián)演化行為.Cp=1表明兩個超級原子為同相激發(fā),而Cp=-1則為反相激發(fā).

到目前為止,還沒有一種普適的手段可以直接對高維系統(tǒng)和多體系統(tǒng)的量子糾纏進行測量.然而,對于兩個量子比特系統(tǒng),并發(fā)糾纏度是研究糾纏的有效工具,定義如下:

在(7)式中,λi(i=1,2,3,4) 是非厄米矩陣ρ(σy ?σy)ρ*(σy ?σy) 的特征值的平方根.是泡利矩陣,ρ*是ρ的復共軛.注意,并發(fā)糾纏度的可能值在0 和1 之間,即C=0 表示沒有糾纏,C=1表示最大糾纏,至于具體糾纏形式則需要分析.本文中,以三個較小超級原子的子集體態(tài){G1,R1,G2,R2,G3,R3}為基矢來表征密度矩陣,通過部分跡運算即得到任意兩個超級原子的密度矩陣,代入(7)式,即可量度子超級原子A 和B 的糾纏程度.

4 數(shù)值結(jié)果討論與分析

里德堡原子的壽命長,自發(fā)弛豫速率較小,所以系統(tǒng)需要很長時間才能達到穩(wěn)態(tài).同時,系統(tǒng)的動力學演化表現(xiàn)為周期性的拉比振蕩,所以關(guān)注較短時間(Ωt=10)的演化過程就可以掌握其動力學特征而不失一般性.下面將選擇不同的系統(tǒng)初態(tài)開始演化,考察典型的同相和反相動力學以及糾纏性質(zhì).

4.1 系統(tǒng)初態(tài)為 |G1〉|G2〉|G3〉

首先討論最簡單的情況,即將系統(tǒng)初態(tài)制備在超級原子的基態(tài) |G〉=|G1〉|G2〉|G3〉上,實驗上將所有原子泵浦到基態(tài)|g〉即可完成.由圖2(a)可知,在共振驅(qū)動的條件下,由于偶極阻塞效應,基態(tài)原子具有完全相同的激發(fā)概率,所以較小(大)超級原子的里德堡激發(fā)概率就小(大),等大的超級原子里德堡激發(fā)概率自然相同.進而,如圖2(c)所示,如果三個超級原子都一樣大,則隨著原子激發(fā)振蕩到最大值時刻,它們將共享一個里德堡激發(fā),因而有P1=P2=P3=1/3.此時,不能判斷出具體是哪個超級原子激發(fā),所以系統(tǒng)狀態(tài)為|W〉=(|R1G2G3〉+,見圖2(d)中綠色曲線中F=1 的點.從圖2(a)和圖2(b)還可以觀察到,無論超級原子是否等大,它們始終表現(xiàn)出周期完全一致的拉比振蕩形式,即同相動力學激發(fā).皮爾森關(guān)聯(lián)系數(shù)Cp12=Cp13=Cp23也定量的證明了這一結(jié)論(見圖2(b)和圖2(d)).

圖2 (a),(c)超級原子的激發(fā)概率P;(b),(d)皮爾森關(guān)聯(lián)系數(shù) Cp (和保真度,其中 |ψ(t)〉 為任意 時刻系統(tǒng)的 量子態(tài),而見(d)中綠色曲線)的動力學演化.上圖滿足 n1=n2=6,n3=1,而下圖滿足 n1=n2=n3=6.其他參數(shù)有:拉比頻率 Ω=2 MHz,自發(fā)弛豫速率 Γ=0.002 MHz,單光子失諧 Δ=0Fig.2.(a),(c)Dynamical evolution of excitation probability of Rydberg SAsP;(c),(d)Pearson′s correlation coefficient Cp (and the fi delity with the quantum state of the system see the green curve in Figure (d)).Top:n1=n2=6 ,n3=1 and bottom:n1=n2=n3=6.Other parameters are Rabi frequency Ω=2 MHz,spontaneous emission rate Γ=0.002 MHz,and the single-photon detuning Δ=0.

下面考察子系綜原子數(shù)目和單光子失諧對系統(tǒng)動力學演化帶來的影響.由圖3(a)可知,Cp12≡1意味著第一、二兩個超級原子之間始終是同相振蕩(實際上,三個超級原子都是同相振蕩的),原子數(shù)目的差異和單光子失諧沒帶來任何影響.圖3(b)表明單光子失諧會降低有效拉比頻率,因此第一個(或者第二個)超級原子的最大里德堡激發(fā)概率以Δ=0為軸呈現(xiàn)對稱的下降趨勢.另一方面,系統(tǒng)的原子總數(shù)n=n1+n2+n3會隨著原子數(shù)目n1(=n2)的增加而增加,而有效拉比頻率與成正比,故失諧相同,n1較大最大里德堡激發(fā)概率會大一些.前面講過,超級原子的激發(fā)概率與包含的原子數(shù)目成正比,所以當n3保持不變,n1(=n2)增加到一定程度,第三個超級原子的激發(fā)概率會被明顯稀釋到可以忽略不計,所以另外兩個超級原子的最大激發(fā)概率接近飽和值又由于這兩個超級原子的激發(fā)與退激發(fā)是完全同相的,所以在此期間存在最大糾纏態(tài)也直接證明了這一結(jié)論(見圖3(c)).

圖3 (a)皮爾森關(guān)聯(lián)系數(shù) C p12 ;(b)超級原子的最大里德堡激發(fā)概率 ;(c)最大并發(fā)糾纏度作為原子數(shù)目 n1(=n2)和單光子失諧Δ 的函數(shù).演化時間為 Ω t=10,原子數(shù)目固定為 n3=1,其他參數(shù)同圖2Fig.3.(a)Pearson′s correlation coefficient Cp12 ;(b)maximal excitation probability of Rydberg SA ;(c)maximal concurrence as a function of the number of atoms n1(=n2) and the single-photon detuning Δ for a fixed number of atoms n3=1.All simulations are done after Ω t=10 evolution time.Relevant parameters are the same as in Fig.2.

4.2 系統(tǒng)初態(tài)為 |R1〉|G2〉|G3〉

系統(tǒng)初態(tài)制備在 |R1〉|G2〉|G3〉的動力學演化較為復雜.根據(jù)超級原子演化動力學特征和形成的糾纏態(tài)類型,將考慮以下兩種原子數(shù)目分類:1)n1=n2＞n3;2)n2=n3=n1/2.

現(xiàn)在考察第一種情況,即:n1=n2＞n3.由圖4(a)和圖4(b)可以看出,由于系統(tǒng)本質(zhì)上是具有強關(guān)聯(lián)屬性的,所以一個超級原子的退激發(fā)必然會引起其他兩個基態(tài)超級原子的同時激發(fā).在此過程中,由于偶極阻塞效應,三個超級原子共享一個里德堡原子激發(fā),因而有P1+P2+P3=1,但是與第三個超級原子相比,第二個較小,所以有P2＜P3.在激發(fā)與退激發(fā)過程中,很明顯第二、三超級原子是完全同相振蕩的,而第一、二和第一、三超級原子間則近似為反相振蕩要想實現(xiàn)完美的反相振蕩同時又不影響同相振蕩,由圖4(c)可知,在共振驅(qū)動的系統(tǒng)中是不會存在的,只有當單光子失諧 |Δ|≥20 MHz 才可以.原因在于單光子失諧會降低有效拉比頻率從而使得較小的超級原子里德堡激發(fā)被完美抑制,因此整個系統(tǒng)可以近似退化為兩個等大的較大超級原子,這樣激發(fā)與退激發(fā)形成完美的此消彼長的動力學演化,即反相振蕩.從圖4(d)可以看出,當激光共振驅(qū)動原子系綜時,無論第一個(第二個)與第三個超級原子的原子數(shù)目有多大差異,第三個超級原子都參與激發(fā)與退激發(fā)行為,因此第一、二個超級原子并不能形成完美的糾纏.只要存在單光子失諧,較小的(第三個)超級原子的激發(fā)行為就被完美的抑制,因此第一、二個超級原子會反相振蕩,當激發(fā)概率均近似為0.5 時會形成最大糾纏態(tài)

圖4 (a)超級原子的激發(fā)概率P 和 (b)皮爾森關(guān)聯(lián)系數(shù) Cp 的時間演化曲線;(c)皮爾森關(guān)聯(lián)系數(shù) Cp 作為單光子失諧Δ 的函數(shù);(d)最大并發(fā)糾纏度 作為原子數(shù)目 n1 的函數(shù).圖(c)和圖(d)的演化時間為 Ω t=10.圖(a),圖(b)和圖(c)圖中原子數(shù)目為n1=n2=6,n3=1,而圖(d)中原子數(shù)目 n3=1.其他參數(shù)同圖2Fig.4.(a)Dynamical evolution of excitation probability of Rydberg SAsP and (b)Pearson′s correlation coefficient Cp ;(c)Pearson′s correlation coefficient Cp as a function of the single-photon detuning Δ;(d)maximal concurrence as a function of the number of atoms n1(=n2).All simulations in Figrue (c)and (d)are done after Ω t=10 evolution time.The number of atoms n1=n2=6,n3=1 for Figure (a),Figurue (b)and Figure (c),and n3=1 for Figure (d).Relevant parameters are the same as in Fig.2.

對于第二種情況(n2=n3=n1/2),從圖5(a)可以看出,由于n2=n3,所以在第一個超級原子退激發(fā)(激發(fā))的過程中,第二、三個超級原子都會等概率的同時激發(fā)(退激發(fā)).因為三個超級原子共享一個里德堡激發(fā),所以當?shù)谝粋€超級原子回到基態(tài),其他兩個超級原子的激發(fā)概率均為0.5.與第一種情況類似,共振驅(qū)動下的系統(tǒng)中第一、三(第二、三)個超級原子也是近似反相振蕩,而第一、二個超級原子為完美的同相振蕩(見圖5(b)).要想獲得完美的反相振蕩,需要調(diào)整單光子失諧,使其滿足 |Δ|≥20 MHz 即可.若需要產(chǎn)生最大糾纏,從圖5(d)中可知,原子個數(shù)需要滿足n2=n3=n1/2,因為只有在這種情況下,當?shù)谝粋€超級原子回到基態(tài)時,另外兩個超級原子平均分享一個里德堡激發(fā),進而形成最大糾纏態(tài)

圖5 (a)超級原子的激發(fā)概率P 和 (b)皮爾森關(guān)聯(lián)系數(shù) C p 的時間演化曲線;(c)皮爾森關(guān)聯(lián)系數(shù) C p 作為單光子失諧Δ 的函數(shù);(d)最大糾纏并發(fā)糾纏度 作為原子數(shù)目 n2(=n3) 的函數(shù).圖(c)和圖(d)的演化時間為 Ω t=10.圖(a)、圖(b)和圖(c)原子數(shù)目為 n1=6,n2=n3=3.其 他參數(shù)同圖2Fig.5.(a)Dynamical evolution of excitation probability of Rydberg SAsP and (b)Pearson′s correlation coefficient Cp ;(c)Pearson′s correlation coefficient Cp as a function of the single-photon detuning Δ;(d)maximal concurrence as a function of the number of atoms n2(=n3).All simulations in Figure (c)and Figure (d)are done after Ω t=10 evolution time.The number of atoms n1=6,n2=n3=3 for Fgiure (a),Figure (b)and Figure (c).Relevant parameters are the same as in Fig.2.

5 結(jié)論

單模激光場驅(qū)動處于同一阻塞區(qū)域卻捕獲在三個磁光阱中的二能級里德堡原子系綜可以視為超級原子,進而基于明顯的空間分離,這個超級原子可以分為三個較小的超級原子.三體超級里德堡原子本質(zhì)上是強關(guān)聯(lián)的系統(tǒng),本文研究了這三體超級原子的關(guān)聯(lián)動力學行為以及集體態(tài)的量子糾纏.當系統(tǒng)初始制備在集體基態(tài) |G1〉|G2〉|G3〉上,三個超級原子間表現(xiàn)得是同相動力學振蕩行為,并且這種同相運動與每個超級原子所包含得原子數(shù)目無關(guān).當三個超級原子個數(shù)相等時,可以得到W 態(tài)而當系統(tǒng)初態(tài)為 |R1〉|G2〉|G3〉時,第一個超級原子在退激發(fā)和激發(fā)過程中會與其他兩個超級原子形成近似反相振蕩,當失諧較大得時候會出現(xiàn)完美反相動力學行為.而另外兩個超級原子則表現(xiàn)為完美的同相演化.當?shù)谌齻€超級原子很小的情況下,可以得到最大糾纏態(tài)而當?shù)诙⑷齻€超級原子都等于第一個超級原子一半的時候,可以得到另外一種最大的糾纏態(tài)我們的工作在遠程量子操縱與量子信息處理方面有著重要的潛在應用.