高能量粒子測地聲模與Dimits 區漂移波相互作用*

魏廣宇 陳凝飛 仇志勇2)?

1)(浙江大學物理學系，聚變理論與模擬中心，杭州 310027)

2)(Center for Nonlinear Plasma Science and ENEA C.R.Frascati，Frascati，Italy)

基于包含驅動和阻尼的三波非線性相互作用模型,構建了一個描述高能量粒子測地聲模(EGAM)與Dimits 區漂移波湍流相互作用的系統,并在系統的線性增長及非線性振蕩階段分別進行了解析和數值研究.更進一步的數值結果表明,在忽略EGAM 的貢獻時,該系統具有隨著線性驅動/阻尼率等參數的變化,從極限環振蕩經歷倍周期分岔最終進入混沌的行為特征.在此基礎上,形式上構建了本系統的非線性飽和Dimits區,并研究了EGAM 對Dimits 區漂移波的影響.結果表明,對于不同幅度和頻率的EGAM,被調制后的漂移波將表現出受到激發或抑制的效果.對此,采用相空間分析的方法給出了相應的解釋.

1 引言

漂移波湍流是磁約束等離子體中廣泛存在的一種微觀不穩定性[1,2],可以從等離子體不均勻性,如托卡馬克裝置中堆芯到邊緣的溫度梯度、密度梯度,獲得自由能并引發不穩定性,進而導致帶電粒子橫越磁場的反常輸運[3],降低裝置的約束水平.因此,研究漂移波的激發、非線性演化及飽和過程,對于理解進而改善托卡馬克等磁約束裝置的約束性能具有重要意義.大規模的回旋動理學模擬表明,帶狀流的存在將使漂移波不穩定性的閾值上升,即著名的Dimits 上移[4].原因可能是帶狀流本身自發地被漂移波激發并反過來抑制漂移波湍流的強度[5-7].帶狀流是指環形等離子體中由徑向擾動電場引起的E×B極向剪切流,其模結構特征是環向對 稱(n=0),極向近 似對稱(m≈0)[8,5].其中,n和m分別是環向模數和極向模數,E為擾動電場,B為平衡磁場.帶狀流包含頻率接近零的零頻帶狀流(zero-frequency zonal flow,ZFZF)[8],和有限頻率的測地聲模(geodesic acoustic mode,GAM)[9,10].由于模結構在環向和極向的對稱性,帶狀流不能從等離子體徑向不均勻性中獲得自由能而被激發,因而是線性穩定的,只能被湍流非線性激發①注:由于歷史原因,一般在講帶狀流“線性穩定”時,是忽略下面討論的高能量粒子測地聲模的..而GAM 則因為其有限頻率,可以與高能量粒子共振,并被其相空間各向異性所攜帶的自由能激發,產生高能量粒子測地聲模(energetic particle induced GAM,EGAM)[11-14].考慮到帶狀流對漂移波湍流的抑制作用,通過外部入射的高能量粒子束在漂移波不穩定區域激發EGAM 被認為是主動控制漂移波湍流的可行方案[15].然而,Zarzoso 等[16]在離子溫度梯度漂移波的非線性模擬中卻發現,當引入高能量粒子激發EGAM 后,湍流不僅沒有受到抑制,反而有所增強,這與一般的理論預測相反.對此的一個猜測是,在耦合的EGAM-漂移波湍流系統中,當EGAM 被高能量粒子驅動達到較高幅度時,能量將從EGAM 流向漂移波湍流.陳凝飛等[17]通過解析理論研究了有限幅度的帶狀流徑向電場對漂移波局域穩定性和模結構的影響,發現帶狀流對漂移波湍流總是起抑制作用,無法解釋相關模擬結果.因此,關于EGAM促進漂移波湍流的機制還有待進一步研究.

漂移波湍流與帶狀流的自洽非線性相互作用,可以通過參量衰變不穩定性(對于GAM 與漂移波湍流相互作用[10,18])或者調制不穩定性(對于ZFZF與漂移波湍流相互作用[6,19])進行描述,其物理圖像是漂移波湍流通過有質動力激發帶狀流結構,而帶狀流將漂移波湍流散射到線性更穩定的徑向短波長區間;描述耦合的漂移波-帶狀流系統非線性演化的方程可以從非線性回旋動理學方程進行推導,詳細的推導過程在參考文獻[19](其中的方程組(12)和文獻[10](其中的方程(29)—(31))中給出.描述ZFZF 和GAM 與漂移波湍流相互作用的模型不同,是由于ZFZF 具有有限的徑向波數而頻率接近為零,其與漂移波泵浦波的耦合產生的上下邊帶模均不滿足漂移波的線性色散關系,具有一個小的“頻率失配”,因此必須采用同時包含上下邊帶模的“四波”調制不穩定性模型來研究ZFZF 的激發;而GAM 與漂移波泵浦波耦合產生的下邊帶模有可能滿足漂移波的線性色散關系,激發閾值明顯低于上邊帶模,因此可以忽略上邊帶模的貢獻.然而,從參考文獻[10]和[20]可以看出,當考慮漂移波-ZFZF 耦合系統的慢時間尺度演化時,描述上下邊帶模的方程是對稱的,可以合并為同一個方程.因此,盡管本工作涉及到漂移波湍流與ZFZF的相互作用,我們依然采用耦合的三波方程來描述其非線性演化.

漂移波湍流具有線性的群速度,因此非線性耦合系統除了具有時間演化外,還具有空間上的傳播特性,如參考文獻[18]中的方程(9)和(11)所示.對此,可以對漂移波方程做平移變換,消去方程中的空間偏導,得到的系統僅對時間有依賴關系.考慮線性不穩定的漂移波泵浦波的線性驅動,及漂移波邊帶模和ZFZF 的線性阻尼率后,就得到描述漂移波和ZFZF 時間演化的三波非線性耦合模型;從這一模型出發來研究ZFZF 與漂移波相互作用的相關物理,形式上構建Dimits 區的漂移波湍流.最后,作為本工作最重要的結果,在模型中引入EGAM,來研究EGAM 與Dimits 區漂移波的相互作用.利用解析和數值的手段,從不同角度探究了這兩個系統的動力學特征.首先在三波非線性耦合模型中,可以看到依賴于參數變化,系統從極限環振蕩經歷倍周期分岔最終進入混沌的行為[21].考慮了EGAM 的影響之后,發現由于EGAM 的幅度和頻率的不同,被調制的漂移波將表現出受到激發或抑制的不同趨勢.相空間結構的分析表明,漂移波被激發或抑制的現象最終可以歸結為相空間軌道被不同尺度的不動點或極限環所捕獲的結果.本文的結構安排如下:第2 節引入理論模型;第3 節分析了包含源和匯的耦合漂移-ZFZF 系統的非線性演化;第4 節研究了EGAM 對Dimits區漂移波的影響;第5 節給出簡單的總結和討論.

2 基本模型

為了研究Dimits 區漂移波的行為,采用三波耦合的物理圖像來描述漂移波和帶狀流的相互作用[18,22].在此過程中,一支漂移波泵浦波Ω0(ω0,k0)衰變為兩支子波-漂移波邊帶模Ω1(ω1,k1)和ZFZFΩZ(ωZ,kZ).考慮子波的耦合對泵浦波的反饋及每支波的線性激發和阻尼,并忽略調制不穩定性伴隨的小的頻率失配,三支波的振幅隨時間的演化滿足如下方程組:

其中?0,?1,?Z分別代表泵浦波、邊帶模和ZFZF 的振幅,即Ωj=?je-iωjt(j=0,1,Z) ;?E代表EGAM的幅度,ωE代表EGAM 的頻率①注:如果考慮zonal flow 與漂移波的非線性相互作用引起的有限頻率,我們可以將EGAM 頻率與該頻率之差重新定義為 ωE ,從而方程(1)的形式保持不變.;γ0代表泵浦波的線性驅動,γ1和γZ代表漂移波邊帶模和ZFZF的線性阻尼,α0,1,Z代表非線性項的耦合系數.為不失一般性,規定γ0,1,Z＞0,α0,1,Z＞0.

在忽略EGAM 的影響(?Ecos(ωEt))時,方程(1)描述了漂移波和ZFZF 的相互作用.其中考慮到漂移波上下邊帶模方程形式上的對稱性[19],我們已經將“四波”調制不穩定性過程歸結為方程(1)所示的三波相互作用.此外,本文暫時不考慮調制不穩定伴隨的頻率失配效應,這在非線性耦合引起的增長/衰減的時間尺度短于頻率失配時是自然成立的.實際上,由(1)式描述的三波非線性耦合模型的應用非常廣泛,除了用來解釋等離子體中波的相互作用,它與光學中的參量振蕩器[23],流體力學中剪切流和重力波的相互作用[24]等很多物理過程都有密切聯系.注意到如果方程組(1)中?0,?1和?Z的初值都設置為實數,那么這3 個物理量將始終在實數范圍內變化,從而方程中的共軛符號可以忽略.后面如果不做特殊說明,都只在實數范圍內考慮該系統的行為.

EGAM 對耦合的漂移波湍流-ZFZF 系統的調制作用體現在方程(1)中第2 個方程右側的?Ecos(ωEt)這一項上.由于EGAM 由高能量粒子所激發,可以忽略漂移波-ZFZF 系統的影響,而重點研究EGAM 對漂移波的調制,因此在漂移波和帶狀流的演化過程中?E和ωE的大小都保持不變.從方程(1)可以看出,加入EGAM 相當于在方程組中引入了一個強度和符號都隨時間周期性變化的參數.當EGAM 與?Z符號相同時,關于漂移波邊帶模?1的方程右邊的耦合項被增強,EGAM 將增強ZFZF 對漂移波的調制;而當EGAM 與?Z符號相反時,?1方程右邊的耦合項則被減弱,甚至整個耦合項的正負性可能會被改變.因此,EGAM的引入將對原系統起到很明顯的調節作用.第4 節將以上述模型為基礎詳細地討論EGAM對Dimits區漂移波的影響.這里需要指出,在?Z后面加入?Ecos(ωEt)項來研究EGAM 的作用效果是基于對漂移波-帶狀流相互作用的物理機理的理解,突出其對漂移波邊帶模的調制,并沒有從第一性原理出發嚴格推導.基于第一性原理系統地描述漂移波、GAM 和高能量粒子的非線性演化的方程由參考文獻[15]給出 (其中的方程(38)、(79)和(80)).而自洽描述ZFZF 和漂移波相互作用的方程由文獻[19]中的(9)式和(10)式給出.可以看到,GAM和ZFZF 對漂移波調制的非線性項在結構上是完全一樣的,因此,對漂移波的相互作用可以認為是線性疊加,將EGAM 與?Z合并來表示帶狀流整體對漂移波的調制效果被增強或抑制應該是一個比較自然的想法.

3 漂移波-帶狀流系統的動力學行為

本節從耦合方程組(1)出發,忽略EGAM 的影響,研究漂移波和ZFZF 的相互作用,并構建該系統下的Dimits 區.從方程組(1)等號右側的耦合項可以看出,子波受到的非線性激勵正比于泵浦波與另一支子波的耦合強度;同時,泵浦波將受到來自兩支子波非線性耦合的負反饋.當子波的幅度很小時,其對泵浦波的反饋可以忽略,子波在泵浦波的激勵下不斷增長;而當兩個子波增長到一定程度時,子波的負反饋將可能超過泵浦波的線性驅動,從而使得泵浦波強度減小,相應的子波受到的激勵也隨之減小.直觀來看,3 支波可能會在某一時刻達到“收支平衡”,或者說系統趨向于一個靜止的穩態解,即不動點解.然而,根據Anderson 等[25]的相關研究,該系統在一般情況下并不存在穩定的不動點解.實際上,3 支波最終將呈現出此消彼長的振蕩行為.下面詳細來看子波線性增長和三波非線性振蕩這兩個行為.

對于子波剛開始從擾動水平增長的階段,子波的耦合對泵浦波的反饋效果可以忽略.從而?0的演化方程與?1和?Z解耦,方程組(1)變成一個線性的常微分方程組,可以直接求解.為了使方程的解更加直觀,同時忽略泵浦波的線性驅動,從而方程組(1)退化為

這是一個典型的參量不穩定性問題.子波?1和?Z的增長率γ由非線性色散關系 (γ+γ1)(γ+γZ)=決定,從而得到參量不穩定性的增長率為

由此可以給出系統關于 |?0|2的穩定性閾值|?0|2=γ1γZ/(α1αZ).也就是說,當泵浦波的強度大于該閾值的時候,邊帶模和ZFZF 將被激發起來,呈指數增長.當泵浦波的幅度遠大于閾值時,可以忽略子波阻尼率的影響,增長率與泵浦波的幅度成正比,即γ∝|?0|.

當兩個子波增長到和泵浦波相同量級的時候,他們對泵浦波?0的反饋不能忽略,需要完整地求解方程組(1).對3 個波的幅度做如下歸一化:

原方程組變為

3 個方程分別乘以?0,?1和?Z,再相互加或減以消去右邊的耦合項,得到如下3 個恒等式:

這組守恒式被稱為Manley—Rowe 關系[26],給出了參量衰變過程中所滿足的粒子數量守恒關系.方程組(6)是Manley-Rowe關系推廣到包含線性驅動/阻尼下的一般形式.結合方程(7)給出的3 個守恒量和(5)式的第一個方程,可以得到描述n0演化的方程為

其解由橢圓函數給出,即

其中sn 是橢圓正弦函數.方程(9)給出了忽略3 支耦合波的線性增長/阻尼率時,泵浦漂移波的時間演化行為.在求解過程中,假定了ZFZF 的初始強度大于漂移波邊帶模,即m1＜m2,否則方程(9)中m1和m2的位置要相互交換.另外兩支波的解可從守恒條件(7)得出.根據這3 個解在圖1 中給出了3 支波的演化曲線,可以看到波的強度隨時間周期性變化,且泵浦波和兩個子波的強度此消彼長,表現出典型的捕食者-獵物模型的行為特征.值得注意的是,大部分描述帶狀流激發的參量/調制不穩定性模型,只關注了圖1 中的早期階段,從而只從原理上論證了帶狀流激發的機制,并未系統研究其對漂移波湍流非線性演化和飽和的貢獻[20,27].

圖1 忽略3 支波的線性增長/阻尼時,3 支波強度隨時間的演化.紅色實線、藍色虛線和黑色點線分別代表泵浦波、邊帶模和ZFZF 的演化曲線Fig.1.Evolution of the strength of the three waves with time when the linear growth/damping of the three waves is ignored.Red solid line,blue dashed line and black dotted line represent the evolution curve of pump wave,sideband and ZFZF,respectively.

回到包含線性驅動和阻尼的方程組(5),再對3 個波的幅度和時間做歸一化:?0,1,Z→γ0?0,1,Z和t→t/γ0,可以得到

因此,要研究系統的演化特征與方程組參數的關系,只需要改變兩個相對阻尼系數γ1/γ0和γZ/γ0.下面通過數值離散的方法求解方程組(10),計算的差分格式采用四階龍格庫塔方法,編程語言采用MATLAB.通過在0.0—5.0 范圍內掃描參數γ1/γ0和γZ/γ0的值發現,當γ1/γ0和γZ/γ0的值在圖2(a)的黃色區域時,波的幅度隨時間增加而無限增長,如圖2(b)所示;而當取值在圖2(a)的藍色區域時,波的幅度最終穩定在有限范圍內,如圖2(c)所示.對于圖2(a),黃色區域主要集中在γ1+γZ＜γ0的范圍內以及對角線γ1=γZ附近.其中γ1+γZ＜γ0這一參數區間直觀上是容易理解的,此時三維相空間(空間坐標為?0,?1和?Z)內體積 的增長 率γ=γ0-γ1-γZ＞0,即相空間體積是膨脹的.因此有限體積內的相點最終將擴散到無窮大范圍去,從而系統表現出無限增長的趨勢.然而,系統在γ1=γZ附近的增長行為直觀上無法簡單地解釋,但由于這個參數范圍(γ1≈γZ?γ0)并不是本問題的重點關注區間,我們將在之后的工作中再深入討論.對于圖2(c),需要指出,當系統進入穩態后(表現為曲線的周期性振蕩),曲線振蕩的周期和幅度僅依賴于方程中的參數γ1/γ0和γZ/γ0,而和初值的選取無關,它代表了該非線性系統在參數確定的情況下必然的演化趨勢.在非線性動力學中,這種周期性振蕩也被稱為極限環.如果在相空間內畫出相點的運動軌跡,將得到一個封閉的環形軌道.由于附近的相軌道隨時間增加都無限逼近于該極限環,我們稱該極限環是穩定的(或吸引的).

圖2 (a) γ1/γ0 和 γZ/γ0 的參數空間內,當參數取值在黃色區域(標記為U)時,系統無限增長,當參數取值在藍色區域(標記為S)時,系統穩定在有限范圍內;(b),(c)兩種情形下3 個波的時間演化曲線Fig.2.(a)In the parameter space of γ1/γ0 and γZ/γ0,when the parameter value is set in the yellow region (marked by U),the system grows infinitely,while in the blue region (marked by S),a stable state of the system is obtained;(b),(c)time evolution curves of the three waves in these two cases.

事實上,圖2(c)并不是系統穩定在有限范圍后所表現出的唯一的振蕩模式.固定γ1/γ0=5.0,而從5.01 開始逐漸增加γZ/γ0.試驗發現,系統剛開始收斂到圖2(c)所示的極限環上;隨著γZ/γ0的增加,系統出現如圖3(a)所示的周期倍增現象;經歷多次倍周期分岔后,最終系統進入到非周期振蕩的混沌,如圖3(b)所示.此時系統的狀態對初值具有極端敏感的依賴性,初值的任意微小差異都會使系統在確定時刻的狀態有很大不同.但同時混沌依然保持有穩定性,它使得系統最終收斂到一個有限的范圍內.因此由數值計算得到的圖3(b)只能反映系統收斂到的大致范圍,而不能給出在某一時刻系統的確切狀態.圖3(c)用zn=max{|?0(t)|}隨γZ/γ0變化的散點圖形象地展示了系統從極限環振蕩經歷倍周期分岔到達混沌的這一過程.需要指出的是,觀測到系統這一動力學特征的參數采樣點并不限于上述給定的取值范圍.數值試驗的結果表明,在圖2(a)的藍色區域內,從黃藍區域的邊界線附近出發沿直線遠離該邊界線,在這樣的參數采樣下總能觀察到類似圖3(c)的結果.

圖3 (a) γ1/γ0=5.0 ,γZ/γ0=5.5 時泵浦 波 |?0|隨時間 的演化;(b) γ1/γ0=5.0 ,γZ/γ0=5.8 時泵浦 波 |?0|隨時間 的演化;(c) z n=max{|?0(t)|} 隨 γZ/γ0 變化的散點圖Fig.3.(a)Time evolution curves of pump wave |?0|when γ1/γ0=5.0 ,γZ/γ0=5.5 ;(b)time evolution curves of pump wave|?0|when γ1/γ0=5.0 ,γZ/γ0=5.8 ;(c)scatter plot of z n=max{|?0(t)|} varying with γZ/γ0.

通過本節的研究可以看到,由上述三波模型所描述的非線性耦合漂移波-帶狀流系統,由于ZFZF的激發主要有3 種行為:不穩定的振蕩(無限增長);穩定的周期性振蕩(極限環);穩定的非周期性振蕩(混沌).這些曲線整體的變化可以非常復雜,振蕩的周期和幅度有各有不同,但仔細觀察圖2(b)和圖2(c)可以看出,在一個小的時間窗口內,3 支波的振蕩行為和圖1 所示的捕食者-獵物模型是類似的.因此,考慮非零的線性增長率和阻尼率后,最直觀的影響是對圖1 所示的三波振蕩產生了周期和幅度上的調制.

由于Dimits 區對應于漂移波湍流非線性穩定區域,將圖2(c)所示的周期振蕩行為定義為本非線性耦合模型的Dimits 區,并研究外加有限頻率的EGAM 對其的影響.需要注意的是,本工作的出發點是研究周期性振蕩的EGAM 對Dimits區湍流的影響,但本文的主導方程組(1),并不限于EGAM.實際上,對于任何周期性的磁面對稱的電場振蕩對漂移波湍流的影響,均可用此模型進行研究,如外加的靜電偏壓,以及由其他湍流(如阿爾芬不穩定性)所激發的GAM/ZFZF 等.

4 EGAM 對Dimits 區漂移波的影響

根據上一節的研究,可以構建一個穩定的描述Dimits 區漂移波的系統.取方程組(1)中的γ0=1.0,γ1=3.0,γZ=3.1,此時加入EGAM 之前的漂移波-ZFZF 系統處于圖4(a)所示的周期振蕩的穩態解上.本節將探究有限頻率的EGAM 對原系統的影響.為了盡可能減少數值不穩定性,在引入EGAM 的時刻用一段平滑增強的過程來過渡,如圖4(b)所示.

4.1 緩變EGAM 對Dimits 區漂移波湍流的影響

首先考慮一個“緩變”的EGAM,對應于頻率遠小于圖4(a)中周期振蕩頻率的情形.因此在很長一段時間內,EGAM 相對于漂移波-帶狀流而言近似是一個常數?E,從而可以忽略EGAM 的周期振蕩,將方程組(1)寫為

圖4 (a)加入EGAM 之前系統的周期性振蕩.藍色實線、藍色虛線和藍色點線分別代表泵浦波、邊帶模和ZFZF 和的時間演化曲線.(b)周期振蕩的EGAM 曲線,初始階段逐步增強以實現平滑過渡Fig.4.(a)Periodicoscillation of the system before EGAM is introduced.The blue solid line,blue dashed line and blue dotted line represent the evolution curve of pump wave,sideband and ZFZF,respectively.(b)Periodically oscillating EGAM.The initial phase is progressively enhanced to achieve a smooth transition.

對于該方程組,先研究其不動點解的穩定性.令方程中的時間導數為0,得到如下5 個不動點解:

圖5 (a)5 個不動點在相空間的相對分布;(b)不動點 P1 和 P3,(c)不動點 P2 和 P4 處Jacobi 矩陣的3 個本征值的實部隨 ?E 的變化.此處 γ0=1.0 ,γ1=3.0 ,γZ=3.1Fig.5.(a)Relative distribution of five fixed points in phase space.Dependence of the real part of the three eigenvalues of Jacobi matrix at fixed points (b) P1/ P3 and (c) P2/ P4.Here,γ0=1.0 ,γ1=3.0 ,γZ=3.1.

不動點的穩定性可以通過計算不動點處的Jacobi 矩陣得到,對應于在不動點附近做線性化后得到的線性微分方程組的系數矩陣:

其本征值可解得:

不動點的穩定性由本征值γ(j)的實部,即Re(γ(j))決 定,R e(γ(j))可以簡單理解為不動點附近的擾動的增長率.如果 R e(γ(j))＜0,則不動點是穩定的;反之是不穩定的.將不動點坐標和參數γ0,1,Z的值代入γ(j)的表達式,將得到本征值與?E的依賴關系.圖5(b)和圖5(c)分別給出了P1(或P3)和P2(或P4)處Jacobi 矩陣的三個本征值的實部隨?E的變化.可以看出,當?E＜-1.48 時,不動點P1和P3是穩定的;當?E＞1.48 時,不動點P2和P4是穩定的;當-1.48＜?E＜1.48時,不存在穩定不動點.注意到不動點P0一定是不穩定的,因為(11)式的第一個方程在P0處線性化后必將得到指數增長的?0.而當?E=0時退化到原來的三波耦合情形,不存在穩定的不動點,這與第3 節提到的Anderson和Bondeson[25]的研究結果相符合.后面將只考慮?E＞0 的情況,因為對于?E＜0的情況,只需要將?1和?Z反號就等價為?E＞0時的方程組.

試驗發現,當參數?E在不同的區間內取值時,系統在相空間內的不動點和極限環會表現出不同的性質:

1) 當?E＞1.48時,相空間內除了有兩個穩定不動點P2,P4(圖5(a)),還有兩個穩定的大極限環,如圖6(a)的藍色曲線所示,大小(通過 max{|?0|}表征)與?E呈正相關,而形狀基本保持不變.在此情形下,根據初值選取的不同,系統最終將收斂到大極限環或不動點P2,P4上.

2) 當 0.88＜?E＜1.48時,大極限環仍然存在,不動點P2,P4失去穩定性,但附近出現兩個穩定的小極限環,如圖6(b)的藍色曲線所示.在此情形下,根據初值選取的不同,系統最終將收斂到大極限環或小極限環上.

圖6 (a) ?E=2.0 時的大極限環;(b) ?E=1.0 時的小極限環;(c) ?E=0.6 時的中等尺寸極限環;(d) ?E 從1.4 減小到0.6,兩個小極限環合并為中等尺寸極限環的過程Fig.6.(a)Big limit cycle when ?E=2.0 ;(b)small limit cycle when ?E=1.0 ;(c)medium size limit cycle when ?E=0.6 ;(d)two small limit cycles combine into one medium size limit cycle with ?E decreasing from 1.4 to 0.6.

3) 當 0.37＜?E＜0.88時,大極限環仍然存在,沒有穩定不動點.P2,P4附近的小極限環合并為一個中等尺寸的極限環,如圖6(c)的藍色曲線所示.圖6(d)用?0-?1平面內的投影展示了?E從1.4 減小到0.6,兩個小極限環合并為中等尺寸極限環的過程.在此情形下,根據初值選取的不同,系統最終將收斂到大極限環或中等尺寸極限環上.

4) 當?E＜0.37時,大極限環仍然存在,中等尺寸極限環消失,沒有穩定不動點,逐漸回歸到沒有EGAM 的情形.在此情形下,系統只可能收斂到大極限環上.

經過上面的試驗,實際上給出了系統所有可能存在的穩態解.其中極限環對應的是周期變化的穩態解,穩定不動點對應的是常數穩態解.在方程的初值和參數?E給定的情況下,足夠長時間后,系統必然會演化到相應的穩態解上.需要指出的是,這里的區間范圍是在其他參數(γ0,1,Z)給定的情況下通過數值計算得到的,如果其他參數改變,上面給出的區間范圍也要做相應的修改.注意到大極限環對應的漂移波和帶狀流的幅度均遠大于其初始值(如圖4(a)所示),因此在本文中方程組(1)所描述的EGAM 與Dimits 區湍流耦合系統,只有收斂到不動點和小極限環的情況才對應于緩變的EGAM對Dimits 區漂移波湍流的進一步抑制;而不穩定解和大極限環情形,對應于EGAM 對Dimits 區漂移波的激發.注意到此處假定了EGAM 的頻率小于原耦合漂移波-ZFZF 系統的振蕩頻率,因此本節的結論是否可以直接應用于理解參考文獻[16]的模擬結果,需要進一步分析.

4.2 周期振蕩的EGAM 對Dimits 區漂移波的影響

回到方程組(1),下面考察不同幅度(?E)和頻率(ωE)的EGAM 對Dimits 區漂移波的影響.模擬發現,由于EGAM 的幅度和頻率的不同,被調制后的漂移波有可能表現出被激發或抑制這兩種截然相反的效果.圖7(a)、圖7(c)和圖7(e)給出有限幅度的EGAM 引起的3 種典型變化,參數設置分別為1)?E=1.4,ωE=0.02π ;2)?E=2.8,ωE=0.02π ;3)?E=1.4,ωE=0.04π.圖 7(b)、圖 7(d)和圖7(f)是對應的相空間軌跡.

分析發現,圖7(a)、圖7(c)和圖7(e)中曲線的形成都與圖6 所列出的忽略EGAM 的振蕩時的各類極限環和不動點密切相關.下面逐個進行分析.

1) 對于圖7(a)和圖7(b),相軌道始終被大極限環所捕獲,表現出大幅的振蕩行為.由于大極限環的尺寸與EGAM 的實時幅度近似成正比,圖7(a)中曲線振蕩的包絡形狀由所調制.

圖7 (a) ?E=1.4 ,ωE=0.02π 時泵浦波 |?0|隨 時間的演化及(b)相應的相空間軌跡.(c) ?E=2.8,ωE=0.02π 時三波隨時間的演化及(d)相應的相空間軌跡.(e) ?E=1.4 ,ωE=0.04π 時三波隨時間的演化及(f)相應的相空間軌跡Fig.7.(a)Time evolution of pump wave |?0|when ?E=1.4 ,ωE=0.02π and (b)corresponding trajectory in phase space.(c)Time evolution of three waves when ?E=2.8 ,ωE=0.02π and (d)corresponding trajectory in phase space.(e)Time evolution of three waves when ?E=1.4,ωE=0.04π and (f)corresponding trajectory in phase space.

綜上,這三種曲線都可以看作是相軌道被不同的極限環或穩定不動點捕獲的結果.由于EGAM 的幅度隨時間變化,不同時刻極限環的類型和大小、不動點的位置和穩定性都有所不同,這才導致了曲線振蕩模式的多樣性.而曲線波動的快慢則影響了曲線在不同模式間的轉換.

可以注意到,只有系統演化如圖7(a)和圖7(b)所示,相軌道被大極限環所捕獲時,漂移波 |?0|才是被激發的(圖7(a)),從而表現出類似于參考文獻[16]所觀測到的EGAM“激發”漂移波湍流的過程.而相軌道被大極限環所捕獲的關鍵則是大極限環隨變化的速度要小于此刻大極限環“吸引”附近相軌道的速度,否則相軌道很容易就會離開大極限環的捕獲范圍,轉而被不動點或小/中極限環所捕獲,進而表現出漂移波被抑制的效果,正如圖7(c)和圖7(e)所示.然而,極限環對附近相軌道的“吸引”速度難以精確衡量,且目前還不能給出極限環的解析表達式,所以要定量給出激發漂移波對EGAM的具體要求還十分困難.但根據已有的數值結果,仍然可以給出一些簡單的定性的描述:給定EGAM 的幅度,EGAM 的頻率越低,漂移波越容易被激發;給定EGAM 的頻率,當EGAM 的幅度小于某一臨界值時,漂移波將被激發,且被激發的程度近似正比于EGAM 的幅度,而當EGAM 的幅度超過該臨界值時,漂移波將被抑制.

5 總結

在本文的工作中,為了理解參考文獻[16]中觀測到的EGAM 對漂移波湍流的“激發”,使用一個簡化的三波非線性耦合的模型研究了漂移波-ZFZF 系統的時間演化特征,以及EGAM 對Dimits區漂移波湍流的作用.當忽略EGAM 的影響時,在非線性過程的初始階段,漂移波邊帶模和ZFZF 將因為參量不穩定性而被激發,激發的閾值由子波的阻尼率所決定.而當子波對泵浦波強烈反饋時,如果不考慮驅動和阻尼,方程組的解由一組橢圓函數給出,三個波的強度表現出類似捕食者-獵物模型的周期性振蕩行為;當考慮驅動和阻尼時,上述振蕩的周期和幅度將受到調制,并且在相對阻尼系數的不同取值下,系統可能表現出不穩定增長、極限環和混沌這三種不同的行為.本文也推導了包含線性驅動和阻尼時非線性系統的守恒量.在此基礎上,構建了此系統的Dimits 區,并基于方程組(1)所示的模型來研究EGAM 對原系統的影響.在不考慮EGAM 振蕩的情況下,通過相空間分析的方法,給出了系統所有可能存在的穩態解(穩定不動點和極限環)對EGAM 的幅度的依賴關系.當考慮EGAM 振蕩后,基于實時的EGAM 幅度,和EGAM 的振蕩頻率與漂移波-ZFZF 系統演化到“大極限環”的周期振蕩態的時間尺度之比,解釋了相空間具有不同振蕩模式的原因,并定性地給出此模型下漂移波被EGAM 驅動或抑制的條件.

感謝浙江大學陳騮教授分享的一些原始想法.