大學數學建模教學探索與實踐

杜 健，胡紅娟，夏 靜

(陸軍裝甲兵學院基礎部，北京 100072)

當今，科學技術以空前的廣度和深度飛速發展，許多現實問題必須通過模型的定量化描述、分析并求解，才可能得出科學的結論。因此，數學建模作為連接實際問題與數學問題的橋梁技術，承擔著越來越重要的作用。

1 大學數學建模教學現狀

大學開設數學建模課程，并在教學內容、教學方法及課程考核等方面進行了一系列改革，極大地提升了學生的應用能力，在數學教學方面取得了一定的成效[1]。但是從當前的教學現狀來看，仍然存在許多問題，主要表現在盡管教師課上講了許多建模方法，學生面對實際問題時仍不知如何下手，無法建立有效的模型；建立的模型過于簡單，不能刻畫實際問題的本質特征，得不出合理的問題結果；不能將數學建模的思想、方法，應用于專業課程的學習中，以解決專業問題；畢業論文設計中，想要運用數學建模技術解決某個專業課題，卻難以得出科學的結論。產生這些問題的主要原因是學生沒有真正掌握建模的思想與方法，仍處于模仿階段，僅將相關模型套用于問題中。

數學建模的本質是對實際問題引入變量，做出適當的簡化和假設，運用數學解析式刻畫變量間的基本關系或者結構，再通過數值求解，得出問題的解答，并應用于實際進行檢驗和推廣[2]。因此，課程教學不應僅局限于建模方法的傳授，更應著力于實際問題數學化，使學生在抽象的過程中，領略建模的思想與技術。在建模方法的講授過程中，教師應強化案例教學，使學生能夠分析問題中變量的基本關系，抽象出數學結構，建立數學模型。目前的教學更重視方法理論教學，而忽視實踐教學，導致學生較弱的建模能力無法適應社會對高素質人才的需求。因此，對數學建模教學進行理論探討與實踐探索成為當前數學教育改革的重點。

2 大學數學建模教學的理論研究

2.1 將抽象思維形象化，使學生形成建模的基本意識

建立數學模型，難點是對實際問題進行抽象，這也是建模的本質工作。大學數學課程具有的前沿性和高階性，無不滲透了抽象的過程[3]。相應地，數學建模教學要通過對相關學術文獻的分析，在解決問題的過程中引導學生學會分析變量之間所蘊含的基本關系，抽象出問題的量化解析式，學會對知識進行遷移，掌握抽象建模的基本方法。只有具備了抽象的基本方法，才能將抽象思維形象化，刻畫問題變量的關系才能變得更加簡潔明了，建立模型就會得心應手。因此，教學強化抽象思維過程，培養學生的應用意識，是當前建模教學應著力加強的環節。

2.2 將理論知識實用化，使學生掌握建模的基本方法

大學數學知識內容龐雜，計算繁瑣，理論推證較為復雜。數學建模面對的則是實際問題，如何跨越理論與現實的鴻溝，是建模教學應著力解決的問題[4]。通過對現實問題基本關系的分析，用數學語言描述問題所蘊含的基本規律，使學生理解從實際問題到數學問題的抽象過程，掌握數學知識的實用化方法，了解知識的應用背景，從而建立理論知識與現實問題的通道，學會分析問題、解決問題的基本方法。在教學過程中，要充分還原知識的發現過程，培養歸納式思維，使知識學習及方法掌握變得快捷有效，提升建模本領。

2.3 充分引入案例教學，培養學生建模能力

數學建模教學比較注重一些常用方法的傳授，如微分方程建模、層次分析建模、時間序列建模等[5]。掌握建模的方法可以使學生較快掌握建模技術，面對實際問題時盡快融入某種方法，提出解決方案。但是，這樣也容易形成思維定式，不利于創造性思維的培養[6]。在教學過程中可引入案例教學，在解決問題的過程中根據實際需要，引出相應的數學概念、方法和理論，使知識的產生與發現變成自然而然的過程。這不僅符合知識的產生過程，而且與學生的思維認知過程一致，有利于學生掌握數學模型的基本方法，提升建模學習的興趣，增強應用意識，提升實踐能力，使學生具備初步的建模能力，解決現實生活中的實際問題。

2.4 加強數學實驗教學，提升學生建模創新水平

數學建模的對象是實際問題，因此模型求解更多的是數值求解，這就需要借助相應的數學軟件編寫程序，進行模擬求解。這實際是一個實驗過程，因此強化實驗教學必不可少[7]。為強化數學建模思想，可結合案例教學，加強數學實驗教學，向學生演示MATLAB、SPSS、SAS等統計軟件中的基本功能，展示數學模型的建立及求解過程[8]。通過數學工具軟件演示求解過程，學生在程序運行與調試過程中，學會運用數學思維思考和解決問題，體現應用數學知識進行數學建模的全過程，進而提高學生的建模創新水平。

3 大學數學建模教學實踐探索

3.1 抓住概念本質，強調知識的綜合應用

學會根據問題的要求構造必需的函數，建立解決問題所需的數學模型。定積分概念是以求曲邊梯形面積為例引入的，通過分割、求和、取極限三個過程實現了曲邊梯形面積的計算，其中蘊涵了化整為零、積零為整的數學思想[9]。

教學中首先要歸納出兩點：

第一，用定積分解決問題的共性是求在[a,b]非均勻分布的一個整體量A。

3.2 突出最基本的思想，領會解決問題的過程

微元法是定積分應用中的最基本方法，教學中要以定積分概念的引出過程為例，引導學生掌握微元法的基本概念，以及微元法所滿足的條件[10]。在實際問題中，如果問題變量在其取值區間上具有可加性，就可嘗試構造定積分的表達式去表示該變量，建立相應的數學模型解決問題。

從以下兩方面考慮建模：

第一，分析所解決的問題變量U，滿足以下條件：A.U與變量x的變化區間[a,b]有關。B.U對于區間[a,b]具有可加性。C.U部分量ΔUi可近似地表示成f(ξi)·Δxi。

3.3 掌握最基本的方法，培養創新思維能力

優化問題是數學建模的重要方面，根據定積分的幾何意義，確定幾何圖形面積、體積的最值。

為2，求函數y=f(x)，問a為何值時，圖形S繞x軸旋轉一周所得的旋轉體體積最小？

所以當a=-5時，該旋轉體體積為最小。

4 結語

大學數學建模教學關鍵在于使學生了解數學建模的基本思想，掌握從實際問題中提煉數學關系的方法，檢驗學生的知識結構和綜合運用能力。面對信息社會的深刻變革，學生只有掌握了數學建模的思想與方法，才能在面對實際問題時，運用數學的思維意識，建立問題的模型結構，創造性地解決問題，凸顯數學教育的功能價值，這也正是大學數學教學的意義所在。