一道南京市高三調研試題的探究

福建省莆田第十中學 (351146) 林清霞

1.探究一般性結論

2 橫向推廣探究

以上關于橢圓的性質，對于雙曲線和拋物線，是否具有類似性質？經探究，可得

以“-b2”替換上述探究中的“b2”，可得結論2.1.下面只證明結論3.1.

3.變式拓展探究

結論1.1是以左或右頂點為一個頂點的三角形的三邊所在直線的斜率的一個性質，如果換為上或下頂點時，是否有相應的性質？

類似可得:

4.探究結論的應用

下面以所得到的結論解決有關問題.

例1 (2020年南昌市一模理科數學試題第20題)已知圓F1：(x+1)2+y2=r2(1≤r≤3),圓F2：(x-1)2+y2=(4-r)2.(1)證明圓F1與圓F2有公共點，并求公共點的軌跡E的方程；(2)已知點Q(m,0)(m<0),過點F2斜率為k(k≠0)的直線l與軌跡E相交于M,N兩點，記直線QM,QN的斜率分別為k1，k2,是否存在實數m，使得k(k1+k2)為定值？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

例3 (2012年第3屆世界數學團體錦標賽青年組個人賽第4輪第13題)經過拋物線y2=2px(p>0)的頂點O作兩條弦OA和OB，若OA、OB的斜率k1、k2恰好為方程x2+4x-2=0的兩個根，求直線AB的斜率k.