多元建模有技巧，教無定法講數學

福建省光澤縣實驗小學 陳萬林

數學教學是一個啟發思維的過程，當課程標準出現在課堂上，就要借助課程標準對教學活動進行重新整理，培養學生的思維與技能，設計科學的數學活動。借助課程標準引領教師開展教學，幫助學生掌握數學模型的構建方法，能夠在抽象與直觀、幾何與數字之間打開新的教學出路，幫助小學生建立并把握有關的數學建模，使之把握數學的根本。現圍繞筆者自身的教學經驗，分享一些教學策略。

一、數學模型概述

數學模型是運用數理邏輯方法和數學語言建構的科學或者工程模型，用以解決各種實際問題。其表達的內容可以是定量的，也可以是定性的，但最終必須以定量的方式體現出來。在小學數學教學階段，數學模型可以描述為針對一個特定的數學目的，對一個特定的對象，根據其特有的內在規律做出必要的簡化假設，運用適當的數學工具得到一個數學結構，從而建立數學模型。

數學模型是數學基礎知識與數學具體應用之間的橋梁，在建立和處理數學模型的過程中，學生可以從實際情境中學習數學，發展數學能力，從而達到運用知識再創造的水平。通過數學模型的建立和使用，學生可以體會數學與生活、自然的聯系，所以數學模型的建立和使用緊密貼合生活實際成為教師的共識。由于小學階段學生的形象思維特征，教材涉及的數學模型大多和形象圖形有關，通過引導學生繪制實物圖、線段圖、矩形圖開始，培養學生建立數學模型解決問題的意識。通過尋找具體問題的數學模型，并根據模型進行求解驗證模型解的整個過程，提高學生發現問題、解決問題的能力，發展學生的數學思維能力。

二、巧設問題情境，誘發建模興趣

數學模型是具有現實生活背景的，這是構建模型的基礎和解決問題的需要。因此，教師應創設直觀場景，借助學具幫助學生理解和分析問題，在直觀的數學場景當中看見抽象的數學問題，以此培養學生的數學建模能力。如構建“平均數”模型時（北師大版三年級下冊第六單元統計與可能性中“比一比”的教學內容），該內容創設了這樣的問題場景：“某小組有5名男生，4名女生，進行投籃比賽（提供了男生隊和女生隊每個人在相同時間內投中情況統計圖），哪個小隊投籃實力強？”筆者認為可以按以下教學流程引導學生建模。

教師對學生提問：“男生隊和女生隊哪個隊伍的表現更加優秀？”結合所掌握的數學知識，學生可能會提出以下解決方法：（1）對比得分總數，對比綜合實力差異；（2）可以比最大得分數之間的差異；（3）對比每個人的平均進球數。學生得出答案之后，要求學生證明有關方法的科學性，學生得出不同的結論：（1）男女生人數不一樣，比總數不公平；（2）比最大得分差，結果不具有說服力。故此，方法（3）中的“平均分”成了最佳選擇，這時“平均數”的策略應“需”而生。教師繼續引出數學問題：“既然平均計算比較公平，那么應該如何解決這一問題？”結合統計圖，學生給出不同的數學計算方法：第一，可以通過“移多補少”的方式進行計算；第二，可以列式進行計算：總數除以人數，便是平均數。在學生進行計算的過程中，教師對算式中的各項進行提問，要求學生說明（4+7+5+4+5）、5等部分的含義，讓學生在探究發現中自主構建求“平均數”的模型——平均數＝總數量÷總份數。在場景中構建數學模型，幫助學生思考、答題、互動，以“數學思想”引領“數學方法”，同時提示模型存在的背景、適用環境條件等，這樣學生對數量關系的理解不再是抽象、單一的知識，而是與學生生活經驗相聯系的鮮活而豐富的知識。

三、充分體驗感知，積累建模基礎

培養學生數學建模能力的過程中，教師要善用有趣的數學材料，并引領學生通過自主探究、合作交流，對學習過程、學習材料多側面、多維度、全方位感知，為數學模型的準確構建提供可能。如“圓錐的體積”計算公式模型構建的過程就是一個不斷感知和積累的過程。其教學流程如下：教師與學生進行互動，以圓柱的體積為知識點，幫助學生回憶數學思想方法“轉化法”，學生提出問題：“既然幾何圖形的體積能夠轉化為平面圖形進行計算，那么其他圖形是否也能夠用這種方法進行計算？”在提問的過程中，學生找到“圓錐”這一對象，圍繞圓錐的特點進行猜測：“圓錐能夠轉化為圓柱，還是能夠轉化為長方體、正方體？”教師鼓勵學生通過實踐操作進行探究。

教學環節，教師提供豐富的實驗材料，學生通過實踐操作對需要解決的問題進行處理。整個流程中學生經歷了不斷地猜測與驗證，并在實踐中獲取數學學習經驗，進而得出數學學習的一般規律，為抽象概括出“圓錐的體積”計算公式這一模型奠定了堅實的基礎，做出充分的準備。通過小組合作學習、獨立探究等學習模式的搭配使用，學生在搜集新知識的過程中充分體驗了數學模型的構造方法，數學學習取得了新的靈感。

四、抽象提煉本質，完善模型構建

在抽象問題中分析客觀的數學知識，才能為學生數學建模思想的萌芽創造良好的條件。比如，六年級下冊“正比例的意義”，其包含函數思想、數學變量關系等重要知識點，是幫助學生建立數學模型的重要手段。教師可以嘗試借助學生熟悉的數量關系，如“單價與總價”“時間與路程”等引入教學，在簡單的數學概念中分析數學本質，完成數學建模，其教學過程如下。

出示例1：某汽車的行駛時間與行駛路程。

時間/時 1 2 3 4 5 6 7 8路程/千米 70 140 210 280 350 420 490 560

出示例2：一些人買同一種蘋果，購買蘋果的質量和應付的錢數如下表。

數量/斤 10 9 8 7 6 5 4 3應付的錢數/元30 27 24 21 18 15 12 9

學生積極開展討論活動，從正比例的定義、概念入手，思考單價、總價與數量之間的關系，嘗試闡明x、y、k在函數式中的含義。在學生表達的過程中，教師不對學生進行干預，鼓勵學生自由探索、發言、糾正，以此優化教學。讓學生親歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與運用的過程，進而使學生在獲得對數學的理解的同時，思維能力、情感態度與價值觀等多方面也能得到進步和發展。

五、代數過渡幾何，豐富數學模型

代數和幾何不是兩部分互相孤立的知識內容，代數和幾何之間有大量的相通之處。在小學數學教學中，將代數問題轉化為幾何問題，用幾何的概念解釋并解決代數問題，可以充分利用幾何圖形的直觀性特點幫助學生理解問題，進而降低解決數學問題的難度。小學階段的學生正處于積極向外探索的發展時期，教師可以根據學生天性好奇、喜歡探索的心理發展特點，引導學生觀察身邊物體的形狀，如水杯、可樂瓶、大樹、房屋、動物、汽車、天體等。通過教學多媒體設備，將上述物體的色彩和細節的非本質特征提取出來，引導學生觀察并分析物體主體部分的形狀，結合必要的假設條件分析總結它們的共同特質和屬性。例如，一個圖形如果沿著一條直線對折，圖形的兩部分可以完全重合，那么這樣的圖形就是軸對稱圖形，從而將“軸對稱圖形”的數學模型從學生已有的現實物體概念中抽象出來。運用生活教育理念發展數學模型教學，利用學生的探索心理，結合學生身邊常見的事物展示數學建模過程，讓學生了解數學源自實際生活，只要樂于觀察就會發現生活中處處有數學。

在此基礎上，教師可以啟發學生將在教材中學到的數學知識，運用到具體的生活問題中去。除了抽象生活中已有的圖形，還可以在教導學生解決應用題時借助線段圖示來分析題目，將題干的文字和數字轉化為圖形，幫助學生理解題干邏輯和題義。例如，經典的行程問題：“甲和乙兩車同時從東、西兩地出發，相向而行，甲每小時行36千米，乙每小時行30千米，甲乙兩車在距離中點9千米處相遇，那么請求出東西兩地之間的距離。”在該題目當中，通過題干得知甲從東出發，乙從西出發，相向而行，那么將該部分題義轉化為線段圖形，得到甲乙在東西兩個方向各成一點。由于甲車行駛速度比較快，而甲乙兩車最終在距離中點9千米處相遇，所以甲乙的相遇點應該在中點的西側9千米，由此可以將該題目徹底轉化成線段圖示，如左圖所示。

該題目解題的關鍵點在于需要學生求出甲乙兩車的路程差，由于“路程差÷速度差=相遇時間”，學生可以根據圖示分析求出路程差，得到相遇時間。通過閱讀題意畫出上述線段分析圖難度不大，大部分學生都可以獨立完成題意的分析和圖示表達，重要的是通過相關數學題目的訓練，培養學生將算數問題轉化成幾何圖示的意識和能力。相遇地點在靠近乙出發地的一側，學生可以由圖示得知，甲比乙多走了18千米，所以根據題意可得算式：9×2÷（36－30）=3（小時），得出甲乙相遇的時間，再根據“速度和×相遇時間=總路程”，得出算式：（36+30）×3=198（千米），即得出甲乙兩地相距198千米。小學階段的學生提取題干信息的能力普遍不足，對于信息的處理能力也比較有限，所以在解決相關問題時，將文字和數字信息轉化成圖示可以降低學生處理題干信息的難度，幫助學生解決更復雜的數學問題。

總之，在小學數學教材中，模型無處不在。在數學課程標準理念下培養小學生的數學建模能力，教師要從多個角度設計教學模式，可以將學生已經掌握的數學知識進行應用，與學習者進行互動和交流，消除其對數學建模的陌生感，也可以通過實踐操作加深學生對于數學知識的理解，在實踐的過程中建模，得出數學學習的一般規律。教師要培養學生應用數學知識進行合作和探索的精神，圍繞數學建模思想構建數學教學新模式，訓練學生的數學思維。