級聯開關變換器中源變換器的穩定性機理研究

張 希，王天石，沙 金，包伯成*

(1.常州大學微電子與控制工程學院 江蘇 常州 213164；2.西南交通大學電氣工程學院 成都 610097)

級聯開關變換器因具有高可靠性、高靈活性等優點被廣泛應用在新能源發電、儲能、電動汽車、通信設備等場合[1-5]。在級聯開關變換器中，前級變換器稱為源變換器，后級變換器稱為負載變換器，負載變換器的輸入電壓由源變換器提供，而源變換器的輸出電流由負載變換器決定。這樣，源變換器和負載變換器之間的相互作用將影響級聯開關變換器的穩定性。

為了評估級聯開關變換器的穩定性，文獻[6]最早提出了基于阻抗分析的穩定性判據。根據穩定性判據可知，將兩個穩定工作的開關變換器級聯后，若源變換器的輸出阻抗與負載變換器的輸入阻抗之比滿足奈奎斯特定理，則該級聯開關變換器將穩定工作。隨著級聯開關變換器的結構變得更加多樣和復雜，且考慮到穩定性判據在實際設計中較為保守，文獻[7-10]提出了各種改進的穩定性判據。這些判據為級聯開關變換器的設計和分析提供了很大的幫助。

上述基于阻抗分析建立的穩定性判據沒有考慮級聯開關變換器中各變換器的開關紋波以及它們之間的相互作用[11]，尤其在級聯開關變換器中，負載變換器的輸入電流紋波前饋至源變換器輸出電容后，重塑了源變換器輸出電壓的波形。源變換器的輸出阻抗和負載變換器的輸入阻抗即使滿足了基于阻抗分析而建立的穩定性判據，級聯開關變換器也會因開關紋波的相互作用而出現快標不穩定現象[12]和慢標不穩定現象[13]。此外，若負載變換器設計合適，其前饋的開關紋波還可以增大源變換器的穩定工作范圍[14]。上述文獻表明，精確預測級聯開關變換器的穩定性需要全面考慮各開關變換器的開關紋波及其相互作用的影響。

現有文獻雖指出了級聯開關變換器中開關紋波相互作用的影響[11-14]，但未對負載變換器前饋電流紋波時源變換器的穩定性機理進行深入研究。此外，這些文獻主要分析了負載變換器前饋不連續電流紋波時源變換器的穩定性(如負載變換器采用Buck 變換器[11-14])，而對負載變換器前饋連續電流紋波時源變換器的穩定性(如負載變換器采用Boost變換器[5])尚未有研究。相較于不連續電流紋波，連續電流紋波幅度變化相對較小。當源變換器采用傳統電壓型控制時，因用于脈沖寬度調制的鋸齒波的幅度較大，負載變換器前饋連續電流紋波對穩定性的影響較小，可忽略[11]。當源變換器采用紋波控制時，該前饋電流紋波的影響卻不可忽略[15]。

近年來，紋波控制技術由于控制電路簡單、瞬態響應速度快等優點在開關電源中得到了廣泛的關注[16-20]。紋波控制技術采用開關紋波(如輸出電壓紋波[16-18]、電容電流紋波[19]等)作為控制信號。相較于傳統電壓型控制，紋波控制開關變換器的穩定性更易受到開關紋波的影響[21]。負載變換器前饋電流紋波將對采用紋波控制的源變換器的穩定性產生顯著影響。

在紋波控制中，峰值電壓紋波(peak voltage ripple,PVR)控制是一種最簡單、頻率恒定的控制技術[15]。為此，本文選擇PVR 控制Buck 變換器作為源變換器，同時選擇峰值電流模式(peak current mode,PCM)控制Boost 變換器作為負載變換器，并基于該級聯開關變換器研究源變換器的穩定性機理。

1 源變換器的仿真分析

本節將通過電路仿真展示PVR 控制Buck 變換器接電阻負載(獨立工作)和級聯PCM 控制Boost變換器(作為源變換器)時的穩定性；再分析源變換器隨電路參數變化時的分岔行為。

1.1 系統描述

由PVR 控制Buck 變換器級聯PCM 控制Boost變換器的原理圖如圖1a 所示，其中Vin為輸入電壓，S1(S2)、D1(D2)和L1(L2)分別為源(負載)變換器的開關管、二極管和電感，C1和r1為源變換器的輸出電容及其等效串聯電阻(equivalent series resistance,ESR)，Clk1(Clk2)和分別為源(負載)變換器的電感電流、輸出電流、時鐘信號和控制脈沖，和Vref1分別為源變換器的電容電流、電容電壓、輸出電壓和參考電壓，E和Iref分別為負載變換器的輸出電壓和參考電流。由于實際工作中負載變換器輸出電壓一般都是調節好的電壓，故可近似看作輸出電壓恒定，用恒壓源E代替。相應地，源變換器和負載變換器獨立工作時的穩態工作波形分別如圖1b 和1c 所示。

根據圖1b 和圖1c，源變換器(負載變換器)的工作原理為：當時鐘信號來臨，置位RS 觸發器，開關管S1(S2)導通，源變換器的輸出電壓vo1(負載變換器的電感電流)開始上升。當vo1()上升到參考電壓Vref(參考電流Iref)，并復位RS 觸發器，關斷開關管S1(S2)，vo1()開始下降，直至下一個開關周期來臨。因此，相應的開關切換條件為：

圖1 級聯開關變換器

由圖2 可以看出，與獨立工作時相比，負載變換器前饋電流紋波重塑了PVR 控制Buck 變換器的輸出電容電流波形，且該重塑波形的特性與兩個變換器的占空比關系密切相關。這樣，PVR 控制Buck變換器作為源變換器時，其穩定性將會發生顯著變化。

圖2 輸出電容電流iC1 和電感電流iL1、iL2 的工作波形

1.2 兩種工作情況下的穩定性對比

下面將對比分析PVR 控制Buck 變換器作為源變換器和獨立工作時的穩定性。由文獻[15]可知，PVR 控制Buck 變換器獨立工作且工作于電感電流連續導電模式(continuous condution mode,CCM)時的穩定工作條件為：

式中，T1為開關周期；D1為占空比。

為了展示PVR 控制Buck 變換器獨立工作時和級聯工作時的穩定性，本文選取了表1 所示的典型電路參數。根據式(2)的穩定條件可知，采用表1的電路參數，PVR 控制Buck 變換器獨立工作時將工作在不穩定狀態，PSIM (power simulation)仿真結果如圖3a 所示，其中，電阻負載R=2.35 Ω。然而，采用相同的電路參數，PVR 控制Buck 變換器級聯工作時工作在穩定周期1 狀態，仿真結果如圖3b 所示，其中，為PVR 控制Buck 變換器的控制脈沖。

表1 級聯開關變換器的典型電路參數

圖3 PVR 控制Buck 變換器工作時的仿真波形

顯然，對比圖3a 和圖3b 可以看出，PVR 控制Buck 變換器級聯工作時的穩定性與其獨立工作時的穩定性完全不同。

1.3 源變換器電路參數的穩定性效應

由式(2)可知，PVR 控制Buck 變換器的穩定性與輸出電容時間常數(r1C1)和開關周期T1之比(r1C1/T1)以及占空比D1等有關。在圖1a 中，由源變換器占空比D1=Vref/Vin和負載變換器占空比D2=(1?Vref/E)可知，確定Vin和E后，改變Vref即可改變D1和D2；確定輸出電容容值C1和開關周期T1后，改變輸出電容ESR 即可改變r1C1與T1的比值。此外，電感L1的取值影響源變換器輸出電容電流的斜率，進而影響輸出電壓紋波的斜率。為此，本文選擇源變換器的參考電壓Vref、輸出電容ESRr1和電感L1作為可變參數來研究級聯開關變換器中源變換器的穩定性機理。

基于PSIM 電路仿真所獲得的數據，利用MATLAB 軟件可得到源變換器隨Vref、r1和L1變化時的電感電流iL1分岔圖分別如圖4a～圖4c 所示。在圖4 中，CH 表示混沌，UP 表示不穩定周期2，SP 表示穩定周期1，BL 表示不穩定邊界。需要說明的是，圖4 中源變換器的參數始終不滿足式(2)，而負載變換器始終滿足穩定條件。

圖4 隨Vref、r1 和L1 變化的iL1 分岔圖

當Vref從4.6 V 增加到6.6 V，如圖4a 所示，即占空比D1從0.46 到0.66 和D2從0.49 到0.27，源變換器的運行軌跡在Vref=4.75 V 處通過邊界碰撞分岔由周期2 進入到周期1，然后在Vref=5.85 V 處通過倍周期分岔由周期1 進入到周期2，然后在Vref=5.95 V 處通過邊界碰撞分岔由短暫的周期2 進入到混沌。在第一個不穩定邊界Vref=4.75 V 處，源變換器和負載變換器對應的占空比分別為D1=0.475和D2=0.472；在第二個不穩定邊界Vref=5.85 V 處，源變換器和負載變換器對應的占空比分別為D1=0.585 和D2=0.35。如圖4b 或圖4c 所示，r1從90 mΩ增加到150 mΩ 或L1從50 μH 增加到70 μH 時，源變換器的運行軌跡在r1=108 mΩ 或L1=57 μH 處通過邊界碰撞分岔由混沌進入到周期2，然后在r1=135 mΩ 或L1=63 μH 處通過逆倍周期分岔進入到周期1。在圖4b 和4c 中，取Vref=5.9 V，其他參數如表1 所示。

分析圖4 可知，當Vref<4.75 V(此時D14.75 V(D1>D2)，源變換器可以工作在穩定狀態，且穩定工作范圍隨輸出電容ESR 和電感的增大而增大。由上述分析結果表明，這些電路參數展現了與文獻[11,14]不同的穩定性效應。

2 離散映射模型及其Jacobi 矩陣

本節將建立級聯開關變換器的離散映射模型，并通過研究其Jacobi 矩陣的特征根來明晰級聯開關變換器中源變換器的失穩機理。

2.1 狀態方程及開關切換函數

由第1 節內容可知，在本文研究的參數范圍內，源變換器和負載變換器均始終工作于CCM。根據圖2 以及開關管Si(i=1,2)和二極管Di的工作狀態，該級聯開關變換器存在4 種開關狀態，描述為：

開關狀態1：S1導通、D1截止；S2導通、D2截止；

開關狀態2：S1導通、D1截止；S2關斷、D2導通；

開關狀態3：S1關斷、D1導通；S2導通、D2截止；

開關狀態4：S1關斷、D1導通；S2關斷、D2導通；

式中，Am和Bm分別為狀態矩陣和輸入矩陣，相應的表達式分別為：

根據式(1)的開關切換條件，PVR 控制Buck級聯PCM 控制Boost 變換器的開關切換函數為：

式中，K1=[r11 -r1]；K2=[0 0 1]；toni為開關管Si的導通時間，可通過令s(·)=0 求得。

2.2 開關狀態序列和離散映射模型

由圖2 可知，在一個開關周期內，式(4)存在3 種開關狀態序列，分別為：

若ton1>ton2，開關狀態演化方式為1→2→4，記作Z1=(1,2,4)；

若ton1=ton2，開關狀態演化方式為1→4，記作Z2=(1,4)；

若ton1

根據文獻[22]，開關狀態m的起始值x(tm?1)與終止值x(tm)之間的映射關系為：

定義狀態變量在第n個開關周期開始時刻的值為xn=x(nT)、在第n+1 個開關周期開始時刻的值為xn+1=x((n+1)T)。根據式(5)可以得到3 種開關狀態序列的xn+1與xn之間的映射。

對于Z1，xn+1與xn之間的映射為：

因此，可得PVR 控制Buck 變換器級聯PCM控制Boost 變換器的離散映射模型為：

式中，f1(xn)、f2(xn)和f3(xn)分別由式(7)、式(9)和式(12)表示。由上述的推導過程可知，離散映射模型式(13)是一個精確模型，但用于求解導通時間ton1和ton2的方程均是超越方程，需要采用數值求解。為了避免求解超越方程，可取eAt的近似，即 eAt≈I+At(I為單位矩陣)[23]，并將其代入到式(7)～式(12)，可得式(13)的近似離散映射模型。

2.3 不動點鄰域內的Jacobi 矩陣

定義PVR 控制Buck 變換器級聯PCM 控制Boost 變換器工作在穩態時的不動點為XQ=[IL1VC1IL2]T。基于近似離散映射模型，利用xn+1=xn=XQ可求得狀態變量的不動點XQ。工作在穩態時，源變換器的輸出電容電壓等于其輸出電壓，即VC1=Vo1。從而可得：Vo1=Vref，IL2=Iref，IL1=IL2。

因此，近似離散映射模型在其不動點XQ鄰域內的Jacobi 矩陣可以表示為：

式中，s=[s1(·)s2(·) ···sK?1(·)]T為開關切換函數向量；t=[t1t2···tK?1]T為開關切換時刻向量，K為第K個開關狀態。相應地，3 個偏導數分別為：

對于開關狀態序列Z1，式(14)中3 個偏導數中各個元素的表達式為：

對于開關狀態序列Z2，式(14)中3 個偏導數中各個元素的表達式為：

對于開關狀態序列Z3，式(14)中3 個偏導數的各個元素的表達式為：

3 特征根分析

通過監測離散映射模型的特征根可以判定PVR 控制Buck 變換器級聯PCM 控制Boost 變換器的穩定性。離散映射模型的特征根可通過其特征根方程det[λI-J(XQ)]=0 求得。

基于離散映射模型及其特征根方程，該級聯開關變換器的3 個特征根隨源變換器Vref、r1和L1變化的運動軌跡如圖5 所示，相應的典型參數值對應的特征根值如表2、表3 和表4 所示。考慮紋波的影響，不動點XQ設定為。

由圖5a 和圖5b 以及表2 可以看出，隨著Vref的增大，λ1在Vref=4.74 V 處突然從單位圓外跳到單位圓內，且λ2和λ3始終在單位圓內，預示著邊界碰撞分岔發生；隨著Vref的進一步增大，λ2在Vref=5.85 V 處通過?1 穿出單位圓，且λ1和λ3始終在單位圓內，預示倍周期分岔發生。由圖5c和表3 或由圖5d 和表4 可以看出，隨著r1或L1的增大，λ2在r1=135.7 mΩ 或L1=64.4 μH 處通過?1 進入單位圓，預示逆倍周期分岔發生。

圖5 隨Vref、r1 和L1 變化的特征根運動軌跡

表2 不同Vref 的典型特征根

表3 不同r1 的典型特征根

表4 不同L1 的典型特征根

對比圖5 和圖4 可以看出，特征根分析的動力學行為與分岔分析的動力學行為一致。此外，由圖5 和表2～表4 也看出，與負載變換器穩定性關聯的特征根λ3在所選電路參數的變化范圍內始終在單位圓內，表明負載變換器始終工作在穩定的周期1 狀態。

4 拓展至其他類型源變換器

為了說明本文研究方法的普遍性，現將研究方法拓展至V2控制Buck 變換器作為源變換器的情況。相較于PVR 控制，V2控制具有兩個控制環路，其電壓外環由誤差放大器構成[24]。V2控制Buck 變換器級聯PCM 控制Boost 變換器的原理圖如圖6 所示。

圖6 V2 控制Buck 變換器級聯PCM 控制Boost 變換器的原理圖

根據圖6 搭建其PSIM 仿真電路。在仿真電路中，誤差放大器采用比例積分(proportional integral,PI)補償器，并取其反饋增益g=1，時間常數τ=100 μs。其他電路參數為：Vin=10 V，L1=60 μH，C1=220 μF，r1=40 mΩ，Vref=5.5 V，f1=100 kHz，L2=100 μH，Iref=1 A，E=9 V，f2=100 kHz。當V2控制Buck 變換器獨立工作時(將負載變換器替換為負載電阻R，并取值2.35 Ω)，仿真波形如圖7a所示；當V2控制Buck 變換器級聯工作時，仿真波形如圖7b 所示。

從圖7 可以看出，在相同電路參數情況下，V2控制Buck 變換器獨立工作時運行在不穩定狀態，如圖7a 所示；而級聯工作時運行在穩定周期1 狀態，如圖7b 所示。由此可知，V2控制Buck 變換器作為源變換器時，其穩定性也受到負載變換器的影響。進一步，可采用上文的建模分析方法對V2控制Buck 變換器作為源變換器時的穩定性機理進行深入研究。

圖7 V2 控制Buck 變換器仿真波形

5 實驗驗證

為了驗證上述理論分析和仿真分析的正確性，根據圖1a 所示的原理圖，搭建了PVR 控制Buck變換器級聯PCM 控制Boost 變換器的實驗樣機，如圖8 所示。其中，開關管采用型號為IRF540 的MOSFET，二極管采用型號為MBR2045CT 的肖特基二極管，驅動芯片的型號為MCP1407，比較器型號為LM319，RS 觸發器由型號為74HC02 的或非門芯片搭建，時鐘信號由信號發生器提供，輸入電壓和輸出電壓均由穩壓電源提供。

圖8 實驗樣機

首先，基于圖8 的實驗樣機，驗證圖3 的PSIM電路仿真波形。采用圖3 所使用的電路參數，得到PVR 控制Buck 變換器獨立工作和級聯工作時對應的實驗結果分別如圖9a 和圖9b 所示。對比圖9和圖3 可知，實驗結果和仿真結果基本一致，即PVR 控制Buck 變換器獨立工作時存在次諧波振蕩，而級聯工作時運行在穩定的周期1 狀態。

圖9 PVR 控制Buck 變換器的實驗結果

進一步，根據圖4 所示的分岔圖，選擇若干組典型電路參數驗證其對源變換器穩定性的影響。根據圖4a 所示分岔圖對應的4 個工作狀態區間，即周期2、周期1、周期2 和混沌，分別選擇Vref=4.6,5,5.9,6.5 V 這4 組參數開展實驗，相應的實驗結果分別如圖10a～圖10d 所示；根據圖4b 所示分岔圖對應的3 個工作狀態區間，即混沌、周期2 和周期1，分別選擇r1=90,130,150 mΩ 這3 組參數開展實驗，相應的實驗結果分別如圖11a～圖11c 所示。根據圖4c 所示分岔圖對應的3 個工作狀態區間，即混沌、周期2 和周期1，分別選擇L1=50,60,70 μH 這3 組參數開展實驗，相應的實驗結果分別如圖12a～圖12c 所示。

圖10 不同Vref 時源變換器的實驗結果

當Vref=4.6 V 時，源變換器工作在不穩定的周期2 狀態，如圖10a 所示；當Vref=5 V 時，源變換器工作在穩定的周期1 狀態，如圖10b 所示；當Vref=5.9 V 時，源變換器工作在不穩定的周期2 狀態，如圖10c 所示；當Vref=6.5 V 時，源變換器工作在混沌狀態，如圖10d 所示。

當r1=90 mΩ 或L1=50 μH 時，源變換器工作在混沌狀態，如圖11a 或圖12a 所示；當r1=130 mΩ或L1=60 μH 時，源變換器工作在不穩定的周期2 狀態，如圖11b 或圖12b 所示；當r1=150 mΩ 或L1=70 μH 時，源變換器工作在穩定的周期1 狀態，如圖11c 或圖12c 所示。

圖11 不同r1 時源變換器的實驗結果

圖12 不同L1 時源變換器的實驗結果

對比圖10～圖12 和圖4a～圖4c 可知，實驗結果與分岔圖對應的工作狀態一致，驗證了仿真結果和理論結果。

6 結束語

以PVR 控制Buck 變換器級聯PCM 控制Boost變換器為例，深入研究了級聯開關變換器中源變換器的穩定性機理。分析了源變換器隨其參考電壓、輸出電容ESR 和電感變化時的分岔行為。建立了級聯開關變換器具有3 種開關狀態序列的離散映射模型，推導了其在不動點鄰域內的Jacobi 矩陣，并通過監測Jacobi 矩陣的特征根運動軌跡，明晰了源變換器隨電路參數變化的失穩機理。研究表明，增大參考電壓，源變換器將通過倍周期失穩；減小參考電壓，源變換器將通過邊界碰撞分岔失穩。當源變換器占空比小于負載變換器占空比時，源變換器始終工作在不穩定狀態；而當源變換器占空比大于負載變換器占空比時，源變換器可工作在穩定狀態，且穩定工作范圍隨輸出電容ESR 和電感的增大而增大。本文的研究方法也可以拓展至V2控制Buck變換器等其他類型變換器作為源變換器的情況。

本文的研究結果和研究方法可以作為基于阻抗分析的穩定性判據的補充，可以為級聯開關變換器中源變換器的參數設計提供更加精確的理論指導。