妙用“一題多解”，在數學課堂教學中促進學生的學習

◎王美環

(天津市濱海新區漢沽第二中學，天津 300480)

一、引 言

新課標有言：“數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養，作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用”“數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維；要注重培養學生良好的數學學習習慣，使學生掌握恰當的數學學習方法”.

數學教學的任務不僅是傳授知識,數學教學需要幫助學生在獲得數學基礎知識和基本技能的同時，更要獲得數學思想和觀念，形成良好的數學思維品質.“一題多解”可以幫助培養學生思維的靈活性和廣闊性,教師若能充分挖掘一題多解的題型，在課堂上多方位開拓學生的解題思路,激發學生的學習興趣,對于培養學生優良的思維品質和提高數學教學質量都具有深刻的意義.

下面，就以幾道求角度的題目為例，談談這些題目的多種解題思路.

二、圓中求角度

題目1：已知PA，PB分別與⊙O相切于點A，B,∠APB=80°,C為⊙O上一點.

(1)如圖①，求∠ACB的大小；

圖①

(2)如圖②，AE為⊙O的直徑，AE與BC相交于點D.若AB=AD，求∠EAC的大小.

圖②

題目分析：本題是圓中關于角度的計算，主要考查學生對與角度有關的一些定理及其推論的綜合應用的掌握情況，涉及的知識點主要有切線的性質、切線長定理、圓周角定理及其推論、三角形內角和定理及其推論、等腰三角形的性質、多邊形的內角和公式等.

解法探析：

圖1

第2問中，PA,PB分別與⊙O相切于點A,B,∠APB=80°這些已知條件未變，∠ACB作為弧AB所對的圓周角這一因素亦未變，所以第1問求得的∠ACB=50°在第2問中可以用.求∠EAC，需要結合具體的圖形，可以把∠EAC看作是某個三角形的內角或是內角的一部分，利用三角形內角和定理及其推論求解；亦可以把∠EAC看作是⊙O的圓周角，利用圓周角定理及其推論求解.而無論哪種求解思路，基本都分為三步，先求∠BAD，再求∠ABD(或∠ADB)，最后求∠EAC.具體解法如下：

第一步：求∠BAD

方法1：由切線長定理可得PA=PB，根據等邊對等角可得∠PAB=∠PBA，結合已知∠APB=80°，利用三角形內角和定理可得∠PAB=50°，由切線的性質可得OA⊥AP，從而∠PAB+∠BAD=90°，所以∠BAD=40°.

方法2：如圖2，連接CE，由直徑所對的圓周角為直角可得∠ACE=90°，即∠ACB+∠BCE=90°，由第1問知∠ACB=50°，所以∠BCE=40°，由同弧所對的圓周角相等，可得∠BAE=∠BCE=40°.

圖2

方法3：如圖3，連接BE，由同弧所對的圓周角相等，可得∠AEB=∠ACB，由第1問知∠ACB=50°，所以∠AEB=50°，由直徑所對的圓周角為直角可得∠ABE=90°，由直角三角形的兩個銳角互余，可得在Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，所以∠BAE=40°.

圖3

第二步：求∠ABD(或∠ADB)

第三步：求∠EAC

方法1：(放在△ACD中求)

由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，可得∠ADB=∠DAC+∠ACD，因為∠ADB=70°，∠ACB=50°，所以∠EAC=20°.

方法2：(放在△ACE中求)

如圖2，由同弧所對的圓周角相等，可得∠AEC=∠ABC=70°，由直徑所對的圓周角為直角可得∠ACE=90°，由直角三角形的兩個銳角互余，可得在Rt△ACE中，∠EAC+∠AEC=90°，所以∠EAC=20°.

方法3：(放在△ABC中求)

由三角形內角和定理，可得在△ABC中，∠BAD+∠DAC+∠ABC+∠ACB=180°，因為∠BAD=40°，∠ABD=70°，∠ACB=50°，所以∠EAC=20°.

方法4：(放在△OAC中求)

如圖4，連接OB,OC，由OA=OB，根據等邊對等角可得∠OBA=∠OAB=40°，因為∠ABD=∠OBA+∠OBD=70°，所以∠OBD=30°.由OB=OC，根據等邊對等角可得∠OCB=∠OBC=30°，因為∠ACB=∠OCA+∠OCB=50°，所以∠OCA=20°.由OA=OC，根據等邊對等角可得∠EAC=∠OCA=20°.

圖4

方法5：(放在△ABE中求)

如圖3，由直徑所對的圓周角為直角可得∠ABE=90°，由∠ABE=∠ABD+∠EBD，∠ABD=70°，可得∠EBD=20°，由同弧所對的圓周角相等，可得∠EAC=∠EBC=20°.

方法6：(放在⊙O中求)

解法總結：在圓中計算一個角度，需要結合具體的圖形.既可以把需求的角放在某個三角形中，看作是該三角形的內角或是內角的一部分，去尋找該角與三角形其他內角(或外角)的關系，利用三角形內角和定理(三角形三個內角的和等于180°)及其推論(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和、直角三角形的兩個銳角互余)求解.也可以把需求的角放在圓中，看作是該圓的圓周角，去尋找與該角所對同一條弧的圓周角或圓心角，利用圓周角定理(一條弧所對的圓周角是它所對圓心角的一半)及其推論(同弧所對的圓周角相等)求解.

三、平行線中求角度

題目2：如圖③，已知直線a∥b，∠1=110°，則∠2=________.

圖③

題目3：如圖④，AD∥CE，則∠A+∠B+∠C=________.

圖④

題目分析：這兩道題目是平行線中關于角度的計算，主要考查學生對與角度有關的一些性質、定理及其推論的綜合應用的掌握情況，涉及的知識點主要有平行線的性質、對頂角的性質、平角及周角的性質、平行公理的推論、三角形內角和定理等.另外，還考查學生對于添加輔助線的掌握，包括過一點作已知直線的平行線、連接兩點、延長線段等.

解法探析(題目2)：

方法1：(利用平行線的性質1)

如圖5，由平角的性質，可得∠1+∠3=180°，

圖5

因為∠1=110°，所以∠3=70°，根據“兩直線平行，同位角相等”，可得∠2=∠3=70°.

方法2：(利用平行線的性質2)

如圖5，由平角的性質，可得∠1+∠4=180°，

因為∠1=110°，所以∠4=70°，根據“兩直線平行，內錯角相等”，可得∠2=∠4=70°.

方法3：(利用平行線的性質3)

如圖5，由對頂角的性質，可得∠5=∠1，因為∠1=110°，所以∠5=110°，根據“兩直線平行，同旁內角互補”，可得∠2+∠5=180°，從而∠2=70°.

解法探析(題目3)：

方法1：(構造同旁內角)

如圖6，過點B向右作BF∥AD，結合已知AD∥CE，根據“平行于同一條直線的兩直線互相平行”，可得BF∥CE.根據“兩直線平行，同旁內角互補”，可得∠A+∠ABF=180°，∠CBF+∠C=180°，從而∠A+∠ABF+∠CBF+∠C=360°，即∠A+∠ABC+∠C=360°.

圖6

方法2：(構造周角)

如圖7，過點B向左作BG∥AD，與方法1同理可得BG∥CE.根據“兩直線平行，內錯角相等”，可得∠A=∠ABG，∠C=∠CBG，由周角的性質可得∠ABG+∠ABC+∠CBG=360°，通過等量代換，可得∠A+∠ABC+∠C=360°.

圖7

方法3：(構造平角)

如圖8，過點B向右作BF∥AD，反向延長AD，CE分別至點M，N.根據“兩直線平行，內錯角相等”，可得∠ABF=∠BAM，∠CBF=∠BCN.由平角的性質，可得∠BAD+∠BAM=180°，∠BCN+∠BCE=180°，通過等量代換，可得∠BAD+∠ABF+∠CBF+∠BCE=360°，即∠BAD+∠ABC+∠BCE=360°.

圖8

方法4：(構造三角形)

如圖9，連接AC，由已知AD∥CE，根據“兩直線平行，同旁內角互補”，可得∠CAD+∠ACE=180°.由三角形內角和定理，可得∠BAC+∠B+∠BCA=180°.從而∠CAD+∠BAC+∠B+∠BCA+∠ACE=360°，即∠BAD+∠B+∠BCE=360°.

圖9

方法5：(構造三角形)

如圖10，延長AB與CE的反向延長線交于點H.由“兩直線平行，同旁內角互補”，可得∠A+∠H=180°,由平角的性質，可得∠ABC+∠HBC=180°，∠BCH+∠BCE=180°,從而∠A+∠ABC+∠BCE+∠H+∠HBC+∠BCH=540°.由三角形內角和定理，可得∠H+∠HBC+∠BCH=180°，所以∠A+∠ABC+∠BCE=360°.

圖10

解法總結：在平行線中計算角度，主要是根據平行線的三條性質(兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補)，平角的性質(平角等于180°)，周角的性質(周角等于360°)，對頂角的性質(對頂角相等)，三角形內角和定理(三角形三個內角的和等于180°)等，運用轉化思想，將未知角度與已知角度建立起聯系，進而求解.

四、結 語

利用“一題多解”在習題中變換解法，既能活躍學生的思維能力，又能促使學生更好地創新，還能幫助學生更好地串聯知識和方法.在教學中教師應積極地引導學生從不同角度思考問題、解決問題，促使學生的思維向多層次、多方向發散，幫助學生在問題的解答過程中尋找解類似問題的思路、方法，充分調動學生學習的積極性，培養學生獨立分析和解決問題的能力，以及大膽創新、勇于探索的精神，從而真正把學生能力的培養落到實處，為學生的全面發展和終身發展奠定基礎.