弗蘭克-赫茲實驗原子激發能級測量的改進與電子平均自由程的研究

王開元 魏孝龍 龔國斌 毛一葳

（南京大學物理學院，江蘇南京 210093）

0. 引言

弗蘭克-赫茲實驗是經典的近代物理實驗之一，該實驗證明了原子能級的存在，為玻爾的原子模型提供了直接證據，但是，一般的弗蘭克-赫茲實驗中，受到測量電路的限制，只能測量出原子的第一激發電位。除此之外，實驗測得氬原子的第一激發電位為11.69V，與資料中13.1V相比誤差較大。對圖像進一步的分析與認識也相對缺乏。我們嘗試通過改進的電路測量原子的其他激發態。本文討論了改進的測量電路的原理和測量結果，并針對弗蘭克-赫茲實驗圖像作了一些分析，提出了可以進一步研究的方向。

1. 實驗原理

根據玻爾的原子模型，電子只能處在一些分立的軌道上，這種穩定運動狀態稱為定態。每一定態對應于一定的能量，稱為能級。電子在躍遷時會以電磁波的形式吸收或放出能量。由于能量是分立的，吸收或放出的光子具有特定的頻率。原子與具有一定能量的電子發生碰撞，可以分為兩種情形：若發生彈性碰撞，電子能量幾乎不變，方向改變；若發生非彈性碰撞，電子的部分或全部能量轉移給原子的電子，使其激發到高能級。

1.1 一般測量電路

一般的實驗測量電路如圖1所示。燈絲電源VF加熱燈絲，產生慢電子。第一柵極G1主要消除空間電荷對陰極電子發射的影響。VG2K在第二柵極和陰極之間建立加速場，VG2P在第二柵極和極板之間建立拒斥場。在上述測量電路中，陰極和第二柵極之間全部為電子加速和碰撞的公用區域。由于電子的加速距離遠大于其平均自由程，電子可以多次與原子發生碰撞，從而主要將原子的電子激發到第一激發能級。這為測量原子的其他激發態造成了困難。

圖1 一般測量電路

1.2 改進測量電路

為了解決以上問題，弗蘭克于1920年對實驗裝置作了改進[1]。如圖2所示，第一柵極和第二柵極用導線短接，一同接到加速電壓的正極，使得陰極和第一柵極之間建立減少碰撞的加速區，第一柵極和第二柵極之間建立等勢碰撞區。電子的加速距離變短，小于其平均自由程。改進電路把加速區和碰撞區分開，從而使電子在加速區易于獲得更高的能量，在碰撞區有更高的概率和原子發生碰撞[1-2]。

圖2 改進測量電路，在G1和G2之間可以增加調節電壓δVG

在此基礎上，為了減少碰撞區游離的慢電子和其他離子，并考慮補償電子彈性碰撞過程中損失的能量，第一柵極和第二柵極之間又增加了一個0V～1V的調節電壓δVG[3]。

2. 實驗過程與結果

本實驗的主要器材有：DH-FH-VI型弗蘭克-赫茲實驗儀、DH4507A微機型弗蘭克-赫茲實驗儀、F-H汞管、F-H氬管、計算機。

2.1 測量第一激發電位

按照圖1的方式連接實驗儀器。根據常規的實驗步驟分別對汞管和氬管進行測量，去除本底電流后得到的曲線如圖3和圖4所示。

圖3 汞原子第一激發電位測量

2.2 測量氬原子的亞能級

按照圖2的方式將氬管的第一柵極和第二柵極短接。測量得到曲線如圖5所示。選擇VF=2.3V，VG2A=7.0V的曲線，利用程序獲得極值點如圖6所示。

圖5 氬原子亞能級測量

圖6 VF= 2.3V VG2A=7.0V

2.3 測量汞原子的高激發能級

按照圖2的方式將汞管的第一柵極接到實驗儀上VG2K的正極和VG1K的負極，第二柵極接到VG2A和VG1K的正極。這里實驗儀上的VG2K實際對應汞管的VG1K，VG1K調整的是δVG。控制VG2A=1.0V，VF=1.4V，在不同溫度下得到F-H曲線如圖7所示。

圖7 汞原子高激發能級測量

結果表明，隨著管子溫度的升高，極板上的電流下降，曲線峰的數目先增加后減小。選擇T=120℃對應的曲線（見圖8）進行分析。

圖8 T=120℃下的F-H曲線

3. 分析與討論

3.1 汞原子的高激發能級

圖7顯示了多個高度不一且間距不等的峰和谷，各個峰（谷）可能是汞原子直接被激發到較高能級的結果，也可能是激發能級的疊加[3]。第一個峰與第二個峰間距為5.0V，是63P1能級?？梢郧蟮媒佑|電勢差為5.9V-5.0V=0.9V。將測量值減去接觸電勢差后，根據汞原子能級圖，嘗試不同的能級組合方式[3-4]。減去接觸電勢差的測量值和可能的組合方式列如表1所示。其中a為63P1，b為63P2，c為61P1。

表1 能級的測量值和理論值

理論值和測量值相差比較小，可以認為測得了前3個激發能級。但是這種方法是通過配湊組合的方式，從理論值倒推實際情況的，其精度不高。上表中15.2V的測量值沒有找到對應的組合方式，該測量值可能是管子內部的雜質蒸汽引起的。

3.2 氬原子的第一激發電位的修正

常規實驗的結果給出氬原子的第一激發電位為11.69V，與理論值13.1V的相對誤差為10.76%，偏差較大。該偏差出現的原因在于氬原子亞能級的存在[2,5]。從氬原子能級圖如圖9所示都可以看出，氬原子在基態與第一激發態之間有幾個亞穩態。

圖9 氬原子的亞穩態示意圖

通過程序獲取極小值點，并用三次多項式插值擬合本底電流，去除本底電流后分析單一變量對實驗結果的影響，如圖10～圖12所示。

圖10 VG1K=2.0V VG2A=7.1V

圖11 VF=2.2V VG1K= 2.0V

圖12 VF=2.2V VG2A=7.1V

從圖中可以得到：

（1）燈絲電壓越高，曲線的峰谷越明顯。

（2）拒斥電壓越高，所得的峰間距、谷間距越大，且隨著第二柵壓增大間距變化得越小。

（3）第一柵壓越小，曲線的峰谷越明顯。

但是，計算所得的結果仍與第一激發態有一定差距，因為此時測的仍然是躍遷到兩個亞能級與躍遷到第一能級的概率和[6]。兩個亞能級間距相對較小，可視為一個能級，取平均值為11.64V，不考慮原子被激發到更高能級的情況的話，可將原子被激發到亞能級和第一能級的概率分別設為x和1-x，因此概率與峰（谷）間距的關系為：

其中ΔV為峰（谷）間距。計算結果如表2所示。

由表2可知：

表2 原子激發到亞能級的概率

（1）燈絲電壓越高，電子躍遷到亞能級的概率越大。

（2）拒斥電壓越高，電子躍遷到亞能級的概率越小。因此，想要實驗結果更加接近真實的第一激發電位，應盡量選擇小的燈絲電壓和大的拒斥電壓。

3.3 F-H 曲線分析

對于以上實驗的結果，我們還從以下幾個方面進行了討論：

3.3.1 峰間距和電子平均自由程

根據理論分析，F-H曲線上峰（谷）的間距應該相等。常規實驗就是根據這一原理通過計算峰（谷） 間距的平均值得出原子的第一激發能。但是實際的結果顯示，汞管和氬管的曲線上峰（谷）間距隨著峰（谷）數目的增加而增大。

這一現象產生的原因有：（1）由于其他亞穩態能級的存在，隨著加速電壓的增大，電子的能量升高，將原子的電子激發到能量較高的亞穩態能級的可能性增大；（2）由于陰極發射電子，電子積聚，在兩極板間形成了“虛陰極”，相當于一個勢壘。隨著VG2K的增大，勢壘向陰極移動，逐漸消失，從而出射到管子中的電子數量增加，使得峰間距增大；（3）與非彈性碰撞的模型有關[7]。

非彈性碰撞的模型指出，若自由電子的能量小于第一激發能，發生彈性碰撞，能量近似不變。當能量達到第一激發能時，電子與原子在發生非彈性碰撞前還會再移動一段距離。移動的平均距離近似等于電子的平均自由程λ。在這段距離中電子獲得了額外的能量，如圖13所示。由于汞原子和氬原子第一激發態附近的能級多，間隔小，電子在發生非彈性碰撞時有較大的可能將原子的電子激發到較高能級，而自身失去絕大部分能量。

圖13 電子在柵極G1G2之間運動時的能量變化

若發生了n次非彈性碰撞，電子從電場中獲得的總能量為

說明峰（谷）間距與n為線性關系。作出汞管的峰間距與n的關系圖線，如圖14所示。

圖14 汞原子ΔV-n關系圖線

3.3.2 數據點分組現象

實驗中發現了一個暫無解釋的現象，測量得到數據點呈組狀，每隔固定幾個數據點后會出現電流值的突然增加或減小，如圖15所示。

圖15 電流突變現象

經過實驗我們發現，無論是汞管還是氬管均出現了電流突變的現象。改變燈絲電壓、柵極電壓和拒斥電壓均不能消除這種現象，因此我們考慮可能是儀器本身的問題。把萬用表切換到電壓檔，接在儀器步進電壓輸出端進行測量，我們發現步進電壓的變化與儀器顯示的數值不同，實際上是不均勻的。前幾個時間步長內電壓的增量不足0.1V，到一定時間后電壓的增量會突然超過0.1V，可能這就是造成電流突變的原因。但是萬用表的示數會受到其電池電量的影響，為了減小誤差可以改用數字電壓表測量。

4. 進一步探究

查閱文獻可知，第一柵極和第二柵極之間常常增加一個0V～1V的調節電壓δVG。我們嘗試將δVG變為-δVG進行實驗，在T=120℃下和T=125℃下得到的F-H曲線分別如圖16和圖17所示。

圖16 T= 120℃

圖17 T= 125℃

我們發現使用負的δVG后，F-H圖線的分辨率有所提高。同時也出現了新的現象。在兩幅圖中， 隨著δVG絕對值的增大，曲線的峰和谷都向右移動，但是不同的峰和谷位移的距離并不相同。由于我們的實驗時間有限，這一現象有待進一步研究與解釋。

5. 結語

本實驗通過對傳統測量電路進行改進，使電子在加速區獲得更高的能量，在碰撞區有更高的概率和原子發生碰撞，從而成功地觀察到了汞原子較高激發能級和氬原子亞能級的存在。在嘗試使用負的δVG后我們發現圖線的峰和谷變得更加明顯，且發生不同程度的位移。具體的原理有待接下來更深入的研究。對于曲線上每隔一定的數據點電流值發生突變的問題，我們遺憾地發現可能是儀器本身的因素造成了該異?，F象。可以嘗試外接電壓表測量，以實際電壓值為x軸重新作圖，觀察電流突變現象是否消失。