基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)*

內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100) 程 雙 劉成龍

四川省內(nèi)江市第六中學(xué) (641100) 張先毅

指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要且常見(jiàn)的基本初等函數(shù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).具體來(lái)說(shuō)，指數(shù)函數(shù)是高中函數(shù)概念、性質(zhì)的具體呈現(xiàn)，為學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)提供了經(jīng)驗(yàn)和方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).與此同時(shí)，指數(shù)函數(shù)還是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的良好載體.因此，本文立足于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)理解的基礎(chǔ)上發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)教學(xué)

什么是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？馬云鵬認(rèn)為：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力”[1]；趙思林認(rèn)為：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是個(gè)體在四基基礎(chǔ)上所形成的數(shù)學(xué)眼光，數(shù)學(xué)思維方式，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)信念，數(shù)學(xué)價(jià)值觀等”[2]；《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下文簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)2017》)指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的”[3]，等等.可見(jiàn)，核心素養(yǎng)的概念界定普遍較為抽象，這為一線教師認(rèn)識(shí)核心素養(yǎng)帶來(lái)了難度.于是，《課標(biāo)2017》提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包含的具體素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.[3]這六大素養(yǎng)的提出為一線教師明確了數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展核心素養(yǎng)？數(shù)學(xué)教學(xué)是教師引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地認(rèn)識(shí)客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，以促進(jìn)學(xué)生身心持續(xù)和諧發(fā)展的數(shù)學(xué)活動(dòng)[4]，而數(shù)學(xué)本身具有高度的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，正是這些學(xué)科特點(diǎn)使得數(shù)學(xué)活動(dòng)中充滿著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)概念的形成、命題的提出、模型的建構(gòu)無(wú)處不存在數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式[3]，是獲取數(shù)學(xué)結(jié)果的基本手段，正如章建躍博士所言：數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“童子功”；數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得需要依靠邏輯推理來(lái)實(shí)現(xiàn)，如幾何學(xué)家伍鴻熙所說(shuō)：邏輯推理是數(shù)學(xué)的“命根子”；等等.顯然，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的現(xiàn)實(shí)土壤.同時(shí)，作為最具學(xué)科特色的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理應(yīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)頂層設(shè)計(jì)的理論指導(dǎo).因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理應(yīng)做到：依托數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)；通過(guò)問(wèn)題解決讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)化過(guò)程，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)發(fā)生；通過(guò)反思活動(dòng)積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn).

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下的指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

(一)教材分析

本節(jié)課選自人教A版高中數(shù)學(xué)必修一第二章第1節(jié)指數(shù)函數(shù)第二課，內(nèi)容包括指數(shù)函數(shù)的概念、圖象及性質(zhì).指數(shù)函數(shù)是繼高中函數(shù)概念后首次學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)，是高中函數(shù)概念、性質(zhì)的直接呈現(xiàn)和應(yīng)用.

(二)學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、單調(diào)性、奇偶性、最值等基本性質(zhì)，初步具備研究指數(shù)函數(shù)的知識(shí)、方法和能力．但指數(shù)函數(shù)一直以來(lái)都是學(xué)生公認(rèn)的難點(diǎn)，學(xué)生存在一定的畏難情緒.

(三)教學(xué)過(guò)程

1．創(chuàng)設(shè)情境，觸發(fā)思考

情境1 某種細(xì)胞分裂時(shí)，每次每個(gè)細(xì)胞分裂為2個(gè)，則1個(gè)這樣的細(xì)胞第一次分裂分成2個(gè)細(xì)胞，第二次分裂成4個(gè)細(xì)胞，第三次分裂成8個(gè)細(xì)胞……

情境2 我國(guó)古代學(xué)者莊子在《莊子·天下篇》中有一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”.

問(wèn)題1 能用數(shù)學(xué)式子分別表達(dá)情境1、2中所包含的量與量間的關(guān)系嗎？

師生活動(dòng):在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生觀察表達(dá)式得出共同特征，并給出統(tǒng)一表達(dá)式：y=ax.

設(shè)計(jì)意圖:創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，這一過(guò)程屬于水平數(shù)學(xué)化．對(duì)問(wèn)題1得出的兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式再抽象出具有一般性的式子，這一過(guò)程屬于垂直數(shù)學(xué)化．基于水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化思想提出具有指向性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生把握問(wèn)題本質(zhì)，挖掘題中的隱含條件，進(jìn)行抽象，列出表達(dá)式并建立相應(yīng)模型，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2．合作探究，建構(gòu)新知

問(wèn)題3 y=ax是函數(shù)嗎？

教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生分類(lèi)思考.

預(yù)設(shè)：學(xué)生通過(guò)討論達(dá)成共識(shí)：當(dāng)a=0，x取非正數(shù)時(shí)，y=ax無(wú)意義，不構(gòu)成函數(shù)；當(dāng)a<0，x取分?jǐn)?shù)且分母為偶數(shù)時(shí)，式子無(wú)意義，不構(gòu)成函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，y=ax構(gòu)成函數(shù)，并且a=1時(shí)為常數(shù)函數(shù).

在此基礎(chǔ)上，教師點(diǎn)明本節(jié)課的主題——指數(shù)函數(shù).

問(wèn)題4 能根據(jù)前三個(gè)問(wèn)題的探究歸納得到指數(shù)函數(shù)的概念嗎？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生得出函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量.

追問(wèn)1 自變量x的取值范圍是什么呢？

學(xué)生活動(dòng)：討論得出當(dāng)x取一切實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式都有意義，即函數(shù)的定義域?yàn)镽.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題3，引導(dǎo)學(xué)生分類(lèi)討論，對(duì)y=ax是否為函數(shù)進(jìn)行判斷．既訓(xùn)練了學(xué)生邏輯推理能力，也感知了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．對(duì)問(wèn)題3進(jìn)行抽象，得到問(wèn)題4，讓學(xué)生從一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象出更高層次的數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線作出函數(shù)圖象，如圖1.

圖1

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生作出函數(shù)圖象，如圖2.

圖2

探究根據(jù)函數(shù)圖象的走勢(shì)能得到什么結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生借助函數(shù)圖象，將抽象的符號(hào)變成直觀的圖形，建立數(shù)與形的聯(lián)系.通過(guò)圖形，觀察變化規(guī)律、歸納得出結(jié)論，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

追問(wèn)3 根據(jù)圖象，你能得出那些指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)？

學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生歸納出性質(zhì)：

(1)當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)?shù)讛?shù)0

(2)指數(shù)函數(shù)都過(guò)定點(diǎn)(0,1)；

(3)指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0,+∞).

教師活動(dòng)：教師借助幾何畫(huà)板驗(yàn)證學(xué)生得出的性質(zhì).

師生活動(dòng)：師生共同總結(jié)指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：觀察圖象歸納出指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，教師運(yùn)用幾何畫(huà)板驗(yàn)證，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和幾何直觀素養(yǎng).

3．強(qiáng)化理解，鞏固提升

例1 指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,π)，求f(0)，f(1)，f(-3)的值.

設(shè)計(jì)意圖：依據(jù)指數(shù)運(yùn)算原理解決問(wèn)題，不僅強(qiáng)化學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的理解，而且在知識(shí)的運(yùn)用過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

例2 設(shè)a,b,c,d均大于0，且不等于1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖3，試判斷a,b,c,d的大小關(guān)系.

圖3

設(shè)計(jì)意圖：圖3是圖2的一般化，通過(guò)對(duì)圖2中函數(shù)圖象所對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的分析可以歸納出a,b,c,d的大小關(guān)系，并可以抽象出更一般的命題，再根據(jù)直線x=1與各函數(shù)圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)大小對(duì)命題加以證明．本例意在發(fā)展幾何直觀、數(shù)據(jù)分析和邏輯推理素養(yǎng).

例3 比較下列各題中值的大小.(1)1.72.5,1.73; (2)0.8-0.1，0.8-0.2； (3)1.70.3，0.93.1.

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)置(1)和(2)意在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)模型的認(rèn)識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).(3)是對(duì)(1)(2)的升華，意在進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).

例4 一種產(chǎn)品的產(chǎn)量原來(lái)是a，在今后m年內(nèi)，計(jì)劃使產(chǎn)量平均每年比上一年增加p%，寫(xiě)出產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生從生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)符號(hào)予以表征，意在發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

三、教學(xué)反思

本文以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為理論指導(dǎo)給出了指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)如圖4，有效地將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合，使得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有生根的土壤，并且讓數(shù)學(xué)教學(xué)更加科學(xué)，讓學(xué)生的發(fā)展更加充分.具體來(lái)講，對(duì)問(wèn)題情景的不斷抽象，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和建模素養(yǎng)；在師生合作、生生合作中，抽象得到指數(shù)函數(shù)的概念，通過(guò)繪制圖象、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；通過(guò)4個(gè)例題的解決有針對(duì)性地發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，充分做到有的放矢.總的來(lái)看，本文所提供的指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)具有科學(xué)性、實(shí)用性和合理性.

圖4