一道競(jìng)賽不等式的再推廣

陜西省西安市高陵一中 (710200) 胡 艷

題目(2020泰國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克不等式)已知a,b,c∈R+,a+b+c=3，求證：

文[1]對(duì)(1)的證明方法，變式及推廣做了探究，將(1)推廣為：

本文擬從不等式(1)的結(jié)構(gòu)的變化出發(fā)，對(duì)推廣作進(jìn)一步的分析，為了表述的方便，由柯西不等式可得：

不等式(3)結(jié)構(gòu)對(duì)稱，進(jìn)一步，對(duì)其分母得到項(xiàng)添加系數(shù)并推廣至n個(gè)元素有：

顯然，當(dāng)v=0時(shí)，推廣2即為推廣.若對(duì)推廣2中的參數(shù)賦值，可得許多不等式．例如令λ=1,μ=2,ν=0,n=3,S=3即為不等式(1).

若對(duì)推廣2 的指數(shù)推廣，則又有：

更一般的有如下結(jié)論：

(j=1,2,3).

顯然，推廣3是推廣4的特例，下面只給出推廣4的證明.

若對(duì)上述推廣的不等式中的參數(shù)賦值，可得許多不等式．例如，在推廣4中，若令r=1,l=3,k=5λ=1,μ=2,ν=3，m=2,n=3,S=3就有：

又如在推廣3中λ=2,μ=3,ν=4,n=3,k=4,m=2,S=3就有：

再如，在推廣3中若令k=4,n=3,m=5,S=3就有：