以問題驅(qū)動實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的三步曲
——以“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”教學(xué)為例

江蘇省錫山高級中學(xué) (214174) 顧曉峰

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí)旨在讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動后，真正成為“數(shù)學(xué)人”，其特征包括“心中有數(shù)”(數(shù)學(xué)抽象)、“腦中有形”(直觀想象)、“手中有法”(數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析)、“腳下有路”(邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算).不同的素養(yǎng)要求決定著數(shù)學(xué)能力的綜合發(fā)展，而數(shù)學(xué)抽象居于核心位置，如同心臟一般協(xié)調(diào)著身體各個(gè)組織、器官的正常運(yùn)行，因而它必然是數(shù)學(xué)教學(xué)中最為關(guān)注的話題之一.

何為數(shù)學(xué)抽象？它是對數(shù)量關(guān)系與空間形式進(jìn)行抽象而得到數(shù)學(xué)研究對象的過程，學(xué)生需要通過這種理性思維過程來發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)一般可分為四個(gè)階段：第一階段，研究與數(shù)學(xué)有關(guān)的現(xiàn)象問題；第二階段，逐步抽取對象關(guān)系背后的本質(zhì)屬性；第三階段，用數(shù)學(xué)符號或形式化表示本質(zhì)屬性；第四階段，實(shí)現(xiàn)抽象與具體的互相轉(zhuǎn)化[1].四階段的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的形成具有循序漸進(jìn)的特點(diǎn)，它本質(zhì)上是對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行階梯式建構(gòu)的結(jié)構(gòu)化過程.

數(shù)學(xué)概念及命題(公式、定理等)的形成依賴于不同階段、不同層次的抽象，在教學(xué)中可細(xì)化為三個(gè)步驟：①感知與提取，通過觀察、比較，進(jìn)一步感知相似數(shù)學(xué)對象的形象和內(nèi)涵，或從現(xiàn)實(shí)(歷史)問題中析取數(shù)學(xué)對象；②建構(gòu)與表征，去掉對象中的具體內(nèi)容而呈現(xiàn)出本質(zhì)屬性，增加內(nèi)涵、強(qiáng)化結(jié)構(gòu)，通過符號化(或形式化)對原型事物進(jìn)行表征，建立概念、法則、命題或模型；③普適化與結(jié)構(gòu)化，將抽象的結(jié)果應(yīng)用到更廣的范圍以解決更多的數(shù)學(xué)或?qū)嶋H問題，感悟抽象的作用和意義，反思抽象結(jié)果與其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)間的邏輯關(guān)聯(lián)性，形成深層次的認(rèn)知系統(tǒng).根據(jù)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展過程以及日常概念和命題教學(xué)中教師的習(xí)慣特點(diǎn)，筆者提倡采取問題驅(qū)動的方式，從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題，充分參與認(rèn)知活動并分析和解決問題，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的目標(biāo).本文以“等差數(shù)列前項(xiàng)和”為例，具體探討三步曲的實(shí)踐.

第一步、感知與提取——在觀察探索中初步抽象問題

問題1 學(xué)校劇院準(zhǔn)備籌辦一場大型晚會，有1200人需要入座，而該劇院有26排座位，第一排有24個(gè)，從第二排開始，后面的每一排都比前一排多2個(gè)座位，如果你是本次活動的組織者，你需要考慮什么問題呢？

問題2 同學(xué)們在以前有沒有遇到類似的數(shù)學(xué)問題，能否說說？

評注：從學(xué)生熟知的現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)設(shè)問，降低了思維門檻，并能較好地激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知興趣，同時(shí)，問題1是開放性的，學(xué)生作為抽象的主動者可根據(jù)自身認(rèn)知情況提問.教師在與學(xué)生充分交流和討論后提取出核心問題：計(jì)算第1排到第26排的座位數(shù)之和.由于每排座位數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，這實(shí)質(zhì)是一個(gè)等差數(shù)列求和問題，學(xué)生在計(jì)算完第26排的座位數(shù)后列出表達(dá)式24+26+…+74.緊接著提出問題2，學(xué)生很快聯(lián)想起熟悉的求和問題1+2+3+…+100，兩個(gè)問題形式有明顯差異，但求和類型一樣，能否將已有的求和經(jīng)驗(yàn)遷移到新的問題中？如何遷移？兩者的關(guān)聯(lián)是什么？…，學(xué)生在這樣的初步感知中產(chǎn)生認(rèn)知沖突，但已從具體開始走向抽象.

第二步、建構(gòu)與表征——在分析概括中逐步抽象命題

師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)座位總數(shù)是24+26+…+74，這就是我們今天要研究的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一個(gè)特例(教師給出前n項(xiàng)和的概念).我們能否先找一個(gè)簡單點(diǎn)的等差數(shù)列來研究？

生：1+2+3+….

師：有沒有比“1+2+3+…”還要簡單的等差數(shù)列求和？

師：解釋一下怎么得到這個(gè)結(jié)果的.

生1：每個(gè)數(shù)都是1，共n個(gè)1，結(jié)果便是n×1=n.

師：很好.

問題3 能利用生1的想法解決情境中的問題嗎？能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)其中的運(yùn)算原理嗎？

生2：24+26+…+74=13×98.

師：這個(gè)怎么解釋？

生2：因?yàn)?4+74=26+72=…=98，總共26個(gè)數(shù)，首尾配對正好湊成13對，所以結(jié)果13×98.

師：98是相同的和，生2將不同數(shù)的求和通過首尾配對轉(zhuǎn)化成了相同數(shù)的求和，將加法變成了乘法.這個(gè)思想其實(shí)本質(zhì)和生1是一致的.

評注：以“小步距”為原則追問，讓學(xué)生從最簡單的等差數(shù)列求和入手，然后回到情境問題的解決，抽象出求和的本質(zhì)是構(gòu)建相同和.學(xué)生用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行解釋的過程就是建立情境刺激與反應(yīng)之間聯(lián)結(jié)的過程，這使他們對數(shù)學(xué)本質(zhì)的統(tǒng)一性與簡約性能有較深的直覺感知.

師：大家根據(jù)總結(jié)的算理試著算一下Sn=1+2+3+…+n吧.

師：如果n是奇數(shù)呢？

師：生3利用原理和分類討論思想進(jìn)行求和，發(fā)現(xiàn)n為奇數(shù)要注意多出了一項(xiàng).

問題4討論的原因是項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)不湊整，那能否調(diào)整一下目標(biāo)，使得無論n是奇數(shù)還是偶數(shù)都能讓求和湊整？

生4：將Sn=1+2+3+…+n倒過來寫一遍，即Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+1，然后相加再除2.

師：怎么想到倒過來求和的？

師：很好，兩位同學(xué)其實(shí)都遵循一個(gè)方向，就是將不同數(shù)求和轉(zhuǎn)變?yōu)橄嗤瑪?shù)求和.生4的方法更簡潔些，因?yàn)橥ㄟ^倒寫相加可以利用對稱性實(shí)現(xiàn)湊整，避免了討論.

問題5 根據(jù)前面的探索，請大家自主解決更一般的問題：已知{an}是等差數(shù)列，求其前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an.(后面教學(xué)過程略)

評注：聯(lián)結(jié)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為[2]，學(xué)習(xí)是以神經(jīng)聯(lián)結(jié)為基礎(chǔ)，對于問題中一些隱蔽的特征或者性質(zhì)，可通過分析使學(xué)習(xí)者的注意力聚焦于它們而得到認(rèn)同.在等差數(shù)列求和的問題中，學(xué)生湊對意識較強(qiáng)，但自身湊對則對項(xiàng)數(shù)的奇偶性有限制，于是讓學(xué)生聚焦于項(xiàng)數(shù)的處理，抽象出倒序相加法以突破限制.在剖析求和本質(zhì)后，學(xué)生自主推導(dǎo)一般等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力，并進(jìn)入數(shù)學(xué)表征的階段.

第三步、普適化與結(jié)構(gòu)化——在鞏固反思中深化抽象思維

本節(jié)選取例題講解中的兩個(gè)片斷進(jìn)行分析.

師：完成例1后我們發(fā)現(xiàn)，這類問題一般會涉及五個(gè)量a1，an,n,Sn,d，其中部分作為條件，部分作為待求量.下面仿照例1，請同桌之間一個(gè)出題一個(gè)做題，大家賽賽看.

筆者與學(xué)生分享了其中一組同學(xué)的例子：在等差數(shù)列{an}中，a1=-3，Sn=24，求an.

師：這個(gè)結(jié)果大家有什么看法？

生6：等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式應(yīng)該是一個(gè)一次(或常數(shù))函數(shù)，這個(gè)表達(dá)式明顯不是！

師：的確如此，那問題出在哪里？(學(xué)生疑惑)

問題6 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次(或常數(shù))函數(shù)，那么它的前n項(xiàng)和Sn的形式有何特點(diǎn)呢？我們能否利用它的特點(diǎn)再回看這組同學(xué)出的題目？

師：很好！那能幫忙改進(jìn)一下題目嗎？

生7：Sn=24改為S5=5，求d或a5.

問題7 通過例1和同學(xué)們的例子，你覺得利用等差數(shù)列的五個(gè)量(a1,an,n,Sn,d)出題時(shí)需要注意些什么？

生：an與Sn中的n是確定量不是變量；需要已知三個(gè)量才可求出另外兩個(gè)量；如果要求n，需要湊好數(shù)據(jù)保證n是正整數(shù)……

師：除了利用方程組思想，還有其它思路嗎？(大家表情困惑)

問題8 上體育課排隊(duì)，老師讓我們從左到右報(bào)數(shù)或者從右到左報(bào)數(shù)，人數(shù)會變嗎？這是什么道理呢？

生：不會.只是最后一個(gè)報(bào)數(shù)變成第一個(gè)報(bào)數(shù)，中間還是這么多人報(bào)數(shù).

師：是的，那大家能將這個(gè)道理應(yīng)用到例2中嗎？

師：很棒.看來有時(shí)逆向思維可以出奇制勝.

評注：在得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式后，學(xué)生需要在解題中體會抽象與具體的相互關(guān)聯(lián).從抽象到具體，使抽象的結(jié)果成為一般意義上的結(jié)論，進(jìn)行廣泛的應(yīng)用；從具體回到抽象，感悟抽象結(jié)果的內(nèi)涵與特征，讓學(xué)生透過公式表象看到本質(zhì)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的理解.筆者以課本例題(蘇教版必修5第43頁)為載體，但在教學(xué)上做了一些設(shè)計(jì).如筆者讓學(xué)生在完成例題1后同桌間互相出題答題，調(diào)動課堂氛圍的同時(shí)能更好地檢驗(yàn)學(xué)生對公式本身及相關(guān)要素間的理解，過程中學(xué)生發(fā)生錯(cuò)誤恰好是一個(gè)契機(jī)，借機(jī)進(jìn)一步認(rèn)識到Sn本質(zhì)上是關(guān)于n的二次(d=0時(shí)是一次)函數(shù)，并且在“a1,an,n,Sn,d”這五個(gè)量中需要“知三求二”，這些都不是由教師直白介紹或者自己總結(jié)的，而是在充分的學(xué)生活動后反思獲得的.例2的基本思想是方程組思想，但通過問題8，學(xué)生對首項(xiàng)、末項(xiàng)有了更靈活的理解，且體會從簡單的生活道理中也可抽象出一般的數(shù)學(xué)思維(逆向思維).問題8也引導(dǎo)學(xué)生可以從多角度思考問題，善于解后反思，使學(xué)生從知識層面、方法層面以及思想層面都對抽象結(jié)果有體會和收獲，進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)抽象思維.

本節(jié)課是一節(jié)公式引入課，學(xué)生從實(shí)際問題抽象出等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，這個(gè)過程經(jīng)歷的三步曲可作為數(shù)學(xué)抽象過程的一種模式，而在這三步曲中，核心推動者是問題.感知與提取環(huán)節(jié)，通過情境(生活情境、歷史情境、實(shí)物情境等)問題引發(fā)思考，進(jìn)行數(shù)學(xué)識別，這是抽象的起點(diǎn)；建構(gòu)與表征環(huán)節(jié)，問題的作用在于將新、舊抽象進(jìn)行聯(lián)結(jié)，學(xué)生跟隨問題逐步發(fā)掘抽象物的本質(zhì)屬性并進(jìn)行概括，最終按照一定規(guī)則組織起來并形成表征.這一環(huán)節(jié)的問題設(shè)計(jì)需指向知識核心但又不失發(fā)散性，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間思考和抽象；普適化與結(jié)構(gòu)化環(huán)節(jié)，學(xué)生在初步獲得抽象對象后需要及時(shí)進(jìn)行鞏固和應(yīng)用，教師精選例題，并可在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)指向?qū)Τ橄蠼Y(jié)果再理解的新問題，鼓勵(lì)學(xué)生提出不同的解題策略，積極利用學(xué)生的錯(cuò)誤，在反思中深化對抽象結(jié)果的認(rèn)知.三步曲層層遞進(jìn)，其構(gòu)成的一個(gè)整體性的教學(xué)模式為數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)提供了可操作的方法，希望能對更廣泛的教學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生意義.