構(gòu)建深度學(xué)習(xí)課堂，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——以“直線與平面垂直”教學(xué)為例

廣東省惠州市惠陽區(qū)第五中學(xué) (516200) 嚴(yán) 婷

深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程[1].與機(jī)械、被動(dòng)的淺層學(xué)習(xí)相比，深度學(xué)習(xí)更加強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體性地位，更加注重學(xué)生探索、理解、反思、創(chuàng)造的過程，更加注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、內(nèi)在聯(lián)系和思想方法.通過深度學(xué)習(xí)，可以加深學(xué)生對知識(shí)的理解，促進(jìn)知識(shí)的遷移與運(yùn)用,培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)，合作探究能力，激發(fā)其內(nèi)在學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).同時(shí)，深度學(xué)習(xí)也是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑之一.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，研究如何構(gòu)建深度學(xué)習(xí)課堂，讓深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生，具有十分重要的意義.

一、核心素養(yǎng)視域下高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)課堂的構(gòu)建策略

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，深度學(xué)習(xí)是否發(fā)生，主要看是否具備以下幾個(gè)特征：聯(lián)想與結(jié)構(gòu)，活動(dòng)與體驗(yàn)，本質(zhì)與變式，遷移與應(yīng)用[1].為落實(shí)核心素養(yǎng)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，針對以上特征，提出以下幾點(diǎn)構(gòu)建深度學(xué)習(xí)課堂的策略.

(一)讀懂學(xué)生，讀透教材，確立促進(jìn)高級(jí)素養(yǎng)發(fā)展的學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室，而是帶著已有經(jīng)驗(yàn)來的，教師只有真正讀懂學(xué)生的基礎(chǔ)、需要、特點(diǎn)、困惑，才能讓課堂教學(xué)更加扎實(shí)高效.例如，在學(xué)習(xí)“直線與平面垂直”這一課前，學(xué)生已能直觀感知線面垂直的關(guān)系，也能舉出大量線面垂直的生活實(shí)例，但由于他們將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的意識(shí)相對薄弱，所以要將這種直觀感覺轉(zhuǎn)化為嚴(yán)格定義還有一定困難.此外，雖然學(xué)生已有研究線面平行、面面平行判定方法的基礎(chǔ)，但要將這種研究經(jīng)驗(yàn)遷移過來，也存在一定困難.

在深度學(xué)習(xí)課堂中，學(xué)生不僅要學(xué)習(xí)有邏輯、有結(jié)構(gòu)、有體系的知識(shí)，還要領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.這就需要教師讀透教材的編排體系、編寫意圖，讀懂知識(shí)的建構(gòu)原理，讀懂蘊(yùn)含的思想方法.“直線與平面垂直”是人教A版必修第二冊第八章第六節(jié)第二小節(jié)的內(nèi)容，是空間中線線垂直的延續(xù)，也是面面垂直的基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用.與空間中線線垂直、面面垂直不同，線面垂直不是用空間角來定義，而是用線線垂直來定義的.定義本身既是判定，也是性質(zhì)，蘊(yùn)含著線線垂直可與線面垂直相互轉(zhuǎn)化.此外，線面垂直判定定理把定義中要求的與任意一條直線垂直轉(zhuǎn)化為只要求與兩條相交直線垂直，也蘊(yùn)含著“空間問題平面化”，以簡馭繁的數(shù)學(xué)思想.

因此，基于以上對學(xué)生，教材的分析，將本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)確定如下：

(1)能從實(shí)例中抽象概括出直線與平面垂直的定義，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；

(2)在探究直線與平面垂直的過程中發(fā)展合情推理能力，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)中“以簡馭繁”的轉(zhuǎn)化思想，提升直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)；

(3)能在直線與平面垂直的情境中利用定義和判定定理進(jìn)行證明，培養(yǎng)分析問題，解決問題的能力.

(二)引導(dǎo)學(xué)生“親身”經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生與建構(gòu)過程，使學(xué)生真正成為課堂的主體

深度學(xué)習(xí)是觸及學(xué)生心靈的教學(xué)[1].在深度學(xué)習(xí)課堂中，教師應(yīng)給學(xué)生提供“親身經(jīng)歷”知識(shí)發(fā)現(xiàn)、形成、發(fā)展過程的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生成為活動(dòng)的主體.學(xué)生在全身心體驗(yàn)知識(shí)復(fù)雜內(nèi)涵的過程中，也將發(fā)生豐富的內(nèi)心體驗(yàn)，在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅能理解知識(shí)，還能體會(huì)到更深刻的情感及數(shù)學(xué)思想方法.例如，在“直線與平面垂直”教學(xué)中，如果直接告訴學(xué)生線面垂直的定義和判定定理，然后通過大量的題目讓學(xué)生機(jī)械地記憶、模仿、證明，那這樣學(xué)生不明白知識(shí)的來龍去脈，時(shí)間一長就很容易遺忘，也無法將知識(shí)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為理性成長的精神養(yǎng)分.因此，在深度學(xué)習(xí)課堂中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生像數(shù)學(xué)家一樣經(jīng)歷從直觀感受，一步步歸結(jié)到線線位置關(guān)系，最后得到線面垂直定義的過程；經(jīng)歷直觀感知-操作確認(rèn)-思辨論證探索線面垂直判定定理的過程，讓學(xué)生在這個(gè)過程中體會(huì)研究立體幾何的一般方法，感受數(shù)學(xué)的科學(xué)性、邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

(三)實(shí)施有深度的提問，引導(dǎo)學(xué)生深度理解，鍛煉學(xué)生思維深度

教育心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生的思維過程往往從問題開始.所以，在深度學(xué)習(xí)課堂中，教師的提問應(yīng)是有深度的，應(yīng)能抓住問題本質(zhì)來提問，引導(dǎo)學(xué)生探究知識(shí)的本源，不僅知道是什么，還能積極探尋為什么.例如，在得出線面垂直判定定理的猜想后，可以提出這樣一個(gè)問題：根據(jù)基本事實(shí)3的推論3，經(jīng)過兩條平行直線，也是有且只有一個(gè)平面，那為什么不能依據(jù)直線與平面內(nèi)兩條平行直線垂直判斷線面垂直？引發(fā)學(xué)生對判定條件本質(zhì)的思考，促進(jìn)學(xué)生對判定定理的深度理解.

二、核心素養(yǎng)視域下高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)課堂的教學(xué)實(shí)踐

(一)創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

情境1 詩人王維《使至塞上》中“大漠孤煙直，長河落日圓”描述了大漠中雄偉壯闊的景象，那從數(shù)學(xué)的角度，你看到了什么呢？

情境2 觀察圖1，旗桿與地面具有怎樣的位置關(guān)系？你還能舉出生活中類似的例子嗎？

圖1

設(shè)計(jì)意圖：通過具體例子，讓學(xué)生直觀感知直線與平面垂直的幾何關(guān)系，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

(二)自主學(xué)習(xí)，合作探究

任務(wù)一：建構(gòu)直線與平面垂直的定義

問題1 在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時(shí)間的變化(圖2)，影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直？

圖2

追問1：旗桿所在直線AB是否與平面內(nèi)所有直線都垂直呢(圖3)？由此，你能用簡潔的語言給出直線與平面垂直的定義嗎？

圖3

師生活動(dòng)：教師借助信息技術(shù)呈現(xiàn)旗桿影子的變化情況，學(xué)生通過觀察易得旗桿所在直線始終與其影子所在直線保持垂直.然后，教師引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)異面直線垂直的定義，分析得到旗桿所在直線與地面上不經(jīng)過B點(diǎn)的直線也是垂直的，進(jìn)而得出旗桿所在直線與地面上所有直線都垂直.再結(jié)合學(xué)生先前接觸過的“任意一個(gè)數(shù)”“任意一個(gè)人”引導(dǎo)其理解“所有”與“任意”的關(guān)系，最終概括出直線與平面垂直的定義.

追問2：直線與平面垂直的定義中，“任意一條”能改為“無數(shù)條”嗎？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生舉出反例，如圖4.

圖4

設(shè)計(jì)意圖：通過引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，把直觀、模糊的感知抽象化，確切化，歸納得出直線與平面垂直的定義，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.追問2，通過舉反例進(jìn)行概念辨析，加深學(xué)生對定義中“任意一條”的理解.

問題2在得到直線與平面垂直的定義后，為表述方便，你覺得還有哪些輔助性的概念需要建立？(圖5，圖6)

圖5

圖6

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生類比線線垂直的相關(guān)概念，給出垂線、垂面、垂足等概念及其圖形表示.

設(shè)計(jì)意圖：建立相關(guān)概念，知道線面垂直的符號(hào)表示，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的基本學(xué)習(xí)思路.

任務(wù)二：探究直線與平面垂直的判定定理

問題3 用定義來判斷線面垂直方便嗎？你有判斷線面垂直更簡單易行的方法嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生易得用定義法需要驗(yàn)證直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，無法操作.教師引導(dǎo)學(xué)生類比線面平行判定定理的研究思路，將無限問題轉(zhuǎn)化為有限問題.學(xué)生通過反例很快排除直線垂直平面內(nèi)“一條”直線就判斷線面垂直的猜想，進(jìn)而很容易猜想應(yīng)垂直平面內(nèi)“兩條”直線.

追問3：直線垂直于平面內(nèi)兩條怎樣的直線，才能判定線面垂直呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生通過舉反例排除垂直兩條平行直線，進(jìn)而猜想直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線可以判斷線面垂直.

問題4 如圖7，準(zhǔn)備一塊三角形的硬紙片，做一個(gè)試驗(yàn)：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸).

圖7

(1)折痕AD與桌面垂直嗎？

(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直，為什么？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，驗(yàn)證猜想.學(xué)生易想到當(dāng)折痕AD垂直BC時(shí)，AD垂直于桌面.教師也可借助GeoGebra軟件動(dòng)態(tài)演示BD邊在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)過程(圖8)，再次驗(yàn)證.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生分析為什么,這是因?yàn)橐罁?jù)基本事實(shí)推論2，平面α可看作是由BD,DC兩條相交直線唯一確定的，所以當(dāng)直線AD垂直這兩條相交直線時(shí)，就可保證直線AD與α內(nèi)所有直線都垂直.

圖8

追問4：兩條平行直線也可確定一個(gè)平面，那么能否依據(jù)直線與平面內(nèi)兩條平行直線垂直判定線面垂直呢？你能從向量的角度給出解釋嗎？

師生活動(dòng)：先前動(dòng)手操作只停留在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證階段，教師可通過追問，引導(dǎo)學(xué)生從平面向量基本定理角度來理解定理，讓學(xué)生在定理未證明的情況下仍能認(rèn)可定理的正確性、合理性.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)線面垂直向線線垂直的轉(zhuǎn)化，體會(huì)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證的研究立體幾何的一般過程，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

問題5 你能分別用圖形語言和符號(hào)語言表示定理嗎？

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)行三種語言的轉(zhuǎn)換是為了促進(jìn)學(xué)生對判定定理的理解，為發(fā)展邏輯思維能力奠定基礎(chǔ).

(三)例題講解，理解新知

例 求證：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意畫出示意圖，并把文字語言轉(zhuǎn)換為符號(hào)語言，并與學(xué)生共同分析證明思路，規(guī)范證明過程的書寫.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在這一過程中認(rèn)識(shí)到證明線面垂直有兩種方法：定義法和判定定理法，提高思維的靈活性.

(四)達(dá)標(biāo)檢測，鞏固新知

1.如圖9，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，求證：AC⊥平面SDB.

圖9

2.如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：A1C⊥平面BC1D.

圖10

設(shè)計(jì)意圖：檢驗(yàn)學(xué)生能否靈活運(yùn)用判定定理進(jìn)行證明，培養(yǎng)其分析問題，解決問題的能力.

(五)反思小結(jié)

1.本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？是通過怎樣的方法學(xué)習(xí)的？知識(shí)和方法中蘊(yùn)含了哪些數(shù)學(xué)思想？

2.線面垂直的定義和判定與之前學(xué)過的線面平行的定義和判定在知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法上有何異同？

設(shè)計(jì)意圖：通過梳理本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)立體幾何的研究內(nèi)容和方法，培養(yǎng)學(xué)生的反思習(xí)慣，幫助學(xué)生建立系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系.

(六)作業(yè)布置

必做題：教材152頁練習(xí)第3題，163頁習(xí)題8.6第5題.

選做題：查閱資料，了解數(shù)學(xué)家證明線面垂直判定定理的方法、模型.

設(shè)計(jì)意圖：必做題是為了讓學(xué)生掌握利用線線垂直來證明線面垂直這種常用方法；選做題滲透數(shù)學(xué)文化是為了讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)，不斷創(chuàng)新的精神.

總之，深度學(xué)習(xí)課堂應(yīng)以提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性地位，引導(dǎo)其經(jīng)歷知識(shí)的生成過程，促進(jìn)其深度理解.