對一道課本習(xí)題的探究與拓展*

廣東省中山市小欖中學(xué) (528415) 吳銀軍

課本是我們教學(xué)的第一手資料，其中的多數(shù)習(xí)題具有較強的代表性，往往蘊含豐富的背景和深厚的內(nèi)涵，值得廣大師生深入的研究.筆者在講授普通高中課程標準教科書(2019版)《選擇性必修2》等差數(shù)列章節(jié)內(nèi)容時，發(fā)現(xiàn)P25習(xí)題4.2第8題是關(guān)于兩個等差數(shù)列的公共項問題，本文以該問題為例從解法和應(yīng)用上作深入的探究，以期能拋磚引玉.

1 習(xí)題呈現(xiàn)與分析

有兩個等差數(shù)列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由這兩個等差數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，求這個新數(shù)列的各項之和.

分析：該題考查的是等差數(shù)列問題，涉及到的知識點有兩個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，考查了觀察、分析、邏輯推理能力和等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用.這是一道平樸蘊奇，內(nèi)涵豐富、極具拓展價值的優(yōu)質(zhì)試題.下面從這道試題的解法談起，來探究和拓展兩數(shù)列有公共項一類問題的解法，并從中得到一些啟示.

2 探究解法 活躍思維

評注：考慮到該題中的兩個數(shù)列均為等差數(shù)列，所以它們的公共項具有規(guī)律性,通過列舉得到由兩個數(shù)列的公共項構(gòu)成的數(shù)列，進而求得新數(shù)列前n項和.在找公共項的時候，比較好的辦法是在公差大的數(shù)列里面來找，因為間隔小，且項與項間隔相等，本解法適用于項數(shù)不多的、比較簡單的兩數(shù)列公共項問題.

評注：依據(jù)兩個等差數(shù)列的首項和公差的特征，不難看出兩個數(shù)列的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列，且公差是兩個等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)的規(guī)律求解.

由于該題是兩個等差數(shù)列的公共項問題，從公共項的本質(zhì)看，公共項也就是數(shù)列的相同項，不難求得兩個數(shù)列的通項分別為4n-2,6n-4，也就是說關(guān)于m,n的不定方程4n-2=6m-4存在整數(shù)解，利用數(shù)的整除性解不定方程.

對于兩個等差數(shù)列的公共項問題，還有沒有更一般的方法呢？因為公共項就是兩個數(shù)列中的相同項，我們從中選取一個數(shù)列，一般選取數(shù)列中的項增加“較快”的數(shù)列，假如該數(shù)列的第n項是兩個數(shù)列的公共項，然后逐一遞推驗證該數(shù)列的第n+1項、第n+2項、……是否是兩個數(shù)列的公共項，進一步從中找到規(guī)律，得到兩個數(shù)列公共項從小到大排列的數(shù)列的通項公式.

評注：由解法4可知利用“遞推找項法”求兩個等差數(shù)列{an}、{bn}的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列{cn}的一般步驟為：(1)設(shè)ck=an=bm，從中得到項數(shù)m,n的關(guān)系；(2)在項數(shù)增加“較快”的數(shù)列({bm})中依次驗證某個相同項(如bm)后面的遞推項(bm+1,bm+2…)，并將其項的表達式與另一個數(shù)列{an}的通項比較，判斷后面的遞推項是否是另一個數(shù)列{an}的通項，從而發(fā)現(xiàn)新的公共項；(3)在發(fā)現(xiàn)的公共項ck,ck+1之間的遞推關(guān)系得到新數(shù)列{cn}的通項公式.

3 提煉通法 總結(jié)升華

由以上解法不難看出，對于求兩個等差數(shù)列{an}、{bn}的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列{cn}問題，“遞推找項法”相對于解不定方程法更易于操作和理解，可以說，“遞推找項法”是求兩個等差數(shù)列{an}、{bn}的公共項所構(gòu)成的新數(shù)列{cn}的一種“通性通法”. 其實“遞推找項法”的應(yīng)用遠不止于此，它除了能解決兩個等差數(shù)列的公共項問題以外，還可以解決兩個等比數(shù)列的公共項問題，一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的公共項問題，甚至于一個等比數(shù)列與多項式型數(shù)列的公共項問題.

4 拓展應(yīng)用 拾級而上

(1)兩個等差數(shù)列的公共項問題

例1 數(shù)列{an}與{bn}的通項分別為an=3n-1,bn=2n+1，它們的公共項由小到大排列得到的新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的通項公式.

(2)兩個等比數(shù)列的公共項問題

例2 數(shù)列{an}與{bn}的通項分別為an=3n,bn=9n，它們的公共項由小到大排列得到的新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的通項公式.

(3)等差數(shù)列與等比數(shù)列的公共項問題

例3 數(shù)列{an}與{bn}的通項分別為an=2n,bn=3n+1，它們的公共項由小到大排列得到的新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的通項公式.

(4)等比數(shù)列與多項式的公共項問題

例4 數(shù)列{an}與{bn}的通項分別為an=22n-1,bn=n3，它們的公共項由小到大排列得到的新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的通項公式.

綜合上述典例可知，“遞推找項法”是一種在整體上從一個數(shù)列中尋找公共項的解題方法，這種方法通俗易懂，可操作性強，適用范圍較廣泛，是一種求兩個數(shù)列公共項的“通性通法”.

5 解后反思 引領(lǐng)教學(xué)

課本既是學(xué)生學(xué)習(xí)的藍本，又是教師教學(xué)的依據(jù)，課本中的例題、習(xí)題是教材編寫者精心挑選或設(shè)計出來的，這些題目往往簡明扼要、難度適當(dāng)、編排合理，是一些難得的好題，它們在知識上具有典型性，在方法上具有示范性；所以我們要引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)、反思和探究，尋求其內(nèi)在的背景和數(shù)學(xué)思想，由會解一道題到會解一類題，形成有效的思維鏈，加強數(shù)學(xué)思維的拓展優(yōu)化.另外，從不同的思維角度分析同一個問題，可以得到不同的解法，從數(shù)學(xué)知識本身的角度看，可以發(fā)現(xiàn)知識之間的相互聯(lián)系，體會轉(zhuǎn)化的過程，還可以構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)體系，從而學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅掌握了基本的解題技能，還培養(yǎng)了思維的廣闊性、深刻性、靈活性以及創(chuàng)新性，讓學(xué)生對學(xué)習(xí)內(nèi)容有一個整體認識，并將知識融會貫通，舉一反三，開闊視野，活躍思維，才能實現(xiàn)解題探究價值的最大化.